Examen partiel

Master M1 Recherche- Module ”Probabilit´es”

Examen partiel

Exercice 1. Esp´erance conditionnelle. On consid`ere deux variables al´eatoires r´eelles int´egrables X etY telles que p.s. E[X|Y] =Y et E[Y|X] =X.

(a) On suppose que X et Y sont de carr´e int´egrable. Montrer que E[(X −Y)²] = 0 en ´ecrivant E[XY] de deux mani`eres. En d´eduire que X =Y p.s.

(b) Soitϕune fonction r´eelle mesurable born´ee. Montrer que E[(X−Y)ϕ(X)] = E[(X−Y)ϕ(Y)] = 0.

(c) Soit a ∈R. En appliquant la question pr´ec´edente `a ϕa(t) =1{t>a} et en coupant le plan en quatre autour du point (a, a), montrer que

E[(X−Y)1{X>a≥Y}] = E[(X−Y)1{Y >a≥X}]

pour touta ∈R.En d´eduire queP[X > a≥Y] =P[Y > a≥X] = 0 pour touta∈R. (d) En d´eduire que P[X 6=Y] =P[X > Y] +P[Y > X] = 0 et donc que X =Y p.s.

dans le cas g´en´eral, mˆeme lorsque X et Y ne sont pas suppos´ees de carr´e int´egrable.

Exercice 2. Variables al´eatoires Beta et Gamma. Dans tout cet exercice, les sommes et les produits de variables al´eatoires sont toujours suppos´es ind´ependants. On note

Γ(a) = Z ∞

0

x^a−1e^−xdx et β(a, b) = Z 1

0

x^a−1(1−x)^b−1dx

les fonctions Gamma et Beta d’Euler, pour tous a, b >0. On rappelle les formules β(a, b) = Γ(a)Γ(b)

Γ(a+b) et Γ(a+ 1) = aΓ(a).

Soient Z_a et X_a,b les variables al´eatoires de densit´es respectives x^a−1e^−x

Γ(a) 1_{x>0} et x^a−1(1−x)^b−1

β(a, b) 1{0<x<1}.

(a) Exprimer `a l’aide de la fonction Gamma les moments fractionnaires E[Z_a^s] et E[X_a,b^s ] pour tout s≥0.En d´eduire par identification des moments que

Z_a =^d Z_a+b × X_a,b.

(b) Calculer la transform´ee de Laplace E[e^−λZa] pour tout λ ≥ 0. En d´eduire par identification des transform´ees que

Z_a+b =^d Z_a + Z_b.

1

En it´erant cette identit´e et en appliquant la loi des grands nombres, montrer que Z_n

n

→d 1, n →+∞.

Retrouver ce r´esultat en calculant la transform´ee de Fourier de Z_n/n et en utilisant un th´eor`eme de Paul L´evy.

(c) SoientU₁, . . . , U_n des copies ind´ependantes de U,variable uniforme sur [0,1].Cal- culer E[U^s] pour tout s ≥ 0. Par identification des moments et en utilisant le (a), montrer que

U^1/n =^d X_n,1 puis que U₁×U₂^1/2× · · · ×U_n^1/n×Z_n+1 =^d Z₁ pour toutn≥1.

(d) D´eduire de tout ce qui pr´ec`ede quen×U₁×U₂^1/2×· · ·×Un^1/n

→d Z₁ quandn→ ∞.

Probl`eme. Temps d’atteinte de marches al´eatoires simples. Soit {X<sub>n</sub>, n ≥1} une suite de variables al´eatoires i.i.d. de loi donn´ee par P[X<sub>1</sub> = 1] =p etP[X<sub>1</sub> =−1] = q o`upest un param`etre dans (0,1) et o`u l’on a not´eq= 1−p.SoitF_n =σ{X₁, . . . , X_n} etS_n=X₁ +· · ·+X_n pour toutn ≥1. On pose

T_a = inf{n ≥1, S_n ≥a} = inf{n≥1, S_n =a}

pour touta∈N={1,2, . . .}.

