u n = 1 − 1 n etv n = 1 + n 1 2.Montrerqueessuitessont

Exeries sur les suites adjaentes

Exerie 1:Soientlessuites

(u n )

^et

(v n )

^déniespar

u n = 1 − ¹ n

^et

v n = 1 + _n ¹ 2

^{.Montrerqueessuitessont}

adjaentes.

Solution :

Lasuite de terme général

1

n

^est déroissante.Don lasuitede terme général

− n ¹

^{est roissante; puisennla}

suite

(u n )

^{estroissante.}

Lasuitedetermegénéral

1

n 2

^est déroissante.Donlasuite

(v n )

^est déroissante.

Deplus

v n − u n = 1 + _n ¹ 2

− 1 − n ¹

= _n ¹ 2 + ¹ _n

Or

lim

n→+∞

1

n ² = 0

^et

lim

n→+∞

1

n = 0

^donparsomme,

lim

n→+∞

1

n ² + _n ¹ = 0

^.C'estàdire

lim

n→+∞ v n − u n = 0

^.

Les deux suites

(u n )

^et

(v n )

^{sont don adjaentes. D'après le théorème, elles onvergentdon vers la même}

limite. Iivers

1

^.

Exerie 2:Onétudielessuites

(u n )

^et

(v n )

^déniespar

( u 0 = 2

v 0 = 3

^et



 

 

u n+1 = 3u n + 2v n

5 v n+1 = 2u n + 3v n

5

1. Démontrerparréurrenesur

n

^que

v n − u n > 0

2. Montrerquelasuite

(w n )

^déniepar

w n = v n − u n

^{estune suite}géométrique.

3. Démontrerquelessuites

(u n )

^et

(v n )

^{sontadjaentes.}

4. a. Caluler

u n+1 + v n+1

^enfontionde

u n + v n

b. Quepeut-onendéduiresurlasuite

(x n )

^déniepar

x n = u n + v n

^?

5. En déduirelalimiteommunedessuites

(u n )

^et

(v n )

^.

Solution :

1. Montronsparréurrenequepourtout

n

^entier,

n ∈ N

,ona:

v n − u n > 0

^.

Notons

P n

^{lapropriété:}

v n − u n > 0

^.

•

Initialisation:

Lapropriété

P 0

^{est-ellevraie?A-t-on}

v 0 − u 0 > 0

^?

u 0 = 2

^et

v 0 = 3

^don

v 0 − u 0 = 1 > 0

^{;et don}

P 0

^estvraie.

•

^Hérédité:

Supposonsquepourunentier

n ∈ N

ona:

v n − u n > 0

^{;montronsalorsque}

v n+1 − u n+1 > 0

^.

Puisque

u n+1 = 3u n + 2v n

5

^et

v n+1 = 2u n + 3v n

5

^,ona

v n+1 − u n+1 = 2u n + 3v n

5 − 3u n + 2v n

5 = v n − u n

5

^.

Ord'aprèsl'hypothèsederéurrene,ona

v n − u n > 0

^.Don

v n − u n

5 > 0

^.

Donona

v n+1 − u n+1 > 0

^et

P n+1

^estvraie.

•

^Conlusion:

Lapropriété

P n

^estvraiepour

n = 0

^etest héréditaire.Elleestdonvraiepourtout

n ∈ N

. C'est àdire:pourtout

n

^entier,

v n − u n > 0

^.

2. D'aprèsequi préède,

w n+1 = v n+1 − u n+1 = v n − u n

5 = 1

5 w n

^.

w n+1 = 1

5 w n

^donlasuite

(w n )

^{est unesuite}géométriquederaison

w 0 = 1

^etderaison

1 5

^.

3.

•

^{Montronsquelasuite}

(u n )

^{estroissante.}

u n+1 − u n = 3u n + 2v n

5 − u n = − 2u n + 2v n

5 = 2

5 (v n − u n ) > 0

^{d'aprèslaquestion}

1

^.

Donlasuite

(u n )

^{estroissante.}

•

^{Montronsquelasuite}

(v n )

^{est roissante.}

v n+1 − v n = 2u n + 3v n

5 − v n = 2u n − 2v n

5 = 2

5 (u n − v n ) < 0

^{d'aprèslaquestion}

1

^.

Donlasuite

(v n )

^estdéroissante.

•

^Montronsque

lim

n→+∞ v n − u n = 0

^.

