CONVEXITE PROGRAMMATION LINEAIRE LM339 Universite Pierre-et-Marie Curie, Paris VI

CONVEXITE

PROGRAMMATION LINEAIRE LM339

Universite Pierre-et-Marie Curie, Paris VI

Catherine DOSS

31 mai 2010

2

Chapitre 1

Introduction a la programmation lineaire dans R ²

1.1 Probl` eme de production

1.1.1 Pr´ esentation

Prenons un exemple cit´e dans l’ouvrage de R.RUPPLI :”Programmation lin´eaire” ed.Ellipse,(2005) utilis´e pour les exemples de ce polycopi´e.

Une entreprise fabriquex (resp.y) unit´es de produits P₁ (resp.P₂) dont chaque unit´e passe dans trois ateliers A₁,A₂,A₃. Chaque unit´ex de P₁(resp. P₂) est vendue 12 euros(resp.11) et sa fabrication coute 7 euros(resp. 9). Le nombre d’unit´es x de produit P₁ est compris entre 50 et 100, le temps de passage dans chaque atelier, le temps de travail maximum par atelier et par jour sont d´efinis par le tableau suivant :

P A₁ A₂ A₃

P₁ 2mn 3mn 3mn

P₂ 3mn 2mn 1mn

A 5h50mn 5h50mn 5h10mn Il s’agit de maximiser

Z = (12−7)x+ (11−9)y= 5x+ 2y

Compte tenu du passage dans les ateliers le probl`eme consiste donc maximiser la forme lin´eaire Z sous les contraintes d’in´egalites suivantes :

3

4 CHAPITRE 1. INTRODUCTION A LA PROGRAMMATION LINEAIRE DANS R²



















2x+ 3y ≤350 3x+ 2y ≤350 3x+y≤310 50≥x≤100 x≥0, y ≥0

1.1.2 R´ esolution graphique du probl` eme

Les lignes de niveau d’´equation 5x+ 2y =k coupent l’axe Oy en k/2 ; maximiser k/2 c’est faire monter les lignes de niveau intersectant C jusqu’`a ce qu’elle ne passent plus que par le point D(90,40) qui correspond a l’intersection des droites d’´equation respective 3x+ 2y = 350,3x+y= 310. En conclusion il faut fabriquer 90 produits P₁ et 40 produits P₂ par jour pour avoir un b´en´efice journalier optimal de 530 euros.

1.2 R´ esolution dans le cas de deux variables

1.2.1 Convexes de R

d´efinition 1.2.1 L’ensemble C de R² est convexe si et seulement si pour tout point A et B de C, le segment [AB] est dans C.

∀t∈[0,1],∀A, B ∈C, At+ (1−t)B ∈C.

Exemple :

Le demi plan affine d´efini par l’equation {ax+by≤d} est convexe.

d´efinition 1.2.2 a)S est un sommet de C si il existe une droiteD telle que l’intersection du convexe C avec cette droite se r´eduise a S

b)La droite L_k est une ligne de niveau du convexe C d´efini par les contraintes de la pro- grammation lin´eaire si elle a une intersection non vide avec C.

proposition 1.2.1 L’intersection de deux convexes est convexe

1.2. R ´ESOLUTION DANS LE CAS DE DEUX VARIABLES 5

1.2.2 Th´ eor` eme des points interieurs

th´eor`eme 1.2.1 Soit le probl`eme de maximiser une forme lin´eaire Z =αx+βy sous les contraintes suivantes d´efinissant un convexe non vide de R² :

(a_ix+b_iy≤d_i, i∈[1, p]

x≥0, y ≥0

Si le point M₀ est un point int´erieur du convexe C, Z n’est ni maximum, ni minimum en M₀.

Preuve :

Soient les vecteurs U~ = (α, β), OM~ = (x, y), OM~ ₀ = (x₀, y₀).

On a Z = U . ~~ OM, Z₀ = U . ~~ OM₀. Soit Z₀ = αx+βy la ligne de niveau passant par M₀. CommeM₀ est un point int´erieur du convexe C, on peut se d´eplacer dans toute direction de part et d’autre de M₀ en restant dansC :

∀W ,~ ∃t₀,∀t∈[−t₀, t₀] :M~₀M =t ~W ⇒M ∈C Soit M ainsi d´efini par W~ =U, on a :~

Z =U . ~~ OM =U .{~ 0M~ ₀+M~₀M}=Z₀+t|U|²

donc autour de M₀ il existe au moins deux pointsM₁ et M₂ tels que l’on ait : Z₁ < Z₀ < Z₂ d’ou le r´esultat.

1.2.3 Th´ eor` eme d’optimalit´ e

th´eor`eme 1.2.2 SiZ admet un maximum ou un minimum surC, cet optimum est atteint en un sommet.

Preuve :

D’apr`es le th´eor`eme pr´ec´edent siZ est optimum en M₀, Z ne peut ˆetre `a l’int´erieur de C.

D’autre part la ligne de niveau passant par M₀ ne peut avoir un point int´erieur C sinon Z aurait la mˆeme valeur en M₀ et M₁ et ne pourrait ˆetre optimal en M₀ car non optimal

6 CHAPITRE 1. INTRODUCTION A LA PROGRAMMATION LINEAIRE DANS R² en M₁ qui est int´erieur. Donc si Z est optimal en M₀ la ligne de niveau passant par M₀ n’a aucun point int´erieur aC.

Deux cas se pr´esentent ou bien M₀ est un sommet isol´e, ou bien M₀ est sur une arˆete etZ est optimum sur toute l’arˆete en particulier aux deux sommets extr´emaux.

NB : Le th´eor`eme pr´ec´edent n’assure pas l’existence d’extr´emum, si C est non born´e il peut ne pas exister d’extr´emum.

Chapitre 2

M´ ethode de Gauss-Jordan

2.1 Syst` emes lin´ eaires

2.1.1 Rappel

a)Forme alg´ebrique

Un systeme lin´eaire de p ´equations a n inconnues s’´ecrit :







a₁₁x₁+a₁₂x₂+· · ·+a_1nx_n=d₁ ...

a_p1x₁+a_p2x₂+· · ·+a_pnx_n =d_p b)Forme matricielle

SiA est la matrice pxn des coefficientsa_ij le systeme s’´ecrit : AX =d ouX ∈Rⁿ.

