CLAPOTIS PARTIEL

482 LA HOUILLE BLANCHE

Clapotis partiel

Partial clapotis

PAR

C. G.A.RRY

ING(:NIEUH AU LA!lOHATOIHE DAUPHINOIS n'HynHAULIQUE

AOUT-SEPT. 1!)53

Des éqllations fJénérales (Ill second ordre. des mOZlliemen/s résllf/anl de la slIperposition de plll- siellrs lrains de hOllles, élablies par M. BIESEJ..

l'alllellr tire les éqzUllions fJénérales dll clapotis parliel.

A. ces éqzUltions sonl joinls des abaqlles perme/- lant, li partir de mesllres e;rpérimentales, de connailre le coefficienl de réfle:rion d'lin OlwrafJe et les caracléris/iqlles de iii hOllle incidenle.

From second order fJeneral eqllations, established bU Ml'. BIESEL, of movements resllf/infJ from the sllperposilion oi several wape trains, the alltlwr elloilles fJeneral eqllations of Ihe partial e1apatis.

Graphs are aftaehed ta these eqllalions enabling, a/ler Ihe e;rperimental measllremenls, lmowledge

0/ the reflec/ioll eoefficient 0/ a structllre and the characieristics of the incidental wape.

Dans un article précédent, M. BIESEL * a établi les équations gén(~rales au second ordre des mouvements résultant de la superposition de plusieurs trains de houles.

Nous nous proposons d'appliquer ces formules au cas particulier du Clapotis Partiel qui résulte de la rencontre de deux houles régulières d'amplitudes difIérentes mais de même fréquence.

Ce type de mouvement se produit en particulier devant les modèles des ouvrages partiellement réflé- chissants attaqués de front par une houle régulière. Son étude est donc particulièrement intéres- sante pour l'interprétation des expériences destinées à déterminer le coefficient de réflexion de tels ouvrages. Il est entendu, bien que nous ne le répé tions pas systématiquement, que tous les calculs qui suivent sont poussés au second ordre d'approximation seulement, les termes du troisième ordre étant considérés comme négligeables.

Nous rappelons tout d'abord !cs formules de M. BIESEL (dépliant ci-joint) où les notations uti- lis('es sont les suivantes:

Ox, Oxo⁼ axes de coordonnées horizontaux dirigés de gauche à droite, confondus avec le niveau de repos du liquide

0!J, 0!Jo = fixes de coordonnées verticaux descendants.

:r, y.= coordonnées instantanées des particules en mouvement.

xo,!Jo

=

coordonnées « initiales» ou au repos des particules.

2ai

=

mnplitude de la houle composante n" i.

Li= longueur d'onde de la houlCi composante n" i .

• Voir la lJollille blanche, n" il, 1052.

Article published by SHF and available athttp://www.shf-lhb.orgorhttp://dx.doi.org/10.1051/lhb/1953043

au

,

Equations second ordre de

Supplément au nU

4 - 1953 de la Houille Blanche

générales

la houle irrégulière

General 2nd order equations of irregular waves

INI;I::NIEUH AU LABOHAT()IHE j)AUPHINOIS })'HYnHA1:1.1c..~Ul':

(/,11 lfollille lilllllche, Il'' il, 1!l:i2, p. ;lï2.)

[Complémellt li l'artide publié dI/ils le l'réselll /III1I1ÙO, p. '182.)

Ë.QUATIONS GËNËRALES

n ~Chm,(h~yO) ^fi m,

[1

.~) Ch2m,lh-YIJ/] l ' ) ..:J. 2 17~*,ch2m,fh-yO/

X: KO ...,L.. ,0, sh^fTI,h Sin (Il,l ,-m, xo)'-^,1--.·.·,of----:-'ft--.---. "- - _--~--?---- SIn 2x,l-2m x tc.,0- - - , -...- - - . ,( 1

4st,mih 2 sn m,h 1 0 /:1 1 2sh2m,h

\il,~

'-'Z

~

\

::cr..:J ....l~

W Cl )

ZI ,

\il

1

'Ç.ù

z z

0 Cl CC 00 U

y 'Yo_,L,n, 0, shm,(h-YlJ) cos(kt-m x) Î ^{a' m, [1+"3 cas / 2kl}l-2m,Xo)]sh2m Ih1,)

Shm,fi 1 1 0 --''::1 1 lJsh.?m,h' "2 shEm, /} ,. -0

p n shm, Yo ~ ^{,m, shm,Yo}

1

^{r chm, Yo} 2chm,lh-yo)

J

2chm, (h -YO)}

7';9YO+i~190,shm,hr.hm,h CaS(k,l-m, xo l +,.,9 0i 4sh'mi h )'CaS(2k; t-2m, Xo/L sh'mi h - chmi h ⁺ chm,h

2shm,hshm,h

n .:l!'-,. chm,1h .- Y ) n 3 , ch 2m, 1h -y) n ,., fT a l [ 1 1 1 [ J ['

J

1

f ",L . - - - -si"II<, I···m,x) ,.L -,'(,i kl ' - - - . - - -son (7V 'lm, x1-

>:

L ',',:. __.:.._..1- .•1A'I ch (m, "TlI)(h y'/ 511' (k, 4·k,)1 - (mil-mllx ·8" ch (m,-ml)(11,y1Sin (k, -klil. ("',""',1' .