Onsaitque

w n = v n − u n

^etquelasuite

(w n )

^estunesuitegéométriquederaison

1

5

^;etpuisque

0 < 1 5 < 1

^,

ona

lim

n→+∞ w n = 0

^.Ainsi

lim

n→+∞ v n − u n = 0

^.

Lesdeuxsuites

(u n )

^et

(v n )

^{sontdonadjaentes.}

4. a.

u n+1 + v n+1 = 2u n + 3v n

5 + 3u n + 2v n

5 = 5u n + 5v n

5 = u n + v n

^.

b. Onendéduit quelasuitedetermegénéral

x n = u n + v n

^{est onstanteégaleà}

u 0 + v 0 = 5

^.

5. D'aprèslethéorème,lessuites

(u n )

^et

(v n )

^{sontadjaentes.Ellesonvergentdonverslamêmelimite}

λ

^.

Don la suite de terme général

u n + v n

^{onverge vers}

2λ

^{. Mais on a vu que la suite de terme général}

u n + v n

^{estonstanteégaleà}

5

^{.Dononaparpassageàlalimite}

5 = 2λ

^puis

λ = 5

2

Lessuites

(u n )

^et

(v n )

^{onvergenttouteslesdeuxverslamêmelimite}

5

2

^.

Exerie 3:Soientlessuites

(u n )

^et

(v n )

^{déniesparlesformulessuivantes :}

1.

u n = − 1

n + 1

^et

v n = 1 n + 3

^.

2.

u n = 1 − 1

n

^et

v n = 1 + sin 1

n

.

3.

u n = 3 − 1

n ²

^et

v n = 3 + 1 n ³

^.

Étudiersiessuitessontadjaentes.Danseas,déterminerleurlimite ommune.

Solution :

1. Lasuitedetermegénéral

n + 1

^{estroissanteetstritementpositive.Donlasuitedetermegénéral}

1 n + 1

est déroissante.Donlasuitedetermegénéral

− 1

n + 1

^{est roissante;lasuite}

(u n )

^{estdonroissante.}

Lasuitedetermegénéral

n + 3

^{estroissanteetstritementpositive.Donlasuitedetermegénéral}

1 n + 3

est déroissante.Lasuite

(v n )

^estdondéroissante.

Deplus

v n − u n = 1

n + 3 − − 1

n + 1 = 1

n + 3 + 1 n + 1

Or

lim

n→+∞

1

n + 3 = 0

^et

lim

n→+∞

1

n + 1 = 0

^{don,parsomme,}

lim

n→+∞ v n − u n = 0

^.

Lesdeuxsuites

(u n )

^et

(v n )

^{sontdonadjaentes.D'aprèslethéorème,ellesonvergentdonverslamême}

limite. Iivers

0

^.

2. Lasuitedetermegénéral

1

n

^estdéroissante.Donlasuitedetermegénéral

− 1

n

^{estroissante.Etlasuite}

determe général

1 − 1

n

^{estroissante.Lasuite}

(u n )

^{estdonroissante.}

La suite de terme général

1

n

^est déroissante, à valeurs dans

[0; 1]

^{. De plus, la fontion}

f

^{dénie par}

f (x) = sin(x)

^{estroissantesur}

[0; π

2 ]

^{. Donpar}omposition,ona: lasuitedeterme général

sin( 1 n )

^est

déroissante.Lasuitedetermegénéral

v n

^estdéroissante.

On ade plus

v n − u n = sin 1

n

+ 1

n

^et

lim

n→+∞

1

n = 0

^{. et}

lim

n→+∞ sin 1

n

= 0

^{( ar}

lim

x→0 sin(x) = 0

^et

n→+∞ lim 1 n = 0

⁾

Conlusion:Parsomme,

lim

n →+∞ v n − u n = 0

^.

Lesdeuxsuites

(u n )

^et

(v n )

^{sontdonadjaentes.D'aprèslethéorème,ellesonvergentdonverslamême}

limite. Iivers

1

^.

3. Lasuitedetermegénéral

n ²

^{estroissanteetstritementpositive.Donlasuitedetermegénéral}

1 n ²

^est

déroissante.Etdonlasuitedetermegénéral

− 1

n ²

^{estroissante.Lasuite}

(u n )

^{estdonroissante.}

Lasuitedetermegénéral

n ³

^{estroissanteetstritementpositive.Donlasuitedetermegénéral}

1 n ³

^est

déroissante.Lasuite

(v n )

^estdondéroissante.

Deplus

v n − u n = 1 n ³ + 1

n ²

Or

lim

n→+∞

1

n ³ = 0

^et

lim

n→+∞

1

n ² = 0

^{don,parsomme,}

lim

n→+∞ v n − u n = 0

^.