A est la matrice d’une application lin´eaire f de Rⁿ dansR^p exprim´ee dans les bases res- pectivese=₁,· · · , _p deR^p et Be=u₁,· · · , u_n deRⁿ

Soit X₀ une solution particuli`ere du syst`eme consid´er´e alors f(X₀) =d;

le vecteurdest donc dans=f et l’ensemble des solutions du syst`eme s’´ecriventX =X0+W ouW varie dans kerf.

L’ensemble des solutions est donc un espace affineFede vecteur origineX₀, dirig´e selon kerf et de dimension dim kerf : on dit queFeest le translat´e deX₀ selon kerf :Fe=X₀L

kerf 7

8 CHAPITRE 2. M ´ETHODE DE GAUSS-JORDAN c)Forme vectorielle

Le syst`eme peut aussi s’´ecrire avec les n vecteurs colonneV_j =f(u_j), de la matrice A qui sont les images de la base Be deRⁿ, images exprim´ees dans la basee=₁,· · · , _p deR^p.

2.1.2 M´ ethode du pivot de Gauss-Jordan

La m´ethode consiste a obtenir un syst`eme ´equivalent par des combinaisons lin´eaires de lignes choisies de facon a ´eliminer une inconnue dans toutes les ´equations sauf une.

Plus pr´ecis´ement si le pivot choisi est a_jk les op´erations `a effectuer sur les lignes sont d´efinies par :

L_j/a_jk →L_j⁰ L_i−a_ik/a_jkL_j →L_i⁰

Consid´erons par exemple le syst`eme suivant :











3x−6y−3t+ 3u= 9 2x−2y+ 2z−2t+u= 5 x−y+z+t+u= 7 2x−y+ 3z+ 4t+ 2u= 18 que l’on d´ecrit par le tableau :

Tableau 0 :

3 -6 0 -3 3 9

2 -2 2 -2 1 5

1 -1 1 1 1 7

2 -1 3 4 2 18

En choisissant le pivot indiqu´e en gras et en ´effectuant les op´erations indiqu´ees entre pa- renth`eses sur les lignes L_i de ce tableau on obtient :

Tableau 1 :

2.1. SYST `EMES LIN ´EAIRES 9 (1/3L₁;L₂−2/3L₁;L₃−1/3L₁;L₄ −2/3L₁)

1 -2 0 -1 1 3

0 2 2 0 -1 -1

0 1 1 2 0 4

0 3 3 6 0 12

Tableau 2 :

(L₁+L₂; 1/2L₂;L₃−1/2L₂;L₄−3/2L₂)

1 0 2 -1 0 2

0 1 1 0 -1/2 -1/2

0 0 0 2 1/2 9/2

0 0 0 6 3/2 27/2

Tableau 3 :

(L₁+ 1/2L₃;L₂; 1/2L₃;L₄−3L₃)

1 0 2 0 1/4 17/4

0 1 1 0 -1/2 -1/2

0 0 0 1 1/4 9/4

0 0 0 0 0 0

En trois ´etapes on obtient donc le syst`eme suivant :







x+ 2z−1/4u= 17/4 y+z−1/2u=−1/2 t+ 1/4u= 9/4

Le syst`eme est ind´etermin´e ; si on choisit x,y,t comme inconnues principales on obtient







x= 17/4−2z−1/4u y=−1/2−z+ 1/2u t = 9/4−1/4u

`

ou les inconnues auxilliaires z et u varient dans R

10 CHAPITRE 2. M ´ETHODE DE GAUSS-JORDAN

2.1.3 Interpr´ etation vectorielle g´ en´ erale de la m´ ethode de Gauss- Jordan

Soit un syst`eme lin´eaire de p ´equations a n inconnues d´efini par une matrice A de coef- ficients a<sub>ij</sub> et de second membre le vecteur d de coordonn´ees d<sub>i</sub> dans la base canonique e = <sub>1</sub>,· · · , <sub>p</sub>. Si l’on note V<sub>i</sub> les vecteurs colonne de la matrice A exprimes dans la base canonique ; le syst`eme peut s’´ecrire en utilisant le tableau suivant :

− V₁ · · · V_k · · · V_n d ₁ a₁₁ · · · a_1j · · · a_1n d₁ ... ... ... ... ... ... ... _j a_j1 · · · a_jk · · · a_jn d_j

... ... ... ... ... ... ... _p a_p1 · · · a_pk · · · a_pn d_p Th´eor`eme des bases voisines de Gauss-Jordan

Si a_jk est non nul, les op´erations de la m´ethode de Gauss-Jordan pour ce pivot corres- pondent a l’entr´ee du vecteur V_k dans la base e a la place du vecteur _j.

On passe donc du tableau des composantes des vecteursV₁,· · · , V_k,· · · , V_ndans la baseeau tableau des composantes de ce mˆeme vecteur dans la basee1 =1,· · · , j−1, Vk, j+1,· · ·, p

par les op´erations de ce pivot.

e ete₁ sont appell´ees bases voisines,

V_kest le vecteur entrant danse,_j le vecteur sortant dee.

preuve :

a)Montrons d’abord que e₁ est une base.

CommeVk=Pi=p

i=1aiki on a :

α₁₁+α₂₂ +· · ·+α_jV_k+· · ·+α_pp=

=(α₁+a_1kα_j)₁+· · ·+ (a_jkα_j)_j+· · ·+ (α_p+a_pkα_j)_p = 0.

De part l’ind´ependance des vecteurs _i on obtient d’apr`es la seconde ´egalite α_j = 0 puis

2.1. SYST `EMES LIN ´EAIRES 11 d’apr`es la premi`ere α_i = 0∀i∈[1, p]

b)Soit x_i(resp.t_i)les composantes du vecteurX dans les bases respectivese ete₁. Comme d’une part :

X =t₁₁+t₂₂+· · ·+t_jPi=p

i=1a_iki+· · ·+t_pp et d’autre part :

X = (t₁+t_ja_1k)₁+· · ·+ (t_(j−1)j+t_ja_(j−1)k)_j−1+t_ja_jk+ (t₍j+ 1) +t_ja_(j+1)k)_j+1) +· · ·+ (t_p+t_ja_pk)_p.

