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A1749. Juste une devinette

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Academic year: 2022

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A1749. Juste une devinette

Quatre chiffres 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 de cet entire à huit chiffres 𝑁 = 𝑎12𝑏𝑐42𝑑 ont été effacés.

Cet entire est divisible par 5544. Déterminer le quotient 𝑁/5544.

Solution de Kee-Wai Lau

Nous montrons que 𝑁

5544=11204424

5544 = 2021.

Nous notons d’abord que 5544 et donc 𝑁 est divisible par 8, 9 et 11. Donc

420 + 𝑑 est divisible par 8, 𝑎 + 1 + 2 + 𝑏 + 𝑐 + 4 + 2 + 𝑑 est divisible par 9,

et 𝑎 − 1 + 2 − 𝑏 + 𝑐 − 4 + 2 − 𝑑 est divisible par 11. Par conséquent,

420 + 𝑑 ≡ 0 (mod 8), (1)

𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 ≡ 0 (mod 9), (2) et

𝑎 − 𝑏 + 𝑐 − 𝑑 ≡ 1 (mod 11). (3)

De (1), on a 𝑑 = 4. Puis par (2) and (3), on a

𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 9𝑝 + 5, (4) et

𝑎 − 𝑏 + 𝑐 = 11𝑞 + 5, (5) où 𝑝 = 0, 1, 2 et 𝑞 = −1, 0,1. De (4) et (5), on a

𝑏 =9𝑝−11𝑞

2 . (6) Depuis 0 ≤ 𝑏 ≤ 9 est un entier, donc par (6), on obtient (𝑝, 𝑞, 𝑏) = (0, 0, 0) ou

(2,0,9). Cela donne 𝑎 + 𝑐 = 5 ou 14. Ainsi (𝑎, 𝑏, 𝑐) = (1,0,4), (2,0,3), (3,0,2), (4,0, 1), (5,0, 0), (5,9,9), (6,9,8), (7,9,7), (8,9,6), (9,9,5). Maintenant, un

verification directe prouve notre assertion pour 𝑁

5544.

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