,~4 mi shmin ^i,z1 8 sn miIJ f.:-1/:1 2 .,hm,hsn/filIl . ' _ . . J

n chmdh-y) . ~ ³ ,m·kch 2 m ·lh-y) n i'l a a

j (

^{'1 [ ] 1 J [ ]:}

u~ La, k, r.as(k,l-m,x)+L- 01 " . ' cos('t.I<,I-2m,x)+L L - 2h f..:..c--L_h- -

h l(mi+mj )A'jch Im,l-mll(h-YI COS(k,+kl)I-(m, +m,lx . (mi-mIIBi) ch (mi-ml)(h.y) cas Iki-kjll-(m, -mllx

f

I.:t shml h '':14 sh mi h ,:1Ft S m, n sn mJ • '

v ,..

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^{ai k, shm, (h'l!.. sin}(k, 1- m, x),

~

^{.2 0.2m, k,sh 2m, (h·y1Siri (2}k,l· 2m, x i ,

f if .__

.!!é....!!L )1(m,+ml )A,. shf,(/fI, .,ml1(h.y1]511'

ft

^{k, 1}k,ll - (mi I-{"IIX] (m, - mi1B"

~;h

^{[(m, ") I(1> Y IlSin}

[(Ir,'

^k_l)1- (m; .. ml)xJ

1

shm,h ;;'f4 1 sh⁴ml h hi,,,' 2shm, hshmi/1 1 L' <.

m, )(I>'Y)]cos[(kl-k,) ' .• (m, ,·ml IX]

1

.l2.Qtl5ces (armulesOfTa.posé eP.!!!....5!..'!!8f.,!!_e.!.

? 2 . 2

.!!:._=kl 1(1<, -ki kl 4·kj 1 .. DV,iJm, k, -'ml kil (mi^t mIl (kⁱ - 1</

[1 - ~~:::J]

Ch(ml - mllh

Ch1111,+n~)h

ChImi+rn/)I>

Ch(m, - m,lh

avec

k,- - /(,

~

..

~m;

D;"'I =

V

~l~m,^{9_ ln}(mi .. mj)h

..K.L IL.

ml' m,

Cfj!{joIC propre des ondes de 9fouOe

cèle'ole" {HOIHf! des demJ- ondes

Vfle!>~e c/t/v df:5 demI oortes Ivllesse moyennel

BATTEMENT EN PROFONDEtrR

Chmy, chml2h -yolcos126kl - 26mxo/-

cos12/1,k 1 26 m'al /l,mx o/.11' '1 m

", " ml!

l?ncos(f\'1

ChmIh··Yo/

. - - - - . - , - Sin shm h

mk(cz+2cr2 Ch Z

mhJsh6 rnyoch6mf2 h - YoJ _..~_ ^{cos (2/\AI.-2}Am%0)^,1 Cl(1J'

' r

^{sh26mll P ]}

26kshmil~2^0:-a'i2lSï7ïi1chmll-ch2 6mf, .. go'

.1.)

3

] ^'

^(TIthmIJ

- - - -..~-_.---"-'--- cos(2 6kl- 26 m xl

...:::..:.:~.; ... :....:.:.:::::.:.~".:,,:_.:':O_.:.:..:-'.:....L.:. 510 (26kl- 26mxl 26mll ]

[

A 6 ] k chm(II-yi 3 [_ A A ] ' ch2m

'f' .. - 2ncos (ukl- mxl m shmll sin (kl-·m,/- -8 20cos (ukl-umx/ k·---···'-0,---·:···/····

IJ [ 2acos (6k1 -6m XI] k ^chm(II-y/

cos(k/-m x1 3

[20cos(/I,kl- 6mx/

r

^mk

. 1 - -

sh mil 4

[20 cos 6mxl

J

^{k shm 3 [ 20 p mk sh 2m(lI-yl}

v _" (6kl sin(kl- mx1 + -4 ^cos(6kl··/I,mx/ ] sh4 mh -,'-,,,....-SIn shmil

,

-pP-r;Y+9[20cos (6kl-6mxl] .chm

h/~-y/. ^{cos(kl mx1+}-43. 9 [20 ^cos(6kl-6mx/J mthml![ch2m(II::L!..._

c m" sttmll

_. 90'm --_.._:(.l·_+'::":;;:-·"::':"':':=-":-;:'7;~r:::-,-;-..:...c:_:_"·--·'--·-··-:: ^{cos (26kl-26mX1}

Ch26 mh]

CLAPOTIS IMPARFAIT EN PROFONDEUR

chm (h 1< / 1\ sin (2 mXo - 26 kl.I.. \

x= '0 +20 shmh-0 cos(mxo " ukl!^sin (kl-6mxo / -. o'm sh2mh/SIO:llrr"C;lfM",

l'1"~~

+-2ch:mll-) ch2m(II-Yo/]

[ ^"I~_ ..