Lesdeuxsuites

(u n )

^et

(v n )

^{sontdonadjaentes.D'aprèslethéorème,ellesonvergentdonverslamême}

limite. Iivers

3

^.

Remarque:iilebutdel'exerieestdes'entraîneràprouverquedeuxsuitessontadjaentes;onn'avaitpas

Exerie 4:Soientlessuites

(u n )

^et

(v n )

^{déniesparlesformulessuivantes :}

u n = 1 + 1

1! + 1

2! + · · · + 1

n!

^et

v n = u n + 1 n!

^.

1. Érire essuitesàl'aidedusymbole

P

.

2. Montrerquees suitessontadjaentes.(Remarque:onmontre queleurlimite ommune est

e

^).

Solution :

1.

u n = 1 + 1 1! + 1

2! + · · · + 1 n! =

n

P

k=0

1

k!

^et

v n = u n + 1 n! =

n

P

k=0

1 k! + 1

n!

2.

u n+1 − u n =

n+1

P

k=0

1 k! −

n

P

k=0

1

k! = 1

(n + 1)! > 0

^.Lasuite

(u n )

^{estroissante.}

v n+1 − v n =

u n+1 + 1 (n + 1)!

−

u n + 1 n!

= (u n+1 − u n )+ 1 (n + 1)! − 1

n! = 1

(n + 1)!

+ 1

(n + 1)! − 1 n! = 2

(n + 1)! − 1

n! = 2 − (n + 1)

(n + 1)! = 1 − n

(n + 1)! ≤ 0

^dèsque

n ≥ 1

^{.La suite}

(v n )

^{est don}déroissanteàpartir durang

1

^.

Paronstrution,

v n − u n = 1

n!

^.Don

lim

n→+∞ v n − u n = 0

Lesdeuxsuites

(u n )

^et

(v n )

^{sontdonadjaentes.D'aprèslethéorème,ellesonvergentdonverslamême}

limite. Onprouvequeettelimiteommuneest

e = exp(1)

^.

Exerie 5:Soientlessuites

(u n )

^et

(v n )

^{déniesparlesformulessuivantes :}

u n =

n

P

p=1

1

p ²

^et

v n = u n + 1 n

^.

Montrerqueessuitessontadjaentes.(Remarque:onpeutmontrerqueleurlimite ommuneest

π ² 6

^).

Solution :

u n+1 − u n =

n+1

P

p=1

1 p ² −

n

P

p=1

1

p ² = 1

(n + 1) ² > 0

^{. Lasuite}

(u n )

^{est roissante.}

v n+1 − v n =

u n+1 + 1 n + 1

−

u n + 1 n

= (u n+1 − u n ) + 1 n + 1 − 1

n =

1 (n + 1) ²

+ 1

n + 1 − 1 n = n + n(n + 1) − (n + 1) ²

n(n + 1) ² = − 1

n(n + 1) ² ≤ 0

^{dès que}

n ≥ 1

^{. La suite}

(v n )

^{est don} déroissante à partir du rang

1

^.

Paronstrution,

v n − u n = 1

n

^.Don

lim

n→+∞ v n − u n = 0

Les deux suites

(u n )

^et

(v n )

^{sont don adjaentes. D'après le théorème, elles onvergentdon vers la même}

limite. Onprouvequeettelimiteommuneest

π ²

6

^.

Exerie 6:Lessuites

(u n )

^et

(v n )

^{sontdénies par:}

( u 0 = 2

v 0 = 1

^et







u n+1 = u n + v n

2 v n+1 = √

u n v n

1. Montrerquepourtout

n ∈ N

ona

u n+1 − v n+1 ≥ 0

^{;puisquepourtout}

n ∈ N

ona

u n − v n ≥ 0

^.

En déduirequepourtout

n ∈ N

ona

u n+1 − v n+1 ≤ u n − v n

2

^.

2. Montrerquelessuites

(u n )

^et

(v n )

^{sontadjaentes.}

Solution :

1. Lessuites

(u n )

^et

(v n )

^{sontàvaleursstritementpositives(réurreneimmédiate)donbiendénies.}

Deplus,si

n ∈ N

,ona

u n+1 − v n+1 = u n + v n

2 − √

u n v n

= u n + v n − 2 √ u n v n

2

=

√ u n − √ v n

² 2

Et unarréest toujourspositif don pour tout

n ∈ N

, on a

u n+1 − v n+1 ≥ 0

^{; 'est àdire}

u n − v n ≥ 0

pourtout

n ≥ 1

^{.Maispuisque'estvraiaussipour}

n = 0

^,ona

v n − u n ≥ 0

^pourtout

n ∈ N

. Pourmontrerque

u n+1 − v n+1 ≤ u n − v n

2

^,montronsque

u n+1 − v n+1 − u n − v n

2 ≤ 0

^.