(a) On supposep > 1/2.En appliquant la loi forte des grands nombres `a{X1, . . . , Xn}, montrer queS_n→+∞ p.s. et en d´eduire que T_a <+∞ p.s.

(b) On pose ζ = q/p. Calculer E[ζ^X1] et en d´eduire que la suite n 7→ ζ^Sn est une martingale pour la filtration{F_n, n≥1}.

(c) On supposep < 1/2.En appliquant le th´eor`eme d’arrˆet, montrer queE[ζ<sup>STa∧n</sup>] = 1 pour tout n ≥ 1. En appliquant soigneusement le th´eor`eme de convergence born´ee, en d´eduire E[ζ^STa] = 1. Montrer queS_n→ −∞p.s. et d´eduire de tout ce qui pr´ec`ede

P[Ta <∞] = ζ^−a < 1, puis queE[T_a^s] = +∞pour tout s >0.

On suppose dor´enavant p ≥ 1/2. Le but des questions suivantes est de calculer la transform´ee de Laplace de T_a puis d’´etudier le domaine de convergence de ses mo- ments exponentiels. On pourra admettre la subsidiaire question (g).

(d) Soitz ∈(0,1). Montrer que l’´equation du deuxi`eme degr´e px + q

x = 1 z

2

a deux racines r´eelles distinctes et que la plus grande racine not´ee x₊ = x₊(z), est une fonction strictement d´ecroissante dez. En d´eduirex₊(z)>1 pour toutz ∈(0,1).

(e) En raisonnant exactement comme en (b), montrer que la suiten 7→zⁿx^S₊ⁿ est une martingale pour la filtration{F_n, n≥1}.

(f) En appliquant le th´eor`eme d’arrˆet et le th´eor`eme de convergence domin´ee, montrer queE[z^Tax^S₊^Ta] = 1 et en d´eduire

E[z^Ta1{Ta<+∞}] = 2pz 1 +p

1−4pqz²

!a

, z∈(0,1). (1)

V´erifier que la formule (1) se prolonge en z = 1 et en d´eduire P[Ta < +∞] = 1 (ce que l’on savait d´ej`a pour p > 1/2), d’o`u E[z^Ta] =E[z^Ta1_{Ta<+∞}].

(g) Montrer que la fonction du terme de droite dans (1) est analytique pour tout z ∈ [0,p

1/4pq). En d´eduire par le principe du prolongement analytique puis par continuit´e que l’identit´e (1) est valable pour tout z ∈[0,p

1/4pq].

(h) Montrer que E[e^λTa] < +∞ pour tout λ ≤ −¹₂log(4pq), puis, lorsque p > 1/2, queE[T_a^s]<+∞pour tout s >0. Que se passe-t-il lorsque p= 1/2 ?

On suppose dor´enavant p = 1/2. On va s’int´eresser au domaine de convergence des moments fractionnaires positifs deT_a.

(i) Montrer par convergence born´ee que E[T_az^Ta−1] = d

dz

z 1 +√

1−z² a

, z ∈(0,1).

V´erifier que le terme de droite tend vers +∞ quand z →1 et en d´eduire par conver- gence monotone queE[T_a] = +∞.

(j) Etablir la formule

λ^s = s

Γ(1−s) Z ∞

0

(1−e^−λx) dx x^s+1

pour toutλ≥0 et s ∈(0,1).En utilisant le th´eor`eme de Fubini, en d´eduire E[T_a^s] = s

Γ(1−s) Z ∞

0

(1−E[e^−xTa]) dx x^s+1 pour touts∈(0,1).

(k) En utilisant la formule (1) et un d´eveloppement limit´e au premier ordre, montrer que

1−E[e^−xTa] ∼ 1−a√

2x, x→0 +. En d´eduire que pour tout s≥0

E[T_a^s] < +∞ ⇐⇒ s < 1/2.

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