Universit´e UPMC 2007/2008 Licence 3 14/12/2007
Examen LM339
Exercice
On considere le probleme de programmation lineaire suivant dansR3:
maximiser la fonctionnelle lineaire f(X) = 6x1+x2+x3 sur le polyedre convexe : C={9x1+x2+ 6x3≤3,4x1+x2+x3≤2, x1≥0, x2≥0, , x3≥0}
1a)Ecrire le probleme standard associe sous forme de tableau.
1b)Resoudre le probleme par la methode du simplexe. Preciser les 2 tableaux necessaires.
2a)Ecrire le probleme dual associe en fonction des variablesy1, y2. 2b)En donner une resolution graphique dans le plan (y1, y2).
2c)Pouvait-on obtenir plus simplement le resultat ? Probleme
On considere le probleme de programmation lineaire suivant dansRn:
minimiser la fonctionnelle lineairef(X) =x1+ 2x2+....+nxn sur le polyedre convexe : C={x1≥1, x1+x2≥2, x1+x2+x3≥3,· · ·, x1+x2+· · ·+xn ≥n, x1≥0,· · · , xn≥0}
A)Cas n= 3
1)Ecrire le probleme standart associe sous forme de tableau.
2)Initialiser le probleme en faisant apparaitre par combinaison lineaire des lignes une base realisable exprimee par les 3 premiers vecteurs colonnes et en exprimantf en fonction des variables hors base. Preciser les 3 tableaux necessaires a cette etape.
3)A partir de l’initialisation precedente resoudre le probleme par la methode du simplexe.
Preciser les 2 tableaux necessaires a cette etape.
4) Donner le minimum def et le sommetS ou est atteint ce minimum.
5)a) En etudiant le dernier tableau montrer que (C) admet une arete de recession issue deS.
5)b)Pour tout pointM de (C) donner une expression du vecteurSM en fonction des variables hors base. En deduire la direction de l’arete de recession.
B)Cas general
1)Montrer sans calcul que le probleme primal admet une solution optimalex∗.
2)Ecrire le probleme dual sous forme matricielle. Exprimer son polyedre de contraintes.
3)Montrer sans calcul que le probleme dual admet une solution optimaley∗.
4)a)Montrer que toute solution realisabley du probleme dual verifie : yk+yk+1+· · ·+yn k, k= 2,· · · , n On pourra raisonner par l’absurde.
4)b)Deduire du critere des ecarts complementaires que la solution optimale x∗ du probleme primal verifie :
x2∗=· · ·=xn∗= 0, x1∗=n.
4)c)Montrer que x1∗=n. On pourra raisonner par l’absurde et utiliser une propriete geome- trique de la solution optimale. Comparer avec le resultat obtenu en A).
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