LYCÉE ALFRED KASTLER TS 2014–2015 Devoir surveillé no 5 – mathématiques
14/01/2015
Exercice 1 (5 points)
Soit X une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite N(0; 1).
Dans les questions suivantes les étapes de résolution devront être détaillées jusqu’à celle que peut résoudre la calculatrice et les résultats seront arrondis à 10−3 près.
1. Déterminer la probabilité queX soit situé entre −5 3 et 5
2. 2. Déterminer la probabilité queX dépasse 5
2.
3. Sachant queX est positif, quel est la probabilité qu’il soit inférieur à 5 2? 4. Déterminer le réelu >0tel que P(−u6X 6u) = 0,9.
Exercice 2 (11 points)
On considère la fonction f définie sur I =]0; +∞[ par : f(x) = x+ 1
x ×e−x. On note Cf la courbe représentative de f dans un repère orthogonal.
1. Justifier quef est bien définie surI.
2. Déterminer les limites def aux bornes de l’intervalle I.
En déduire la présence d’éventuelles asymptotes à la courbe Cf.
3. Calculer la dérivéef0 def surI et donner son expression sous une forme factorisée (laisser les parties polynomiales développées et réduites).
4. Justifier quef0 est négative sur I et en déduire le tableau de variations de f surI.
Exercice 3 (4 points) Soit u la suite définie pour n>1 par :
( u1 = 10
un+1 = 0,9un− 1 n2
. Donner un algorithme qui détermine le rang à partir duquel un <10−3.
Inutile d’appliquer l’algorithme.