Par unicit´e des composantes de X dans la basee on obtient : x_j =t_ja_jk et∀i6=j :x_i = (t_i+t_ja_ik) d’ou :

t_j =x_j/a_jk ce qui correspond a l’op´erationL_j/a_jk →L⁰_j

∀i6=j :t_i =x_i−(a_ik/a_jk)x_j pour l’operation L_i−(a_ik/a_jk)L_j →L⁰_j Il s’agit bien des op´erations indiqu´ees pour le pivot ajk.

Dans l’exemple pr´ec´edent :

- le choix du premier pivota₁₁= 3 dans le tableau 0 fait entrerV₁ dans la base et sortir₁ -le choix du deuxieme pivot a₂₂ = 2 dans le tableau 1 fait entrer V₂ et sortir₂

-le choix du troisieme pivota₃₄= 2 dans le tableau 2 fait entrerV₄ dans la base et sortir₃

12 CHAPITRE 2. M ´ETHODE DE GAUSS-JORDAN

Chapitre 3

Programmation lin´ eaire dans R ^q

3.1 Formes canoniques : vocabulaire

3.1.1 Forme canonique alg´ ebrique initiale

La programmation lin´eaire consiste maximiser dans le cˆone positif une fonctionnelle lin´eaire c₁x₁+c₂x₂+· · ·+c_qx_q de q variables x_i, i∈[1, q] sous p contraintes lin´eaires d’´egalit´e ou d’in´egalit´e de type suivant :





 Pj=q

j=1a_αjt_j ≤d_α Pj=q

j=1a_βjt_j =d_β Pj=q

j=1a_γjt_j ≥d_γ D’apres les remarques suivantes :

-en changeant de signe les deux membres de l’in´egalite on peut se ramener `a la forme ≤ -en d´edoublant les contraintes une ´egalite peut se ramener `a deux in´egalit´es

-toute variable n´egative peut s’´ecrire comme diff´erence de deux nouvelles variables posi- tives

On peut donc formellement (apr`es introduction ´eventuelle de nouvelles variables et de nouvelles ´equations) se ramener `a la forme canonique initiale qui consiste `a optimiser la fonctionnelle lineaire Z de q variables positives ou nulles sous p contraintes lin´eaires d’in´egalites ≤, les seconds membres d<sub>i</sub> ´etant alors de signes quelconques.Le probl`eme se ram`ene ainsi `a la forme suivante ;

13

14 CHAPITRE 3. PROGRAMMATION LIN ´EAIRE DANS R^Q







M axZ;Z =Pj=q j=1c_jx_j,

a_i1x₁+a_i2x₂+· · ·+a_iqx_q≤d_i;∀i∈[1, q]

x_i ≥0,∀i∈[1, q]

3.1.2 Forme canonique matricielle initiale

Notons :

Ce=





 c₁

... cq





 Xe =





 x₁

... xq





 d=





 d₁

... dp





 Ae=











a₁₁ a₁₂ · · · a_1q a21 a22 · · · a2q

...

a_p1 a_p2 · · · a_pq











Si pour les vecteurs V et W de coordonn´ees respectives v_iet w_ion utilise la notation : V ≥W ⇐⇒ v_i ≥w_i ∀i∈[1, r]

V ≥0r ⇐⇒ vi ≥0 ∀i∈[1, r]

la forme matricielle canonique initiale s’´ecrit :







M axZ;Z =Ce^TXe AeXe ≤de

Xe ≥0

3.1.3 Forme vectorielle initiale

(M axZ;Z =ZPj=q j=1c_jx_j

x₁V₁+x₂V₂+· · ·+x_qV_q≤d;x_i ≥0;∀i∈[1, q]

`

ou les V_i sont les vecteurs colonnes de la matrice Ae exprim´es dans la base canonique B=ω₁, ω₂,· · · , ω_p de R^p

3.2 Formes standards

3.2.1 Forme canonique standard

On introduit les variables d’´ecarts positives : x_q+i =d_i−(a_i1x₁+a_i2x₂+· · ·+a_iqx_q)

3.2. FORMES STANDARDS 15 et l’on travaille alors avec un syst`eme de p ´equations a q+p inconnues ; syst`eme de rang p : on pourra tirer p inconnues principales en fonction des q autres d’`ou une diversit´e de solutions qui nous guidera vers la r´esolution du probl`eme suivant :























.M axZ;Z =Pj=q j=1c_jx_j,

a₁₁x₁+a₁₂x₂+· · ·+a_1qx_q+x_q+1 =d₁ a₂₁x₁+a₂₂x₂+· · ·+a_2qx_q+· · ·x_q+2 =d₂ ...

a_p1x₁+a_p2x₂+· · ·+a_pqx_q+· · ·x_q+p =d_p x_i ≥0,∀i∈[1, q+p]

3.2.2 Forme matricielle standard

Il s’agit de maximiser Z sous les contraintes suivantes :







Z =Ce^TXe AeXe+I_pE =d X, Ee ≥0 ce qui peut encore s’´ecrire :







Z =C^T.X AX =d X ≥0

o`u le vecteurEdeR^pest d´efini par les variables d’´ecart ;e_i =x_q+i, i∈[1, p] et :

C =

Ce Op

X =

Xe E

avec C,e X,e Aed´efinis pr´ec´edemment A est la matrice a p lignes et n=p+q colonnes :

A= [A, Ie _p] =











a₁₁ a₁₂ · · · a_1q 1 0 · · · a21 a22 · · · a2q 0 1 · · ·

...

a_p1 a_p2 · · · a_pq 0 · · · 1











NB : C,e X, de sont dansR^p;C, Xsont dansRⁿ

etA est la matrice nxp deL(Re ⁿ, R^p) exprim´ee dans les bases e deRⁿet Be deR^p

par cons´equent les p derniers vecteurs colonnes de la matriceA sont les vecteurs de la base canonique de R^p.

16 CHAPITRE 3. PROGRAMMATION LIN ´EAIRE DANS R^Q

3.2.3 Forme vectorielle standard

Il s’agit de maximiser Z ou







Z =Pj=q j=1c_jx_j,

x₁V₁+x₂V₂+· · ·+x_qV_q+x_q+1V_q+1+· · ·+x_nV_n=d x_i ≥0 ∀i∈[1, n], n=p+q

Vi sont les vecteurs colonne de la matrice A exprim´es dans la base canonique de R^p qui coincide avec Vq+1,· · · , Vq+p

NB : Les vecteursV₁,· · · , V_n ne sont pas ind´ependants donc la d´ecomposition ded comme combinaison de n vecteurs n’est pas unique, il faudra trouver celle ou les coefficients des x_i sont positifs ou nuls et ou Z est maximum.

