UPMC 2009/2010 Licence L3 24/03/2010
Partiel LM339
Question de cours Soit C le convexe de Rn d´efini par :
(AX =d X ≥0
o`u on utilise la convention : X =t(x1,· · ·, xn)≥0⇔ ∀i, xi ≥0.
SoitX0une solution r´ealisable deCde la formeX0 =t(x1,· · · , xr,0,· · · ,0) et V1,· · · , Vr les r premiers vecteurs colonne de la matriceA.
1)Supposons que les r vecteursV1,· · · , Vr soient ind´ependants et que les deux points X1, X2 de C (solutions r´ealisables) v´erifient X0 = (X1+X2)/2.
Montrer d’abord que seules les r premi`eres composantes de X1 et X2 sont non nulles, puis que X1 =X2 =X0.
Qu’en d´eduit on pourX0?
2)Supposons qu’il existe r coefficients non tous nuls a1,· · · , ar tels que : a1V1+a2V2+· · ·+arVr= 0.
Soit W le vecteur non nul de Rn d´efini par W = (a1,· · ·, ar,0· · · ,0) et X1(θ) = X0 +θW;X2(θ) =X0−θW.
Calculer AX1(θ) et AX2(θ).
Utiliser les trois classes d’indices E1 = {i, ai = 0}, E2 = {i, ai > 0}etE3 = {i, ai <0}pour d´efinirθ0tel que toutes les coordonn´ees deX1(θ) etX2(θ)soient positives ou nulles pour tout θ ≤θ0.
Qu’en d´eduit on pour le segment [X1(θ0), X2(θ0)] et pour le point X0? 3)Enoncer le th´eor`eme du cours ainsi d´emontr´e.
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Probl`eme
A)Soit le probl`eme de programmation lin´eaire qui consiste `a trouver le minimum de la fonction f(X) =x2+ 5x3 sur le convexe suivant de R5 :
x1+ 2x2+ 5x3 = 5 x2+x3+x4 = 3 2x2+ 3x3−x5 = 4 xi ≥0;∀i∈ {1,5}
On rappelle que maxf =−min{−f}.
1)SoitA la matrice (3,5) associ´ee au syst`eme pr´ec´edent et V1,· · · , V5 ses cinq vecteurs colonnes. Calculer le rang de A et d´eterminer son noyau.
2)a)Donner la solution de base r´ealisable associ´ee `a la base {V2, V4, V5}.
b)Exprimer les vecteurs colonnes V1 et V3 dans la base{V2, V4, V5}.
c)Exprimer −f+ 5/2 en fonction des variables hors base.
2)D´eduire de la question pr´ec´edente le tableau initial de la m´ethode du sim- plexe associ´e au probl`eme de programmation lin´eaire consid´er´e.
3)Montrer que le r´esultat est atteint en une seule ´etape suppl´ementaire.
On pr´ecisera soigneusement le choix du pivot, la nouvelle base dans laquelle s’exprime le tableau, les op´erations sur les quatre lignes du tableau, la valeur du minimum de f et le sommet en lequel ce minimum est atteint.
B)1)En utilisant les trasformations affinesX = 3−x2−3x3 etY = 1−x3 montrer que le probl`eme pr´ec´edent se ram`ene au probl`eme de seconde esp`ece suivant :
Trouver le minimum de f(X, Y) = 5−X−2Y sur le convexe d´efini par :
2X−Y ≥0
−X+ 3Y ≥0 1−Y ≥0 2 +X−2Y ≥0
−2X+ 3Y −1≥0 X ≥0, Y ≥0
2)Donner une r´esolution graphique de ce probl`eme.On d´efinira les trois som- mets du convexe consid´er´e et on retouvera le r´esultat de la partie A).
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