Examen partiel

Master M2 Math´ematiques Appliqu´ees- Module ”Analyse Fonctionnelle”

Examen partiel

Exercice 1. Interpolation des espaces L^p. On consid`ere l’espace de Banach L<sup>p</sup> = L<sup>p</sup> (X,F, m) o`u p ∈ [1,+∞] et (X,F, m) est un espace mesur´e quelconque. Si f ∈ L^p on note||f||p sa norme.

(a) Soient p, r, q ∈[1,∞) tels que 1/r = 1/p+ 1/q. Montrer que si f ∈ L^p etg ∈ L^q alors f g∈L^r avec

||f g||_r ≤ ||f||_p||g||_q. (b) Soitf une fonction mesurable. Montrer que l’ensemble

I_f = {p∈[1,∞), ||f||_p < +∞}

est un intervalle ´eventuellement vide. Pour cela, si r ∈ [p, q], on introduira x∈ [0,1]

tel que 1/r=x/p+ (1−x)/q.

(c) On se place surRmuni de la mesure de Lebesgue. Donner un exemple de fonction f tel que I_f = ∅. Pour tout p ∈ [1,∞], donner un exemple de fonction f tel que I_f ={p}.

(d) Montrer que pour toute fonction f mesurable l’application p 7→ log(||f||^p_p) est convexe sur [1,+∞) (avec ´eventuellement des valeurs infinies).

(e) D´emontrer que pour tout q∈[1,∞) on a L^q∩L^∞ ⊂ \

q≤p≤∞

L^p

et que ||f||_p → ||f||∞ quand p→ ∞ pour toutf ∈L^q∩L^∞.

Exercice 2. Th´eor`eme de Clarkson. Un espace de Banach (E,||.||) est dit uni- form´ement convexe quand il satisfait la propri´et´e suivante : si{x_n}et{y_n}sont deux suites contenues dans la boule unit´e ferm´ee de E telles que ||x_n+y_n|| → 2, alors

||x_n−y_n|| →0.

(a) D´emontrer que tout espace de Hilbert est uniform´ement convexe.

(b) D´emontrer queRⁿmuni de la norme||.||₁ou||.||_∞n’est pas uniform´ement convexe.

(c) On va maintenant d´emontrer le th´eor`eme de Clarkson : les espaces L^p vus dans l’exercice pr´ec´edent sont uniform´ement convexes pour tout p ∈ (1,∞). On fixe donc p∈(1,+∞).

(i) Montrer que pour tout x, y ∈C on a |x+y|^p ≤2^p−1(|x|^p+|y|^p).

1

(ii) Montrer que la fonction φ d´efinie sur C par φ(z) = |1 +z|^p

1 +|z|^p

est continue, `a valeurs dans [0,2^p−1] et vaut 2^p−1 si et seulement siz = 1.En d´eduire que pour toutη >0 il existeδ(η)>0 tel que pour tout x, y dans le disque unit´e ferm´e deC on ait

|x−y| ≥η ⇒ |x+y|^p ≤2^p−1(1−δ(η))(|x|^p+|y|^p).

(iii) Soit ε > 0 et soient f, g deux ´el´ements de la boule unit´e ferm´ee de L^p tels que

||f −g||_p ≥ε. Soit ´egalement

E =

x∈X, |f(x)−g(x)| ≥ε2^−2/pmax(|f(x)|,|g(x)|) . Montrer que

Z

X/E

|f −g|^pdm ≤ ε^p/2 et en d´eduire que

Z

E

(|f|^p+|g|^p)dm ≥ (ε/2)^p.

(iv) En utilisant tout ce qui pr´ec`ede, montrer sous les hypoth`eses ci-dessus sur f, g que

f +g 2

p

p

≤ 1−δ(ε2^−2/p)2^−(p+1)ε^p et conclure.

(v) Les espaces L¹ et L^∞ sont-ils uniform´ement convexes ?

(d) Le th´eor`eme de Milman-Pettis assure que tout espace de Banach uniform´ement convexe est r´eflexif. Commenter ce r´esultat dans le cadre de (b) et de (c).

Exercice 3. Matrice de Hilbert. On consid`ere l’espace de HilbertH des suites r´eelles de carr´e int´egrable :

H = `₂(N) = (

u= (u_n)n≥1, X

n≥1

u²_n < +∞

) ,

muni du produit scalaire habituel et de sa base canonique standard{e_k}k≥1 o`ue<sub>k</sub> est une suite ayant des z´eros partout sauf `a la k-i`eme entr´ee o`u elle vaut 1. On consid`ere l’op´erateurA agissant sur H et d´efini par

(Au)_n = X

k≥1

u_k n+k·

Le but de l’exercice est de montrer que A est un op´erateur continu de H dans H et que sa norme vaut exactement π.

2

(a) Ecrire cet op´erateur sous la forme d’une matrice de taille infinie dans la base canonique deH.

(b) Soitu ∈H dont tous les ´el´ements sont nuls sauf un nombre fini. Montrer par la trigonom´etrie ´el´ementaire que

X

j,k≥1

u_ju_k

j +k = 1 2π

Z π

−π

t(C(t)−S(t))²dt,

o`u l’on a pos´e

C(t) = X

j≥1

(−1)^ju_jcos(jt) et S(t) = X

j≥1

(−1)^ju_jsin(jt).

En d´eduire que

X

j,k≥1

u_ju_k j+k

≤ πX

j≥1

u²_j.

(c) En utilisant la Proposition 5.4.6 dans le cours, en d´eduire que A est continu deH dans H et que sa norme est inf´erieure `aπ.

(d) On pose

un =

n

X

k=1

1

pk(n+ 1−k)· En utilisant les sommes de Riemann, montrer que

n→+∞lim u_n = Z 1

0

dt

pt(1−t) = π (on calculera ´egalement l’int´egrale).

(e) On consid`ere la matrice de taille n×n

A_n =











1 2

1

3 · · · _n+1¹

1 3

1

4 0

... ...

1

n+1 0 · · · 0











et le vecteurv = (1,1/√

2, . . . ,1/√

n). Montrer avec les notations du produit scalaire et de la norme euclidienne sur Rⁿ que

< A_nv|v >

||v||² = Pn

k=1 uk

k+1

Pn k=1

1 k

→ π

quand n→+∞.

(f) En d´eduire que lim infn→+∞||A_n|| ≥ π puis, en remarquant que A∞ = A, que

||A|| ≥π.

3