Solutions ”de base”

1)ParmiV1,· · · , Vnon trouve une autre baseB1 =Vi1,· · ·, Vin deR^pdans laquelledadmet la d´ecomposition d=α_i1V_i1 +· · ·+α_ipV_ip et on a la solution :

x_i1 =α_i1,· · · , x_ip =α_ip, les autres variables ´etant nulles.

C’est lasolution de base, les x_i1,· · · , x_ip sont les variables de base.

2)Dans le cas ou certaines valeurs α_i1,· · · , α_ip sont nulles on dira que la solution de base estd´eg´en´er´ee.

3)Si lesα_i1,· · · , α_ipsont positifs ou nuls on dit que l’on a unesolution de base r´ealisable.

NB :Commed=d1Vq+1+d2Vq+2+· · ·+dpVq+p il existe toujours une solution de base ini- tiale pour laquelle les variables de base sont x_q+1,· · ·, x_q+p et les variables hors base sont x₁,· · · , x_q

3.3. CHANGEMENT DE BASE EN PROGRAMMATION LINEAIRE 17

3.3 Changement de base en programmation lineaire

3.3.1 Tableau vectoriel associ´ e au syst` eme des contraintes

Si le syst`eme des contraintes est donn´e par la forme canonique standard Ax=d,

ouAest une matrice (p+q)d, le tableau vectoriel associe exprimant les vecteursV₁,· · · , V_q, V_q+1,· · · , V_q+p dans la base canonique V_q+1,· · · , V_q+p est le suivant :

V₁ V₂ · · · V_q V₍q+ 1) 0 0 · · · V_n d a₁₁ a₁₂ · · · a_1q 1 0 0 · · · 0 d₁ a₂₁ a₂₂ · · · a_2q 0 1 0 · · · 0 d₂

...

a_p1 a_p2 · · · a_pq 0 0 0 · · · 1 d_p Solution de base : x_i1 =d⁰₁,· · ·, x_ip =d⁰_p sont appel´ees ”variables de base”, les autres inconnuesx_ip+1,· · · , x_in sont nulles et appel´ees variables hors base.

3.3.2 Solution generale

Si V_ik,(k ≥ p) entre dans la base et remplace V_im,(m ≤ p) qui sort de la base on dira improprement que ” la variablex_ik est entr´ee dans la base” et remplace la variable de base x_im qui devient variable hors base.

3.3.3 Conclusion

L’ensemble des solutions du syst`eme standardAx=dse d´ecrit sous la formeX<sub>0</sub>+Pi=q i=1x<sub>i</sub>W<sub>i</sub> ou X<sub>0</sub> est une solution particuli`ere de ”base” et ou les vecteurs W_i forment une base du noyau KerAassoci´ee au vecteurs ”hors base trouv´es. L’expression de cet ensemble ne suf- fit pas r´esoudre le probl`eme de programmation lin´eaire ; seules conviennent les solutions positives qui maximisentZ.

18 CHAPITRE 3. PROGRAMMATION LIN ´EAIRE DANS R^Q

3.4 Probl` eme de premi` ere esp` ece

Ce sont les probl`emes o`u dans la forme canonique initiale les seconds membres d₁,· · · , d_p sont positifs ou nuls.

3.4.1 Forme matricielle initiale







Z =Ce^TXe AeXe ≤d Xe ≥0 oudeest positif ou nul.

3.4.2 Forme matricielle standard







Z =C^TX AX =d X ≥0 oud est positif ou nul.

Le tableau des coefficients des inconnues est :











a₁₁ a₁₂ · · · a_1q 1 0 0 · · · d₁ a₂₁ a₂₂ · · · a_2q 0 1 0 · · · d₂

...

a_p1 a_p2 · · · a_pq 0 0 · · · 1 d_p











On obtient imm´ediatement une solution de base r´ealisable initiale : x_q+1 =d₁, x_q+2 =d₂,· · ·, , x_q+p =d_p, x₁ =x₂ =· · · , x_q = 0

3.4. PROBL `EME DE PREMI `ERE ESP `ECE 19

3.4.3 Exemple de probl` eme de premi` ere esp` ece a coefficients tous positifs ou nuls

a) Production avec stock :

Une entreprise fabrique q produits P₁, P₂,· · · , P_q chacun ´etant fabriqu´e `a partir de p mati`eres premi`eres M<sub>1</sub>, M<sub>2</sub>,· · ·, M<sub>p</sub> Les quantit´es de mati`ere utilis´ees pour la fabrication de chaque unit´e de produit sont r´esum´ees dans le tableau suivant ou les variables respec- tives x_i d´esignent les quantit´es de produit etd_i les quantit´es de stock disponibles :

− P₁ · · · P_j · · · P_q − M₁ a₁₁ · · · a_1j · · · a_1q d₁ ... ... ... ... ... ... ... M_p a_p1 · · · a_pj · · · a_pq d_p

− x1 · · · xj · · · xq −

Les produitsP1, P2,· · · , Pqsont vendus respectivement au prix unitairec1, c2,· · · , cq. Comme on ne peut utiliser plus de mati`ere qu’il n’y en a en stock ; le probl`eme de la maximisation du prix de vente de la production s’´ecrit :







M axZ;Z =Pi=q i=1c_ix_i

a_i1x₁+a_i2x₂+· · ·+a_iqx_q ≤d_i;∀i∈[1, p]

x_j ≥0,∀j ∈[1, q], d_i ≥0,∀i∈[1, p]

Le syst`eme complet des contraintes a toujours au moins une solution : x₁ =x₂ =· · ·=x_q = 0 ;

c’est `a dire que l’on ne produit rien.

b) Formulation et existence d’un maximum

Dans ce probl`eme de production on a le r´esultat suivant :

th´eor`eme 3.4.1 Si toutes les donn´ees et toutes les variables sont positives et si aucune va- riable x<sub>i</sub> n’est absente de toutes les contraintes (sinonc<sub>i</sub>x<sub>i</sub> pourrait augmenter ind´efiniment etZ n’aurait pas de maximum) les th´eor`emes d’analyse garantissent l’existence d’un maxi- mum.

