Universit´e UPMC 2007/2008 Licence 3 14/01/2008
Examen LM339
Exercice 1
On considere le probleme de programmation lineaire suivant dansR2:
maximiser la fonctionnelle lineairefa(X) = 2x1+ax2ou a est un parametre reel sur le polyedre convexe :
x1−2x2≤3 x1+ 2x2≤4 x1+x2≤1
−x1+x2≤1 x1≥0, x2≥0 1a)Definir graphiquement le polyedre des contraintes.
1b)Selon les valeurs de a resoudre graphiquement le probleme et donner le ou les points realisant l’optimum et la valeur de l’optimum.
2a)Ecrire le probleme dual associe en fonction des variablesy1, y2, y3, y4 et preciser le polyedre Ca des contraintes et la fonctionga minimiser.
2b)Peut on definir sans calcul le minimum deg selon les valeurs dea?
3a)Enoncer le theoreme des ecarts complementaires et montrer que les coordonnees du point realisant l’optimum verifienty1=y2= 0 pour toute valeur dea.
3b)Selon les valeurs de aen deduire le ou les points realisant l’optimum.
Exercice 2
On considere le probleme de programmation lineaire suivant dansR3:
maximiser la fonctionnelle lineaire f(X) =−x+ 3y+z sur le polyedre convexe ;
3x+ 2y+ 3z≥24 4x+y+ 3z≤60
−2x−y+z≤18 x≤9
x≥0, y≥0, z≥0
1)En introduisant les variables d’ecart et de faux-ecart ecrire le probleme standart associe sous forme de tableau.
2)Initialiser le probleme en faisant entrer la premiere variable en base. Donner le tableau correspondant et en deduire queQ(9,0,0) est un sommet du convexe initial des contraintes.
3)A partir de l’initialisation precedente resoudre le probleme par la methode du simplexe.
Preciser les 2 tableaux necessaires a cette etape.
4) Donner le maximum def et le sommetS ou est atteint ce maximum.
5)SurR4on definit la fonctionnelleg(X) =−24x+ 60y+ 18z+ 9tet le polyedre convexeC:
3x−4y+ 2z−t≤1
−2x+y−z≥3
−3x+ 3y+z≥1 x≥0, y≥0, z≥0, t≥0 Que peut on dire du maximum et du minimum deg surC?
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