Universit´e UPMC 2009/2010 Licence 3 07/06/2010
Examen LM339
Question de cours
Soit C le poly`edre convexe d´efini par C={X ∈Rq, AX ≤d, X ≥0}; o`uAest une matrice `a p lignes et q colonnes deM(p, q) etdun vecteur deRq.
1a)D´efinir la matrice ¯A de M(p+q, q) et le vecteur δ de Rp+q de coor- donn´ees δk qui permettent d’´ecrire les contraintes sous la forme ¯AX ≤δ; ce qui peut s’exprimer `a l’aide des p+q lignesLk de la matrice ¯AparLkX ≤δk. 1b)Montrer que la matrice ¯A est de rang q et son noyau r´eduit au vecteur nul.
En d´eduire que pour tout vecteur non nul U ∈Rq on peut trouver un indice k dans [1,p+q] tel que LkU 6= 0.
2)SoitX0 un point du convexe initial o`u aucune contrainte n’est satur´ee : LjX0 < δj;j = 1,· · · , p+q.
Montrer que l’on peut d´efinirρ >0 tel que :
∀U ∈Rq,kU k= 1,∀α∈[0, ρ[ :X0+αU ∈ C, X0−αU ∈ C.
Que peut on en conclure pour X0?
3)Soit A1 et A2 les deux sous-matrices de A (respectivement ∆1 et ∆2
les deux vecteurs extraits de δ regroupant les contraintes satur´ees : A1X =
∆1, et non satur´ees : A2X < ∆2), X0 un point du convexe initial o`u une contrainte est satur´ee et U un vecteur de Rq. Montrer que si X0+αU ∈ C et X0−αU ∈C alors U ∈kerA1.
Que peut on conclure pour X0?
4)Enoncer le th´eor`eme du cours ainsi d´emontr´e.
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Probl`eme
On veut ´etudier les extrema de la forme lin´eaire f(X) = 5x1+ 6x2+ 9x3+ 8x4
sur le domaine P d´efini par les in´egalit´es
x1+ 2x2+ 3x3−x4 ≤5 x1+x2+ 2x3+ 4x4 ≥3 x1 ≥0, x2 ≥0, x3 ≥0, x4 ≥0 1a)Montrer que P est un poly`edre convexe non vide.
1b)Donner un majorant du nombre des sommets deP. (On citera le th´eor`eme utilis´e).
1c)Faire un graphique repr´esentant l’intersection de P avec le plan : {x1 = 0} ∩ {x2 = 0}.
1d)P est il born´e ?
2)Montrer quef n’est pas major´ee sur P.
3)On veut appliquer la m´ethode du simplexe et trouver le minimum de f sur P.
On pose g =−f et on cherche le maximum de g. Introduire deux variables d’´ecart x5, x6 et mettre le probl`eme sous forme standard.
4a)Initialiser le probl`eme en prenant pour variables de base x1 et x5. 4b)D´efinir le sommet ainsi mis en ´evidence.
5)Trouver le minimum de f surP et un sommet S de P en lequel f at- teint ce minimum.
6)On admet que le tableau r´ealisant l’optimum `a la question 5 est le sui- vant :
5/4 9/4 7/2 0 1 -1/4 23/4 1/4 1/4 1/2 1 0 -1/4 3/4
-3 -4 -5 0 0 -2 6+g
6a)En d´eduire l’existence d’une arˆete infinie issue deS. SoitR~ son vecteur directeur.
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6b)Ecrire une d´ecomposition de toute solution r´ealisable X du poly`edre P sous la forme affine.
X = S +a ~U +b~V +c ~W +d ~R o`u U , ~~ V , ~W , ~R sont les directions que l’on pr´ecisera des quatre arˆetes issues du sommet S.
6c)En d´eduire les coordonn´ees des trois sommets reli´es `a S.
7)On posefa(x) = f(x) +ax1.
7a)Pour a=−3 montrer quef−3 pr´esente un minimumm(−3) en deux som- mets S1 et S2 que l’on pr´ecisera.
7b)question bonus: Trouver l’autre valeurs deadans l’intervalle [−5,−3]pour laquellefapr´esente un minimumm(a) en deux sommetsS1(a) etS2(a). Don- ner les valeurs correspondantes de m(a), S1(a) et S2(a).
8a)Ecrire le probl`eme dual du probl`eme pr´ec´edent : max{−f(x);x∈P}.
8b)Y = (0,2) est il solution optimale du probl`eme dual ?
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