20 CHAPITRE 3. PROGRAMMATION LIN ´EAIRE DANS R^Q Preuve :

D’apr`es l’hypoth`ese : a_im ≥0⇒a_imx_m ≤Pj=q

j=1a_ijx_j ≤d_i

∀k ∈[1, q],∃i:a_ik >0⇒x_k< d_i/a_ik∀k ∈[1, q]

chacune des inconnues est born´ee donc le convexe des contraintes est compact donc la fonction continue Z y admet un maximum.

3.5 Probl` eme de seconde esp` ece

3.5.1 Forme initiale

On cherche a maximiser Z ou Z = Pi=q

i=1c_ix_i sous p contraintes qui se subdivisent en p₁ contraintes de type (1),p₂ contraintes de type (2) et p₃ contraintes de type (3) ou p₁+p₂+p₃ =p:

(1) : Pj=q

j=1a_ijx_j ≤d_i;i= 1,· · · , p₁ (2) : Pj=q

j=1a_kjx_j =d_k;k =p₁ + 1,· · · , p₁ +p₂ (3) : Pj=q

j=1a_ljx_j ≥d_l;l=p₁+p₂+ 1,· · ·, p

3.5.2 Forme standard,ecarts,faux-ecarts

- contraintes type (1) : on introduit p₁ variables d’ecart positives e_i : ei =di−Pj=q

j=1aijxj;i= 1,· · · , p1

- contraintes type (2) : pas d’´ecart

- contraintes type (3) : on introduit p₃ variables de faux-´ecart positivesf_l : f_l=Pj=q

j=1a_ijx_j−d_l;l =p₁+p₂+ 1,· · · , p

3.5. PROBL `EME DE SECONDE ESP `ECE 21 Le probl`eme s’ecrit alors :



















M axZ;Z =Pi=q i=1c_ix_i

a_i1x₁+a_i2x₂+· · ·+a_iqx_q+e_i =d_i;∀i∈[1, p₁] a_i1x₁+a_i2x₂+· · ·+a_iqx_q =d_i;∀i∈[p₁+ 1, p₁+p₂] a_i1x₁+a_i2x₂+· · ·+a_iqx_q−f_l =d_l;∀l ∈[p₁+p₂+ 1, p]

x_j ≥0,∀j ∈[1, q], e_j ≥0,∀j ∈[1, p₁], f_j ≥0,∀j ∈[p₁+p₂+ 1, p], d_j ≥0∀j ∈[1, p],

3.5.3 Probl` eme de seconde esp` ece de type (3) a coefficients tous positifs ou nuls

On veut minimiser Z ou Z =Pi=q

i=1c_ix_i quand tous les coefficientsc_i sont positifs ou nuls et quand n’interviennent que des contraintes de type (3).

Le syst`eme des contraintes est bien possible ; il suffit par exemple de consid´erer des va- riables suffisamment grandes mais Z n’admet pas de maximum. Par contre Z est born´e inf´erieurement par 0 et les th´eor`emes d’analyse garantissent l’existence d’un minimum :

Exemple : raffinerie de p´etrole :

Une raffinerie de p´etrole peut acheter du p´etrole brut a quatre fournisseurs B₁,· · · , B₄. Les pourcentages de sous produits, les demandes minimales du march´e et les prix d’achat par tonne de brut sont r´esum´es dans le tableau suivant :

− Gaz Essence Petrole Gazoil Fuel Prix d’ achat

B1 2 20 8 40 30 100u.m

B₂ 0 25 0 25 50 110u.m

B3 5 28 6 30 30 95u.m

B₄ 4 24 7 35 25 90u.m

− 200.000t 1.200.000t 180.000 1.400.000 1.500.000t

22 CHAPITRE 3. PROGRAMMATION LIN ´EAIRE DANS R^Q Le probl`eme de programmation s’´ecrit donc :



























M inZ;Z = 100x+ 110y+ 95z+ 90u 2x+ 5z+ 4u≥2.10⁵

20x+ 25y+ 28z+ 24u≥12.10⁵ 8x+ 6z+ 7u≥1,8.10⁵

40x+ 25y+ 3z+ 35u≥14.10⁵ 30x+ 50y+ 30z+ 25u≥15.10⁵ x, y, z, u≥0

Chapitre 4

Convexite et programmation lineaire

4.1 Convexes de R

d´efinition 4.1.1 C sous-ensemble de R^m est convexe si et seulement si pour tout couple de points X₁, X₂ de R^m le segment [X₁, X₂] est inclus dans C :

∀X₁, X₂ ∈C,∀λ∈[01] :λX₁+λX₂ ∈C

proposition 4.1.1 1)l’intersection de 2 convexes non vides est convexe.

2)les sous espaces vectoriels et en particuliers les hyperplans sont convexes.

d´efinition 4.1.2 H est un hyperplan deR^msi l’une des propri´etes ´equivalentes est v´erifi´ee : 1)X ∈H ⇐⇒ a₁x₁+a₂x₂+· · ·+a_mx_m = 0

2)il existe une forme lin´eaire f =Pj=m

j=1 a_jx_j de R^m telle que H = kerf 3)soit a_k l’un des coefficients non nul de l’expression 1)

X ∈H ⇐⇒ X =Pj=k−1

j=1 x_jW_j+Pj=m

j=k+1x_jW_j ou les vecteurs Wi sont d´efinis par :

si i < k:W_i = (0,· · · ,1,· · · ,−a_i/a_k,0,· · · ,0) si i > k:W_i = (0,· · · ,0,−a_i/a_k,0,· · ·,1,· · · ,0) ou 1 est la i-eme coordonn´ee non nulle.