3'::.h!..n.!.I':.Ya/l)·

.shmil chmil J

'~} ^cos(2mxo -2/1,kl/

26mxo/+thmh -o'm ----

2sh'mil

.•__...-."..~')..- Ihmh sh 6 m f211-}(, / sh6mYo _. 9 m0' _c.o_s...-__-=--._2....6..._..k

.I

_/. [( ..~^{..c:..+ - : -..) ch}m 12/1.- Yo1 . 6k 2chmh

P=9_v+_{2 90} shmyo 1\

fi

^/0 shmhchmh Sin(mXo -' '-' kIlsin (kl

Y' fa - 2a shm(h·yo/ sin (mxo - ⁶ kt)sin (kl-t. mxo/- o'm _s_h_2.,...m.-:....:.,,-_

shmh

2/1,kil

....89__ ,_^sh2m(lI·ylslnI2mx--26i</i 251\ mil

2/1,mxl-azm~B ch 2 Il!III·yl<:os 12mx .. 2/1,kO 2shmll

26mx/ ..·o' ~-_.ch2mlh-ylslO 2 'h'mll

J

ctI26m(lI-yl-1

-1 cos (2kl- Uè>mx/-' (lr/m

2shmilçhmil III 1"1.[C(\~;^{12 mx} 2/1,kll ....1J

20k chmfh-ylcos (mx-6kt)cos(kl .. 6mxl+3 shmil

20k shmlllh·yl Sin/mx-/I,klicos Ikl-.6mxl+)o'inA

t,

shmll

... 2 90'm Ihml! c05(2kt-2,'), mxl+- u -

v=

'f

pvec,

2

'!If

^{e-my SI" Imx} 6Irli=Ikl 6mxl- 0' Ir e-^2Am>sin (21it 26mxl 2 ok e-^my cosImx--6ktlcos llil-- 6mxI+ 40'm 6ke-^2Amycos 12 Irl- 26mxl : .. 20Iie-mYSln/mx-6ktlcos/kl-6mx!+40'm6lre-2AmYsin (21rt-26mxl

CLAPOTIS IMPARFAIT EN PROFONDEUR INFINIE

-1

^{"gy+290e- my SinImx - 6 Irtl Sin Ilrl - 6mx1- 290' me - 2mySin'(lrl- 6mx)+ 2go' m}(e -2Amy - e - 2mYIcos 12Irt ..26mx1 u

P 2" [--?b.myo -ZfflYO]

- 'gJbt 90 m e e cos 12kl·26mxo)

f . .

(/] ~

,,'_>-<

~ CZ

z

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1

'..;

....

0

\

'-'

BATTEMENT EN PROFONDEUR INFINIE

[20cos 16kt-6m<)]ke-my

sin Ikt-mx)-40'm 6ke-2AmY

sln/26kt-26mo

[

A A Jk -my , m _2Amy

cp - 20 cos IUkt-umx/Jm" sln/kt.-mxl+90kT" sIIl/26kt-26mx)

U ::

:/; ~

\

~ ^{r ....}

'~ - '

r. r.

-:;

r.

^,.,..

Cl

....

0 C~

1

c:::: ..., Cl _r.1 Cl ~

:...J

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z

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r.

~.

;...,

'-'

Ci fll

~.~ Ci

èS

:...J

HOULE Rf-GULIËRE EN PROFONDEUR QUELCONQUE

(Formules données à titre de comparaison.)

CLAPOTIS REGULIER EN PROFONDEUR QUELCONQUE

(Formules données

à

titre de comparaison.)

[

ch2mlll-yJ+cos2mx~1

J

+390m

'

^ch2mlh-yJ2sh3mllchmll cos2m" cos2lrl+2go'mthmhcos2Irt sh 2m III· yol [sin'Irt + cos 2mxo 13 cos 2kt+th'mlll]

sh'mh 4 sh'mil

a'm

cos' k1 s,nkt - 9a'm -"'5h:-m=II""ch:-m-h-;-

sin mx coskt+ 3a'mir sh2mlll·y) cos2mx sin2kt 25h⁴mh

Sinmx 20k shmlh-y)

shmh _ 20,hmIII· yul

Yo shmh

tmlll ) Sin2mxo [ . , ch2m(II-Yol z ]

"x+20 C\ "Yo cosmxoSlnlrl-O'm~ Sin Irt+ ! h 13cos2lit+lhmlll

u shmh srrmh 4sh m

'f ²⁰!!.. ^chml/l-y) Sln!nX cosIrl-- 30'1r ch2m(lI-y)

cos2m" s,n2kl

'71 shmh ₄sh⁴mll

u " 20 Ir chm(h·yJ

cosmx cosIrt+3o'mkch2:;,(/I-y) _sm 2mx Sin 2 Irt

---_.

