En d´eduire Aut(C)

Universit´e Lille 1 Master 1 Recherche

Analyse complexe 28 avril 2016

Feuille 9

Transformations conformes

Exercice 1. Exemples de biholomorphismes

Trouver un biholomorphisme de Ω sur ∆ dans les cas suivants : i) Ω ={z |Re(z)>0};

ii) Ω ={re^iθ |r >0, |θ|< α} o`u α∈]0;π[ ; iii) Ω ={z | |Im(z)|< π}.

Sont-ils uniques ?

Exercice 2. Entre ∆ et C

Montrer que ∆ n’est pas biholomorphe `aC. Existe-t-il une surjection holomorphe de ∆ surC?

Exercice 3. Automorphismes de C

Soit f un automorphisme de C : quelle est la nature de la singularit´e en 0 de g :z 7→ f(1/z) ? En d´eduire Aut(C).

Exercice 4. Application de K¨obe Soit θ∈Rfix´e. On note

z7→ −e^{f1 iθ}z ; z7→^f2 1 2(z+ 1

z) ; z7→ −2e^{f3 iθ}(z+ 1) ; z7→^f4 1 z

i) D´eterminer l’image de ∆\ {0} parf2.

ii) En d´eduire que f4◦f3◦f2◦f1 est bien d´efinie sur ∆\ {0}. Quelle est l’image de ∆ par l’application de K¨obe f :z7→ z

(1−e^iθz)² ?

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