23

24 CHAPITRE 4. CONVEXITE ET PROGRAMMATION LINEAIRE preuve

3)Soit a_k un coefficient non nul de l’expression 1)

x_k =−a₁/a_kx₁− · · · −a(k−1)/a_kx(k−1)−a_(k+1)/a_kx_(k+1)−a_n/a_kx_n d’ou la d´ecomposition 3)

4.2 Sous espaces affines de R

d´efinition 4.2.1 1) Si X₀ est un vecteur de R^m et F un sous espace vectoriel de R^m. F_X0 = {X₀ +V;V ∈ F} est le sous espace affine d’origine X₀ dirig´e par F. On note F_X0 =X₀L

F

2) F_X0 n’est pas un espace vectoriel n´eanmoins on d´esigne par ”dimension” du sous espace affine F_X0 la dimension du sous espace directeur F

proposition 4.2.1 Les sous espaces affines de R^m sont des convexes de R^m

d´efinition 4.2.2 He est un hyperplan affine de R^m si l’une des propri´et´es ´equivalentes est v´erifi´ee :

1)X ∈He ⇐⇒ a₁x₁+a₂x₂+· · ·+a_mx_m =α

2)Soit L le vecteur (a₁,· · · , a_m)^T : X∈He ⇐⇒ L.X =α 3)soit l’un des coefficients a_k non nul de l’expression 1) X ∈He ⇐⇒ X =X₀+Pj=k−1

j=1 x_jW_j +Pj=m

j=k+1x_jW_j

ou les vecteurs (W_i, i= 1,· · · , k−1, k+ 1,· · · , m) qui ont ´et´e d´efinis pr´ec´edemment sont les vecteurs de base de l’hyperplan et X₀ est d´efini par X₀ = (0,· · ·,0, α/a_k,0,· · · ,0)^T.

4.3. CONVEXES DE LA PROGRAMMATION LINEAIRE 25

4.3 Convexes de la programmation lineaire

4.3.1 Convexe canonique

La forme canonique du probl`eme ´etant : (M axZ, Z =Ce^TXe

(1) :AeXe ≤d,eXe ≥0,Xe ∈R^q, d∈R^p

th´eor`eme 4.3.1 L’ensemble (C) des vecteurs de R^q d´efinissant les p contraintes cano- niques (1) est un convexe de R^q s’il est non vide.

preuve

Toute in´egalitea₁x₁+a₂x₂+· · ·+a_mx_m ≤α d´efini un convexe (C) de R^q qui est l’un des deux demi espaces limit´e par l’hyperplan affine :

a₁x₁+a₂x₂+· · ·+a_mx_m =α.

Par cons´equent (C) d´efini par l’intersection non vide de (p+q) convexes de R^q est un convexe de R^q.

4.3.2 Convexe standard

th´eor`eme 4.3.2 L’ensemble C des vecteurs de Rⁿ (n=p+q), d´efinissant les contraintes AX =d est un convexe de Rⁿ s’il est non vide.

La preuve est identique a la pr´ec´edente.

NB :

1)AX =d ⇐⇒ ∀i∈[1, p] :a_i1x₁+a_i2x₂+· · ·+a_iqx_q+x_(q+1) =d_i

oux₁,· · · , x_q sont les variables de base et x_q+1,· · · , x_q+p les variables d’ ´ecarts.

2)A = [A, Ie p] est la matrice d’une application lineaire de Rⁿ dans R^p exprimee dans les bases canoniques de Rⁿ etB de R^p.

Aest de rang p et dimKerf =n−p=q. Le convexe standardCverifieC=X₀L

Kerfou X₀ est une solution particuli`ere de AX =d.

26 CHAPITRE 4. CONVEXITE ET PROGRAMMATION LINEAIRE

4.3.3 Caract´ erisation des sommets du convexe standard

d´efinition 4.3.1 M0 est un sommet du convexe non vide de Rⁿ si et seulement si :

∀M₀ milieu de [M₁, M₂] on a M₀ =M₁ =M₂

th´eor`eme 4.3.3 Soit C le convexe standard d´efini par la matrice A a p lignes et q+p=n colonnes. Soit X₀ une solution r´ealisable, x_i1, x_i2,· · · , xi_r ses composantes strictement po- sitives et V_i1, V_i2,· · · , V_ir les vecteurs colonnes de A correspondants. X₀ est un sommet de C si et seulement si les vecteurs V_i1, V_i2,· · · , V_ir sont ind´ependants.

preuve

Renum´erotons les variables et notons x₁, x₂,· · · , x_r les variables strictement positives de X₀.

1)Montrons dabord la condition n´ecessaire en supposant les vecteursV_i1, V_i2,· · · , V_ir ind´ependants.

Soient X₁ = (a₁,· · · , a_r, a_r+1,· · · , a_n), X₂ = (b₁,· · · , b_r, b_r+1,· · · , b_n) deux points de C v´erifiant X₀ = 1/2(X₁+X₂).Puisque X₀ =x₁, x₂,· · · , x_r,0,· · · ,0) en identifiant les coor- donn´ees de X₁ et X₂ on obtient :

ar+1+br+1 = · · ·,= an+bn = 0 et comme ar+1, br+1,· · · sont positives car les points X1

etX₂ appartiennent au poly`edre des contraintes C on obtient : a_r+1 =b_r+1 =· · ·=a_n=b_n = 0 et

X₁ = (a₁,· · · , a_r,0,· · · ,0), X₂ = (b₁,· · · , b_r,0,· · · ,0).

En utilisant les premi`eres contraintes AX₁ =d, AX₂ =d on obtient : a₁V₁+a₂V₂+· · ·+a_rV_r =b₁V₁+b₂V₂+· · ·+b_rV_r =d soit :

(a₁−b₁)V₁+ (a₂−b₂)V₂+· · ·+ (a_r−b_r)V_r = 0, comme les vecteursV_i sont ind´ependants etAX0 =d on obtient :

a₁ = b₁ = x₁, a₂ = b₂ = x₂ = · · · , a_r = b_r = x_r donc X₁ = X₂ = X₀ et X₀ est bien un sommet de C.

2)R´eciproquement :

4.3. CONVEXES DE LA PROGRAMMATION LINEAIRE 27 SoitX₀ = (x₁,· · ·, x_r,0,· · · ,0) un sommet de (C). On veut montrer que les vecteurs de la matriceAcorespondantV₁, V₂,· · · , V_r sont ind´ependants dansR^p doncX₀est une solution de base, d´eg´en´er´ee si r < p. Supposons que V₁, V₂,· · · , V_r ne soient pas ind´ependants,on va montrer que X₀ ne peut ˆetre un sommet de Cen montrant qu’il existe X₁, X₂ verifiant X0 = 1/2(X1+X2). Pour ce faire on va montrer que l’on peut se d´eplacer de part et d’autre deX₀ en restant dans (C)

Construction du d´eplacement

SiV₁, V₂,· · · , V_r sont li´es , il existe a₁, a₂,· · · , a_r non tous nuls tels que a₁V₁+a₂V₂+· · ·+ a_rV₌0. D´efinissons alors le vecteur non nul W = (a₁, a₂,· · · , a_r,0,· · ·) de Rⁿ et posons pourθ ≥0, X₁ =X₀+θW, X₂ =X₀−θW

On a d´ejaX₀ = 1/2(X₁+X₂) il suffit de montrer que on peut trouverθ ≥0 tel queX₁, X₂ soient dans (C),

Comme AW =a1V1+a2V2+· · ·+arVr+ 0 : AX1 =AX2 =AX0 =d il suffit de prouver que l’on peut choisir θ >0 tel queX₁ ≥0, X₂ ≥0

Soit E₁ ={a_i, a_i = 0}, E₂ ={a_i, a_i >0}, E₃ ={a_i, a_i <0} etx_i les coordonn´ees deX₀ qui sont toutes positives ou nulles.