shmh 2sh mil

P shmyo ,

~

^{1 2h}

)[Cos/mxQI-4sln'ktl+4thmhShmI211->.;/[1-3slnZlit]+3cos2mxoc Os2lrtr~~'J:,rt,_2cChtl;':Yo)j"J'

p"9Yo+2goshmhchmllslnmxO slOkt+9 0m 2sh'mll \Chm 1 -Yo chmh

11 x

\

_y

,

3chmlll'Yoll+_2chmlll.Yo) }

chmil chmil

sh2'71 III-yo) [ 3 COS/2lrt-2mXo )]

4sh^Pmll 1+2' sh'mll ,~nIUt-2!!'. xol

[1

a m 4sh.?mh

CQS Ilrl··mx)1- '2o'mlr ch2mlll-y) cos 12kt fIIX)

4 sh⁴mil

sin (lrt-mx) +.1.o'mlr sh2mlll-y) Sin 12lrl-2mx)

4 sh⁴mll

shmlll-y) shmil Chmill-y) . shmll

..o.!.. chn:..!!'.:..!..!.. Sin Ilrt-mx)- 2. o'k ch2mlll-y) sln/2lrt--2mxl

'TI shmll 8 stfmll

cp

u" 0Ir

v ~ ak

p shmyo ' shmyo

i

^[Chmyo

p"9.r,;+9 0 snmilchmil cos Ikt··mx,,J+90m

4sh'lnll \3COSI2kt- 2 mxol .. 5h'mll y " y, _ 0 oh'71111->0) cosIkl-· mxo) -

" shmil

Xo^-t- a

U) ~

~ c

,~

r. r.

-:;

r.

_c::::

~- ' c

0

j

,.,..

Cl ~

0:...J ^r'\...

(/]

\

'~~

z

c::::_~

z

Cl

....

_/

;...,

0 _~ ^\

c::::

A

i

00 u

HOUL.E

_Rf~CULIËRE

EN PROFONDEUR INFINIE

(Formules données à titre de comparaison.)

CLAPOTIS RÉGULIER EN PROFONDEUR INFINIE

(Formules données à titre de comparaison.)

2o.!!.. e - my SJO mx coskl m

v " 2a Ir e- my Sin mx coskt x = Xo+20 e-^myo cos mx_osinl<f

u " 20 k e-my _cos mx coskt

~^{: gy+2goe-mYsinmx cos Irt 2}90'm e·- 2mySln'kl+2go'm 11 _ e- 2my )cos 2kt

(/] ~

~ ç.

~

~

r.

r.

_-<

Z _0::

0 c

f 0 -:;

c:::: H

0 ~

0W Ci

(/] 1

~

\

,~

z

c::::

:J

0

r.

~

0

1

.,~

>-<

0 Ci 0c..:

\

-2-o'm

if ⁰_m^{Ir e my sIn llit·m'1}

u " oli e-·ml cos Ilrt-mx) y

~ ~ (

lL1 v 1 '~

r.

r.

-:;

\

r.

c::::

0 c

Ci

4 ,

c::::

....

0 Cl ^~ W Ci

n

(

'\.t.1~ c::::

r.

_lL1

\

7- _-1 C _;.J 0 fll

1

ccr-'- ' Ci

~

:-;'-'

\

.'\OCT-SEVL 1!J5:1 LA HOUILLE BLANCHE

Ti= période de la houle composante n" i.

')

-

mi

=

~ « nombre d'onde ».

L,

27t t· ' 1 '

k,.

= -

rI' recluenees an au aIres.^<--) g

=

accéléra tion de la pesanteur.

lz= profondeur moyenne de l'eau.

mi' k_i et Il sont liés par la relation classique ki²

=

^migthln;11.

Nous considérerons alors les équations relatices il deux houles composautes d'indices 1 et 2 et uous poserons:

ln l

= ---''

_{111 2}

=

nI

NOliS prendrons comme amplitude al et ,,--a₂* *.

Certains coefficients des formules générales prennent une valeur indéterminée par suite des relations ci-dessus. Il est facile de lever cette indé termination par le procédé eIassique du passage il la limite. On obtient ainsi en' particulier:

AI2 =

~

^{[2 ch 2 mlz}

---11

^{_ ml}

+

m 2 k_l - k₂

4 k ch²mh

. ~ - , . _ ~ , . _ - - - _ . _ ~ - -

fT(2mh sh 2mh) B^I2 l [ th2mh

+

^{"ljmh - sb 2mh}

^-.1

kt - k₂

= T ...

2mh

+

^{sh 2mh _}

Nous sommes maintenant en mesure d'écrire les formules du eIapotis.

CLAPOTIS PARTIEL En coordonnées de Lagrange:

x = x"

+

^{chm (h}_shmh ^{y,,) 1.'.,'.'(al}

+ - 4. - -_{. sh}m_{2 mh}

[-1

_{_}...- - - , . ,.._--: ....__. -...