Soit

n ∈ N

,ona:

u n+1 − v n+1 − u n − v n

2 = 2u n+1 − 2v n+1 − u n + v n

2

= u n + v n − 2 √

u n v n − u n + v n

2

= 2v n − 2 √ u n v n

2 = v n − √ u n v n

Mais ona montré préédemmentque si

n ∈ N

alors

v n ≤ u n

^{. Cela entraîne que}

v n u n ≤ u n 2

(puisque

u n ≥ 0

^)puis

√ v n u n ≤ u n

^{(la fontion}

√

est roissantesur

R ⁺

).Ainsi

v n − √ u n v n ≤ 0

^{, et on aainsi}

prouvéquepourtout

n ∈ N

,

u n+1 − v n+1 − u n − v n

2 ≤ 0

^{;equiéquivautà}

u n+1 − v n+1 ≤ u n − v n

2

^.

2. Puisque

v n ≤ u n

^pourtout

n ∈ N

,ona:

v n + u n ≤ 2 u n

^don

u n + v n

2 ≤ u n

^{,'estàdireque}

u n+1 ≤ u n

^.

Lasuite

(u n )

^{est don}déroissante.

Etdemême,puisque

v n ≤ u n

^pourtout

n ∈ N

etpuisque

v n ≥ 0

^,ona:

v n 2

≤ u n v n

^don

√ v n 2 ≤ √ u n v n

(la fontion

√

estroissantesur

R ⁺

).C'estàdireque

v n ≤ √ u n v n

^;ouenore

v n ≤ v n+1

^.Lasuite

(v n )

est dondéroissante.

De plus, puisque

u n+1 − v n+1 ≤ u n − v n

2

^{pour tout}

n ∈ N

, on a alors par réurrenela majoration :

| u n − v n | ≤ 1

2 ⁿ | u 0 − v 0 |

^{.Et puisque}

lim

n→+∞

1

2 ⁿ = 0

^,ona

lim

n→+∞ | u n − v n | = 0

^.

Etlessuites

(u n )

^et

(v n )

^{sontadjaentes,ellesonvergentdonversunelimiteommune.}

Exerie 7:Lessuites

(u n )

^et

(v n )

^{sontdénies sur}

N

par:

( u 0 = 1 v 0 = 2

^et







u n+1 = u n + v n

2 v n+1 = u n+1 + v n

2

1. Démontrerqu'ilexisteunréel

k

^{telque, quelquesoit}

n ∈ N v n+1 − u n+1 = k(v n − u n )

2. Montrerparréurrenequepourtout

n ∈ N u n < v n

3. Montrerquelessuites

(u n )

^et

(v n )

^sontonvergentes.

4. Soit

w n =

n

P

p=0

(v p − u p )

^.Donnerl'expressionde

w n

^enfontionde

n

^.

5. Exprimer

n

P

p=0

(u p+1 − u p )

^enfontionde

w n

^{,puisenfontionde}

u n

^{et de}

u 0

^.

6. En déduirel'expressionde

u n

^enfontionde

n

^.

7. Quelleestlalimitede

(v n )

^?

Solution :

Exerie 8:Ononsidèrelessuites

(u n )

^et

(v n )

^{déniespourtout}

n ≥ 1

^par:

( u 1 = 1

v 1 = 12

^et



 

 

u n+1 = u n + 2v n

3 v n+1 = u n + 3v n

4

1. Caluler

u 2

^et

v 2

^puis

u 3

^et

v 3

^.

2. On dénit la suite

(w n )

^par

w n = v n − u n

^{. Montrer que}

(w n )

^{est une suite}géométrique et préiser sa limite.

3. Aprèsavoirétudiélesensdevariationdessuites

(u n )

^et

(v n )

^{,démontrerqueesdeuxsuitessontadjaentes.}

Quepeut-onendéduire?

4. Ondénit lasuite

(t n )

^par

t n = 3u n + 8v n

^.

5. Montrerque

(t n )

^{estunesuiteonstante.}

6. En déduirelalimiteommunedessuites

(u n )

^et

(v n )

^.

Solution :