∀i∈E₁, x_i+θa_i =x_i−θa_i =x_i ≥0

∀i∈E₂, x_i+θa_i ≥0 car a_i >0

∀i∈E₂, x_i−θa_i ≥0 si θ ≤x_i/a_i

∀i∈E3, xi−θai ≥0 car ai <0

∀i∈E₃, x_i+θa_i ≥0 si θ≤x_i/−a_i

Soient θ₁ = min{x_i/a_i, a_i > 0}, θ₂ = min{x_i/(−a_i), a_i <0} alors θ = min{θ₁, θ₂}est stric- tement positif car on a suppose apres num´erotation que x_i >0. On a bien X₁ ≤0, X₂ ≤0 etX₁ 6=X₂donc[X₁X₂] est un vrai segment inclu dans (C)

28 CHAPITRE 4. CONVEXITE ET PROGRAMMATION LINEAIRE

4.3.4 Bijection canonique entre le convexe initial et le convexe standard

Soit l’ensemble Aedes vecteurs de R^q d´efinis par les contraintes canoniques AeXe ≤d,eXe ≥0,Xe ∈R^q, d∈R^p

En introduisant les variables d’ ´ecart, le probl`eme s’´ecrit : (AX =d

X ≥0 ouA = [A, Ie _p]∈M_p,(p+q),X ∈(R+)^p+qet d∈R^p

Soit φl’application d´efinie sur le convexe initial de R^q valeur dans le convexe standard de Rⁿ par :

φ(X) = (e X, E)e ^T

ouE =d−AeX, Ee ≥0,Xe ≥0

proposition 4.3.1 1) φ est une bijection du convexe initial sur le convexe standart qui v´erifie : ∀fX_i ∈ C,∀λ∈[0,1] : φ(λXf₁+ (1−λ)Xf₂) =λφ(Xf₁) + (1−λ)φ(Xf₂)

2) Il existe une bijection entre les segments de C et ceux de C, et entre les arˆetes de C et celles de C.

Preuve

1)Soit Xf₁,Xf₂ ∈ C, λ∈[0,1], X₁ =φ(Xf₁), X₂ =φ(Xf₂) X₁ = (Xf₁, E)^T avecXf₁ ≥0, E₁ =d−(AeXf₁), E₁ ≥0 X₂ = (Xf₂, E)^T avecXf₂ ≥0, E₂ =d−(AeXf₂), E₂ ≥0

X =λX1+ (1−λ)X2 = ((λXf1+ (1−λ)Xf2, λE1+ (1−λ)E2)^T = (X, E)e ^T =λ(Xf1, E1)^T + (1−λ)(fX₂, E₂)^T

On a bien Xe ≥0, E ≥0 et E =d−A(λXe ₁+ (1−λ)X₂) = d−AeXe donc (X, E)e ^T ∈Cet : X =φ(λXf₁+ (1−λ)Xf₂) =λφ(fX₁) + (1−λ)φ(fX₂)

4.3. CONVEXES DE LA PROGRAMMATION LINEAIRE 29 2)Quandλparcourt [0,1],(λXf₁+ (1−λ)Xf₂) parcourt le segment[fX₁,Xf₂] dansCetφ(λXf₁+ (1−λ)fX₂) parcourt le segment [φ(Xf₁), φ(Xf₂)]

SoitSeun sommet de C qui v´erifie donc :

∀fX_i ∈ C : Se= 1/2(fX₁+Xf₂) = Xf₁ =Xf₂ =Se

S =φ(S) =e φ(1/2(fX1+Xf2)) et comme Xf1 =Xf2 =Seon a :

φ(Xf₁) =φ(fX₂) = φ(S)soit :Se =X₁ =X₂ etS est bien un sommet de C.

4.3.5 Optimalite sur le convexe standard

th´eor`eme 4.3.4 Si le maximum de Z(X) = Pi=n

i=1 c_ix_i sur le convexe standard C des contraintes d´efini par {AX = d, X ≥ 0} est atteint, il l’est en un sommet au moins du convexe C.

Preuve

SoitX₀ le vecteur deCouZ atteint son maximum. SiX₀ coincide avec l’origine, c’est bien un sommet de C, sinon quitte a renum´eroter les variables et les n vecteurs colonnes de la matriceA associ´ee :

X₀ = (x₁,· · · , x_r,0,· · ·,0) ou les r premi`eres coordonn´eesx₁,· · · , x_r sont positives. Deux cas se pr´esentent alors :

-ou bien les r vecteurs V₁, ,· · · , V_r sont ind´ependants etX₀ est bien un sommet d’apr`es le th´eor`eme pr´ec´edent.

-ou bien les r vecteurs V₁, ,· · · , V_r sont li´es et X₀ n’est pas un sommet mais il existe a₁,· · · , a_r non tous nuls tels que a₁V₁ +· · ·+a_rV_r = 0. Comme dans la d´emonstation du th´eor`eme pr´ec´edent on consid`ere le vecteur non nulW = (a1,· · · , ar,0,· · · ,0) de Rⁿ et on va `a nouveau se d´eplacer dans C dans la direction du vecteur W `a partir de X₀.

Soit θ ≥0, posonsX₁ =X₀+θW, X₂ =X₀−θW.On a alors X₀ = 1/2(X₁+X₂), AX₁ = AX₀+θAW =AX₀ =d, AX₂ =AX₀−θAW =AX₀ =d.