:1

^{ch 2 m}_2sh2^(h_mh ^II,,)

"'11-("

_.a.,- "'-_{_ . .}il_{l -}

")'

SUl^')/-t~è cos^{' ) .}~nu'"_{. '}^{+ ('}al -^{., +} il^{. ")}_{2 -} cos^')~ ^/-tè Slll^{. ')}~ m:r"^]_{__}

_:,,1..S."I,,,1...2,,,11.1.1_1--'...:.._>.l,n.... _11

+-

<:~_~..!!!..Ql

__

-=-.J1JJ.) (1h2 m h

sh 2mh 2mh 2 \

limh-sb 2mlz \"]

2 mh

+-

^sh2mh

J,

- sh m (h - y,,) '-(' . . . .. /"t

+- ( ^1- ) , ' . "

/-'t

J

l'j - IJ" - 1 1 . al - a.,) cosmX(J cos, al - a" Sllll11.r"S l l l , ..

. .. slm 1 . - . ..

.,- _.

m sh 2/n (h - IJo) [.... "

---"-;-1-s-;-h-:₂-'1-n-=-h--'"'-'-'-'- al - eos 2ktcos 2 ... , .... "s.in 2kt,]

+- ..

^{/na2al sh 2m (h}

'2 sh²mh _y,,) [-cos'2 kt

+ ').

_l (^1h2mh

+

2limhmh

+-

^{sh 2 mh}sh '2 mh ) ^cos2 nu'" ""1 4m (h ,,-!lo) sh²mh )

cos 2 mx_{o .'}

2mh+sh2mh \

* *Nous avons pris _. (/2 pOUl' oblenil' des forJllules comparablesil celles de M. MICIŒ.

LA HOUILLE BLANCHE AOUT-SEPT. H)53

P ^L 2 shIllYo 1" , J,t

- - =_{~g '}1/0 - , -1., - - -- .(al '-.- ( 2) cos {' cos m:ro

S}2mlz ^(al

+.

^{0) sin kt}sin li/oro]

+ ^il₄m sh_{sh2 mlz}III!lo ,... eh m !lo __sh2mh 2 eh m_ch(h_mh lIn)]_'

1-(

_{a[2 -- a}}^{1 )} _cos^,₂^J,_\.lcos^,_{2m:ro +} ^-]

(a 12- ( 22) sin 2Idsin 2IllXo

+

^III (0 12

+

^(/22) sh m Yo ch m (h - !lo) 2ch mhsh²mh

+

_:!

m(/~

_sh2^(/2mh

1[-

1__^{thmh(2 ch 2mh --- l - ; )ch 2rn (Il - Yo) )}. '^{+ sh 2 m (h-Yo)}

J

_ ^{cos 2kt} + [-tl_lm1_{1- '}4m(h-ljo)sh2mh + sh2m(h-yo) tI'>_l~m1_{l -1-}1 (mh-~sh2mh)_{') 1 + l ') 1}

l ')

_{cos - lnxo '}^l.

. 2Illh + sh 2mh 2 _m l s } _ml. . \

En coordonnées d'Euler :

k \'chm(h

1/)1- "1

CD_'

= -

_{m 1 shmh}

." __

(a]

+-

^{a2 ) sinktcos mx - (a] - a2 ) coskt cos m:r_}_.

'~ . '1 ') (1 .... . [- -,

. m CSl

1

^{m / .. - y) (a]2 + a/) sin 2kt cos2mx+} (a 22 -- a(2) cos2kt sin 2 mx .

S1'l rn1 _ _

m ala? (2ch 2mh --- 1) 1

- sin 2kt ..

4sh²mh \

J, '\' ehm (h - -1/) [ . 1 ) J, 1 ( ) • J,t '

J

u

^{= { , .} (al -, a 2 cos ftcos mxT al - a2 SHl { SHl mx

1 shmh _

3 mch2m(h-.l/) [-

+ ..(a₁2 --- (22 ) cos 2Idcos2m:r + (a12

4

shlmh ..

'. \.' shm (h -_._.y) 1.-.'

V = l, . - . - - - - - (al

1 shmh . (2) sin kt cos mx + (a_{2 . -}(l]) sin lll:rcosId]

3m sh²m (h --1/) ,- , •

-JI

+ 4ShI mlz . _(a/ + (22) sin 2kt cos2mx + (a22- -(/12

) sm 2 mx cos 2kt \

l!.-_~

=.

_qy

- -;:;- f-

^{k2 \}1^chsh mlz^{m (lz 1/) [}

.

(al - ^(/2) cosIdcos mx + al ^(l2) sin kt sin

nu]

-'-' ;llll

1

eh 2 li/(h . : - - -- --,')-.1/) 1

--1 [-

«(/12 + (/2 2 ) cos 2Idcos2li/X + (a[2 - - ( 22) sin 2Idsin2mx

J

48h²mh_ sh²mh ^{J .}

_1' m (a4 h"¹s²

+

^~m⁽²1¹²⁾

r-

. 1--ch - li/, ' ) . . '(h . -^•II)

J

m

t

^1a2_J ^[.. cos 2 m:r + [eh 2 m(h --1']) - 2 ch 2mh +

11

cos 2kt].^Il''

2s12m l '_{- ..}

AOUT-SEPT, 19;):~ LA HOUILLE BLANCHE

CLAPOTIS PARFAIT

En faisant al

=

([~

= ([

dans les formules précédentes, nous obtenons celles du clapotis parfait.

