Universit´e UPMC 2010/2011 Licence 3 01/06/2011
Examen LM339
Question de cours
On consid`ere le tableau final obtenu dans un probl`eme de programmation lin´eaire d´efini par p contraintes lin´eaires dans Rq et r´esolu par la m´ethode du simplexe.
On d´esigne par cj, j ∈ [1, p+q]les coefficients marginaux des variables hors base dans la ligne d´efinissant le cout `a l’´etape finale et par di, i ∈ [1, p] les coefficients du dernier vecteur colonne.
1)Donner une condition suffisante d’optimalit´e.
2)Dans quel cas a-t-on d´eg´en´erescence ? Que se passe-t-il alors ?
3)Dans quel cas a-t-on optimum multiple ? Qu’entend on alors par cyclage ?
Probl`eme Partie I
On veut ´etudier le maximum de la forme lin´eaire f(X) = 2x1+x2+ 10x3
sur le domaine P d´efini par les in´egalit´es
x1+ 6x2+ 5x3 ≥10 x1+ 2x2+x3 ≤15 x1 ≥0, x2 ≥0, x3 ≥0
1)Montrer queP est un poly`edre convexe non vide born´e.
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2)On veut appliquer la m´ethode du simplexe.
Introduire deux variables x4, x5 que l’on d´efinira et mettre le probl`eme sous forme standard.
Pr´eciser le tableau initial standard ainsi obtenu.
3a)Initialiser le probl`eme en prenant pour variables de base x2 et x5. 3b)Pr´eciser le tableau obtenu.
3c)D´efinir le sommet du convexe standard ainsi mis en ´evidence.
4a)A partir de l’initialisation pr´ec´edente montrer que la m´ethode du sim- plexe permet de d´efinir le maximum de f en deux ´etapes.
A chaque ´etape expliquer le choix du pivot, les op´erations sur les lignes et le tableau obtenu.
4b)D´efinir le sommetS du convexe initial r´ealisant le maximum de f surP. V´erifier que f(S) = 150.
Quelle contrainte d´efinissant le convexe initial est satur´ee enS?
5a)Ecrire la d´ecomposition affine de toute solution r´ealisableXdu convexe initial P.
5b)Utiliser cette d´ecomposition pour d´eduire les directions des trois arˆetes issues du sommet S.
5c)En d´eduire l’un des trois sommets relies `aS.
Partie II
1)Ecrire le probl`eme pr´ec´edent sous la forme matricielle{AX ≤d, X ≥0}
en pr´ecisant la matrice A et le vecteur d.
Enoncer le probl`eme dual du pr´ec´edent, soitD le convexe dual.
2a)Enoncer le crit`ere des ´ecarts compl´ementaires.
2b)L’utiliser pour trouver le sommet deDqui minimiseg(y) = −10y1+ 15y2. 2c)Question bonus: D´eduire directement le tableau d´efinissant ce sommet
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a partir du tableau final du probl`eme primal.
3)Peut-on d´efinir le maximum de g surD?
4)Donner l’allure du graphe repr´esentant D et d´efinir les deux arˆetes de r´ecession.
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