30 CHAPITRE 4. CONVEXITE ET PROGRAMMATION LINEAIRE De facon analogue `a la preuve du th´eoreme pr´ec´edent on d´efini θ= min{θ₁, θ₂}>0 tel que X₁ ≥0, X₂ ≥0. Donc on a trouv´e deux vecteurs diff´erents X₁, X₂ deC avecX₀ milieu du segment [X₁, X₂].

Il reste a montrer que Z prend la mˆeme valeur en X₀, X₁, X₂

Z0 =Z(X0) =c1x1+· · ·+crxr =c^TX0 est la valeur maximale de Z Z₁ =Z(X₁) =c₁(x₁ +θa₁) +· · ·+c_r(x_r+θa_r) =c^TX₀+θc^TW ≤Z₀ Z₂ =Z(X₂) =c₁(x₁ −θa₁) +· · ·+c_r(x_r−θa_r) = c^TX₀−θc^TW ≤Z₀ d’ou l’on en d´eduit θ = 0 et Z₀ =Z₁ =Z₂

Z a la mˆeme valeur aux deux pointsX₁ =X₀+θW,∀θ ∈[0, θ₁] etX₂ =X₀−θW,∀θ ∈[0, θ₂] qui sont donc deux translat´es de X₀ le long d’ une ligne de niveau optimale de direction W passant par X₀ et orthogonale au vecteur C.

Si θ =θ1 = min{xi/ai, ai >0}=xi0/ai0 pour un certain indicei0 alors la composantexi0

deX2 est nulle et l’on pose S1 =X2

Si θ=θ₂ = min{−x_i/a_i, a_i <0}=−x_i0/a_i0 pour un certain indice i₀ alors la composante x_i0 de X₁ est nulle et l’on pose S₁ =X₁

S₁ a alors une composante nulle de plus queX₀ au moins. Z est maximal enS₁ etd n’est plus combinaison lin´eaire que de r-1 vecteurs parmi V₁, ,· · · , V_r; qui correspondent aux composantes strictement positives de S₁.

Si ces vecteurs sont ind´ependants S₁ est un, sommet de C et le th´eor`eme est montr´e ; Z atteint son maximum au sommet S1 deC.

Sinon on recommence le raisonnement. On construit un nouveau d´eplacement dans C de S₁ vers S₂ ou Z est maximal,S₂ ayant au moins une composante strictement positive de moins que S₁

On arrivera ainsi de proche en proche apr‘es k ´etapes `a un sommet S<sub>k</sub>correspondant `a des vecteurs ind´ependants extraits de la famille de d´epart.

4.3. CONVEXES DE LA PROGRAMMATION LINEAIRE 31 proposition 4.3.2 Grˆace a la bijection entre les deux convexes initial et standard, le maxi- mum de Z s’il est atteint l’est en un sommet au moins du convexe initial.

Il faudra donc d’abord trouver au moins une solution de base r´ealisable, ce qui n’est pas

´

evident pour les probl`emes de deuxi`eme esp`ece.

Il faudra s’assurer ensuite que d’un sommet de C au sommet voisin Z augmente ce qui consiste a optimiser la m´ethode d’optimisation.

32 CHAPITRE 4. CONVEXITE ET PROGRAMMATION LINEAIRE

Chapitre 5

methode du simplexe

5.1 M´ ethode du simplexe et critere de Dantzig

5.1.1 Condition suffisante d’optimalite

On consid`ere le forme initiale de premi`ere esp`ece dansR<sup>q</sup> avec p contraintes d’in´egalite de type (1) d´efinies par un vecteurd `a composantes positives ou nulles :







M axZ;Z =Ce^TXe AeXe ≤de

Xe ≥0

Grˆace aux variables d’´ecart x_q+1,· · · , x_n la forme standard s’ ´enonce dans Rⁿ :







Z =C^TX AX =d X ≥0

`

ouX = (X, E)e ^T et `ou la matrice A= [A, Ie _p] est exprim´ee dans les base e={₁,· · · , _p} deR^p et B={V_q+1,· · · , V_n} deR^p.

On va chercher les solutions de base r´ealisables correspondants aux sommets optimaux du convexe standard de Rⁿ.

On part de la solution de base r´ealisable X = (X, E)e ^T = (0, d)^T car l’origine appartient au convexe initial et le vecteur d est `a coordonn´ees positives ou nulles.

Supposons que pour une autre base r´ealisable B_i = {V_i1,· · · , V_ip} extraite des vecteurs 33

34 CHAPITRE 5. METHODE DU SIMPLEXE colonnes de A la solution de base r´ealisable donne :

x_i1 =δ₁,· · · , x_ip =δ_p, les autres variables hors base ´etant nulles ou les δ_i sont les compo- santes du vecteur d dans la base B_i

Le tableau complet correspondant `ou on a r´eordonn´e les colonnes et les lignes et ou l’on a pr´ecis´e le vecteur coˆut est :

− V_i1 · · · V_im · · · V_1,p+1 · · · V_j · · · V_im d V_i1 1 · · · 0 · · · a_1,p+1 · · · a_1,j · · · a_1,n δ₁

...

V_im 0 · · · 1 · · · a_m,p+1 · · · a_m,j · · · a_m,n δ_m ...

V_ip 0 · · · 0 · · · a_p,p+1 · · · a_p,j · · · a_p,n δ_p

− 0 · · · 0 0 c_ip+1 · · · c_ij · · · c_in Z −Z₀

o`u la derni`ere ligne L₀ exprime `a la i-eme ´etape le coˆut Z en fonction des variables hors base xip+1,· · · , xin et des coˆuts marginaux ci des variables hors-base.

d´efinition 5.1.1 les coˆuts marginaux ci_k sont les coefficients des variables hors-base dans l’expression de la fonctionnelle Z `a la i-`eme ´etape.

Cette ligne se lit :Z =Z₀ +c_ip+1x_ip+1 +· · ·+c_inx_in

Pour la solution de base chacune des variables hors basex_ip+1,· · · , x_in est nulle et ne peut qu’augmenter, car les variables sont toutes positives, ou rester nulle.

Si x_ik pour k ≥p+ 1 augmente et devient strictement positive, les autres variables hors- base restant nulles,Z varie de la quantit´eci_kxi_k et tout d´epend alors de la valeur du coˆut marginal c_ik.

Condition suffisante d’optimaliteSi aucun coˆut marginal n’est strictement positif pour la base B_i, Z est maximum pour la solution de base correspondante.