En coordonnées de Lagrange:

eh^{III (h}

:t'

=

^.ru -1-- 2 ([ ---:--- -'-'''--- sin kteos m,t'o

+

shmh

m ([~ \

---~---.~

2sh~mh 1

/ () mh ---sh2mh -,

- . ---;c---...<'.cc-1

+

^{th~mh _. sin 2}mxo

\ 2mh

+

^sh2mh

sh 2mh il sh 2mh

+ r~

!lo 2 ([ --... -.. ,-- -.-:-"-"...^{sh m (h} shmh

m ([~ \ , sinm,l'usin kt -_. - - - .. sh .2m (11

2sh~ mh1 ^{!III )}

il eos2kt eos2

2 sh~mil eos 2kt

2

4 ([sh m!l" " J't.,' . ,

-.- ...- - - - . - - - SIll , SIlIIlI,c"

shmIl

[ th m/z(2

eh~

^{m/z -- 1-- 3}

eh~

^{m (11}

+

^[thm/z

+

^{sh 2m (h} ₍ ^{" () mh --- sh 2mh \--1 . ,}

".lh-IlIh

+ ---.-...- .,--.---

^{1 eos 2m,l'u}

2 mh

+

^{sh 2 mh /_}

En coordonnées d'Euler:

l5- \ +

2 ([

~_m

^{(h --.--il) sin ktcosmL'}

m 1 shmlz

111 a~ 1il eh 2 m (lI !I),' ') J,t, ,') ,

+ (') " ')

^{J '1')" ') J't}

^-1

-..- - . - . - - - .- - - - . . - - - SIll _ c cos _IlIX _ C 1 _ 111 1 - - Slll _ ,

4 sh~mlz _. sh~mh _

U = k 1-_~·~I_<'_.12]~'_(l'- y) coskt cosmx shmh

III ([~ch 2m(h - ,1']) _{cos2kt cos 2,Jnx '_}

'1

2 Shlmlz

[ sh m (h IJ) il m([2 sh 2]11(h - IJ) -'1

\T = "T I ' ) ".. -- - a --···..'. S·.·'--1·--/-]···I·-11-'- Slll "'. . .-- , Tt.eosIlU;

+ '.-'.-

^S'j'11 -^'~"^{T"t cos' ').}_ ^/11,'''_....

_ 2Shlmh

486 LA HOUILLE BLANCHE AOUT-SEPT. 1953

1) ^k2 2 ([ ch m(h - I I ) . .

- - =

_{e •.}

glJ

+ -

_{m sh}

.

_mh

.

^{sm mx smkt}

-f-

₂^m_sh::^(/2_mh

l-

^{3· (ch}_" ²_sh2^{m (h ._-}_mh ^Il) _{' -}

_'3)

^{1 \} _{cos 2kt cos 2 ma;} 1··· ch 2 m (h - y) - cos2nu;

- (ch 2m (h - y) - 2ch2mh

+

^{1) cos2kt}

Jl

En examinant les formules précédentes, nous constatons qu'elles présentent de légères diffé- rences avec celles de M. MICHE, les voici :

pour x :

pour U :

pour HI

pour cp :

n7 ([2

r-

---,:----=--:...::c~---=-'--~. ~'^{sh 2mh -'-2mhch2m (h --III,)}

J . ')

SIlI~ mx

sh2mh _ 2mh

+

^{sh 2mh _ u}

') '> ,-mh sh 2 m (lz - (/0) - In(h -- (/0) sh 2mh] ')

- ^~ m ([- . . cos ...^111X_o

sh² mh (2 mh

+

^{sh2mh) .}

4. ,,[mhsh 2 m (.h - (/0) - -m (h (10). sh 2mh

-.' m ([" . .

_ sh2mh(2 mh

+

^sh2^ml!)

4 sh²mh ⁽²ch 2mh --1) sin 2kt

Cette dernière difIérence est sans importance physique puisqu'elle ne dépend que du temps.

Les autres difTérences, qui s'annulent d'ailleurs pour y et p à la surface ct au fond, proviennent de ce que les définitions de ;'1.'0 et Uu caractérisant une particule ne sont pas exactement les mêmes chez MM. BmsEL et MICHE, quoique on ait au fond Uo

=

h et à la surface Uo

=

0 chez tous les deux.

N.13. - Si nous appelons X_{o yo} la place d'une particule au repos chez M. BIESEL et :'1.'1 !h la place de la même particule au repos chez M. MICHE, nOLIS avons:

. ". +m([2 r'sh2mh-2mhch2m(lz"-lJ,)1

Xo

=

^·'1.'1

sh2mh (2 mh

+

^{sh 2mh)}

1

0

=

1 _ 2ma² [mh sh2^ln(h - rh) - m (h-!h)sl~2mhl, cos2mX

J .h sh2mh (2 mh

+

^sh2mh) j

Ces deux systèmes de positions des particules au repos sont également acceptables, car ils satisfont à l'équation de continuité d'un fluide incompressible:

La divergence entre les deux systèmes de formules n'est donc qu'apparente et ne les empêche pas d'être physiquement équivalents à l'ordre d'approximation considéré. Sous réserves d'études pous- sées en troisième ordre, il est d'ailleurs impossible de faire un choix rationnel entre ces deux repré- sentations. Tout ce que l'on peut dire est que 10 système de coordonnées intiales utilisé par M. MICHE conduit à des formules un peu plus simples tandis que le système utilisé par M. BIESEL se raccorde d'une façon continue à la famille d'équations plus générale qu'il a établie dans l'article déjà cité.

SURFACE LIBRE

En faisant !J

= ()

dans les formules précédentes, nous obtenons les équations paramétriques des surfaces libres, X_uétant le paramètre.

AOUT-SEPT, 195:1

Clapotis partiel:

LA HOUILLE BLANCHE 487

:r

=

Xo

+

^th

~nlz r

^(a,

+

^{a) sinkt cos}

m:ro-~

(a, -"- (2 ) cos ktsin mxo -]

m (2 ch 12

mlz

+

^{1) ,-(a/ __}a,:!) sin 2ktcosmx_o

+

^(a22

+

a,:!) cos 2Id sin 2m.l'o 1 8 s11mlz

~ -

(1)

+

^{ma, a" sin 2m.l'"}

1-"-

^{fi sh 2mil - 4mil}

⁺

^{ch 2mil(fimh -- sh 2mil)}

4 sh:!mlz "" sh 2mh

-1-

2 mlz th:! milch 2mh

y = - [ (al - (2) cosnu'o cos kt

+

^(a,

+ (

2 ) sinm.l'o sinkt) ] (2)

a/

-1-

~ (a ,²

+

^((,,2) cos 2 Idcos 2nu'"

+

^{(a,:! - a/) sin 2m.l'"sin 2kt -.1}

2 sh:!mh

+

- - - .^{/.na, a:!}

1..·-. ' ,')

cos ~ l"~, , - ^cos 2l71X/> ]

thmil 2ch² mil

Clapotis parfait:

2(l m a² \ (2ch2mil

+

¹⁾

Xo

+ --;.--

sinkt cosmx_{o -} - - - - cos 2ktsin 2m,l:o

thmlz 4sh:!mil ( sh:!mlz

" ') (·,,1-.... ..

^{fi sh 2mil - 4mh}

+

^{ch 2mil(fi mlz --sh 2mil)}

-f-

th2mh ch 2 mil

J

^l"

SUl - ll.<o . -_.--._. sh:!mlz

+

^2mh

y= - 2asin m:l'o sinkt

_ .

.!!!._~

[....

1

+

^{cos 2kt}

+ _

^{cos 2m:l'"}

^-1-

~ ^{cos 2ktcos 2} l7D'/> ]

thmlz 2sh:!mlz 2 sh:!mlz

EQUATION EXPLICITE DE LA SUHFACE LIBHE DU CLAPOTIS l'AnTIEL

Les formules paramétriques (1) et (2) conviennent mal pour une étude détaillée de la surface libre; aussi avons-nous recherché une équation explicite de la surface libre,

Pour obtenir la cote vraie en x o, à partir de la cote y donnée par (2) au point x et non x o, nous

, . tt l '. t l' ' ( ) dll 'f' 't ' t ' 1 t dll

devons nljOIIter a ce e (ernlere coe expressIOn - :1:: - Xo - d ' qUI ^aI' InerVenll' a pene - j . ' ,

Xo ^(Xo

et l'écart x - x o; nous avons ainsi:

x - Xo

= __

1_

1 ^{[(a, - ( 2)}sinktcosm:l'o - (al --- a) coskt sin_mxo

J.

th ml _{--- -}

m [a:!

+

^{a,,2 (a,:!}

+ (

22) cos 2_{mxo cos}2Id 2thmh .. 1 -

+

²al a 2 cos 2kt

+

^{cos 2ln.l'O) - (a ,2- (}22)sin 2 mxû^{sin 2kt ]}

et nous obtenons ainsi l'équation explicite de la s ul'face libre y en fonction de Xo que nous pouvons rebaptiser x sans inconvénient:

41;8 LA HOUILLE BLANCHE ^AOUT-SEPT. 195:1

If

= -

_r(a1-a,,) cosmxcoskt

+

^(al

+

^{a.,)sinmxsinkll}

+

^{m ((1} ((~ ⁽¹

+

Ih~mh) cos 2JIU; (3)

. - ~ - - 2thmh

- _2thm_ml!.(1

+

₂^{. 3}_sh~ml!^{) [-}_{_ .}^(a12

+

^a,,2)_- ^cos2ktcos2mx

+

(a12_.

~

^a,/)_- ^{sin2kt sin 2mx -..}_..¹

L'équation (3) est, comme les équations (1) et (2), le début d'un développement en série de puissance de al et 02' mais nous croyons que la série (3) établie à partir des séries (1) el (2) est moins convergente que celle-ci. En tous les cas, du point de vue mathématique, l'équation (3) et les équations (1) et (2) ne sont pas équivalentes, mais ne doivent pas différer de termes d'ordre inférieur au troisième. Ces considérations interviennent surtout lorsque la cambrure devient impor- tante et qu'il y a lieu de discuter la validité des équations précédentes.

MAXIMUM DE LA SURFACE LIBRE:

Le but de cetie étude étant essentiellement de pouvoir, à partir de mesures expérimentales, déterminer les amplitudes al et (/~ d'un clapotis partiel de période et de longueur d'onde détermi- nées, il nous faut tout d'abord déterminer en quels points ces mesures devront être faites, c'est-t1- dire pour quelles valeurs de mx. La méthode classique consiste à faire deux séries de mesures, une aux ventres et une aux nœuds d'amplitude verticale. Ces nœuds et ventres sont définis pal' la propriété que l'amplitude verticale y est respectivement minimum et maximum; on sait que si l'on se limite aux théories du premicr ordre ils sont définis parmx

=

(7\'/2)-+-k7\' pour les ventres ct m:r ^{= 0}0 (:J:: k7\') pour les nœuds. Avec les théories du second ordre, on constate que les nœuds et les ventrcs répondant à la définition ci-dessus sont donnés par des va leurs de mx olus complexes, si bien quc l'on a intérêt il abandonner la notion classique de nœud et de ventre, el à placcr d'autorité les points dc mesure en mx

=

0(:ct:k 7\') et nu:

=

(7\'/2)

+

^k7\'. Le repérage des points de la dernièrc famille est rendu physiqueill'ent possible par le fait, facile à démontrer, qu'ils correspondent à la position maximum maximorum d'altitude (ct non d'amplitude) atteinte par le profil. Leur repérage à la pointe est donc en principe facile. Les points de ln série m:r= 0(±k7\') se déduisent des précédents par des translations de 1./4.

ETUDE DE LA VAIUATION DE NIVEAU EN ma:= (7\'/2)(1

+

^2k).

Nous commencerons donc par étudier la variation de niveau en m:r= (7\'/2) (1

+

^{2k) ell}

fonctiondutemps. Nous remarquerons que nous obtiendrons le même résultat enm:r = --(it/2) Cl +2 k) avec un déphasage dans le temps de kt= 7\'.

Nous avons:

y

= -

^((/1

+

^{(/2) sinkt}

+

_2th^m_mh ⁽¹

+ ')

_{_s}

l~)

_{1- m l ·}^])

(al~ +

^{([2 2) cos2kt -} ₂^{rn al a 2}_{th mh} ^Cl

+

^th2mh)

Les maxima et minima sont alors donnés par:

y'

=

0

= -

^(al

+ _a~)

^{cos kt - .t12}_1ml^{m] (1}

+ -')

_{_S 1- m l '}^{1: ])}(a12

+ _(/~2)

^{sin ktcoskt}

qui s'annule pour:

Jet

=

37\'₂ ^{Jet =} ~ 2

et sin kt

= _

^(al

+

^{(/2) . = N}

2m (1

+

^{3 ) (}

"+

^?)

thmh 2sh2mh a^{l -} a2~

Ces derniâ's extremums existent ou non suivant les valeurs des paramètres.

AOUT-SEPT. 1953 LA HOUILLE BLANCHE 48H

On peut montrer que lorsqu'ils existent, ce sont des maxima de y (c'est-à-dire des points bas) et qu'ils sont supérieurs aux maxima relatifs donnés par kt

=

(3 7:/2).

Posons:

0:

(, - ((~

1 ' - - (lt

27: __(1

thmil \. - - - - . - i l " .3 \ .(f' 1)

2sh~mlz) t>

Ut ' J . l = - -

'J.L

(i3bis)

f--- -

- -

^{- f--- -}

- -

1 - - - -1 - -

_L---

/ ^~

1 V

/1 V

1 27T 0,15

0,10

0,05

o ^0,1 0,2 0,3

FIG, 1

0,4 0,5 0,6

h

L

est:

Nous pouvons tracer dans un planUl' ~ une courbe de délimitation de l'existence de sinus qui 1+~

l'l.l

=

-1

+

~~

Les maxima el minima de y sont alors les suivants:

(fig. 2). (4)

th~mlz)

m

(1 + 3 ^)(U

²

+

^{(1,,2) _ m} (l, (l" (1

+

^th2mlz)

2thmlz 2sh²mlz ^{1 -} 2thmlz . siN

>

1

( + )

^{N m (1}

+

^{3 \ (}

"+

"~y ^{(1 ')}N") In (I, (l" (1

+

^{tI ') 1)}

---- (1 ((.,

+ .----.. -- .

^{1 (11- U,,- -} ~1 - - }- III 1

l - 2thmlz \ 2_sh~mlz)· - 2thmil

siN

<

1 Si nous appelons A la variation de niveau à m:r

=

(7C/2), nous avons:

A

=

¹Ymnx - Ymin¹ Soit :

si N> 1 (5)