PHQ360 460 aut 2015

NOTES DE COURS (PHQ360-460)

Professeurs

Denis Morris Michel Pioro-Ladrière

Département de physique Faculté des Sciences

Université de Sherbrooke

©Guy Bernier 2015

PHQ-360 (automne)

- Écoulement des gaz... 1.1 - Effet photoélectrique... 2.1 - Programmation Labview... 3.1 - Détermination du rapport e/m... 4.1 - Modes de vibration des réseaux... 5.1 - Ligne à transmission... 6.1 - Optique... 7.1

PHQ-460 (été)

- Effet Faraday... 8.1 - Champs magnétiques... 9.1 - Radioactivité... 10.1 - Franck-Hertz... 11.1 - Plasma... 12.1 - Spectroscopie atomique... 13.1 - Bruit dans une résistance... 14.1

Site WEB des Travaux pratiques : http ://www.tp.physique.usherbrooke.ca/

Note : Comme vous devez faire une présentation orale suite à cette expérience, aucune introduction n’apparait dans ce texte. Vous devrez cependant en inclure une dans votre travail.

1 Théorie

1.1 Hypothèses de la théorie cinétique des gaz

1. Un gaz est formé de molécules distinctes, animées d’un mouvement incessant et désordonné.

2. Les molécules n’ont d’action réciproque qu’au moment de leurs chocs : ceci suppose que les trajectoires des molécules sont formées de lignes brisées.

3. La chaleur n’est pas considérée comme une forme d’énergie distincte de l’énergie mécanique. C’est l’énergie cinétique des molécules en mouvement.

4. Du fait de leurs chocs continuels, les vitesses des molécules sont sans cesse modifiées.

Cependant, étant donné le grand nombre de molécules, les lois des grands nombres peuvent être appliquées. Chaque molécule possède une certaine probabilité de se déplacer à une vitesse donnée. A l’équilibre, la relation exprimant cette probabilité s’appelle la distribution de Maxwell-Boltzmann.

5. Le gaz est isotrope.

Ces hypothèses, appliquées dans le cadre de la physique statistique, conduisent entre autres à la loi des gaz parfaits (équation d’état d’un gaz parfait).

P V =N kBT (1)

où P est la pression et V le volume du gaz, N le nombre de molécules dans V, kB la constante de Boltzzmann et T la température. Soit n la concentration de molécules, c’est- à-dire le nombre de molécules par unité de volume :

n= N V on obtientn= _k^P

BT (ce qui est indépendant de la nature du gaz). Aux conditions normales de température et de pression (0^oC et 1 atm) :

n= 2.79 × 10¹⁹mol´ecules par cm³

PHQ360 Écoulement des gaz

1.2 Fonction de distribution de Maxwell-Boltzmann

Le nombre de molécules dont la vitesse se situe entrev etv+dv est ^dn_dv (voir Reif) : dn

dv = 2n

s m³

2πk³_BT³v²e⁻

mv2

2kB T o`u m=masse d⁰une mol´ecule

A l’aide de cette fonction, la vitesse moyenne des molécules du gaz peut être obtenue en partant de l’expression suivante :

v_m = 1 n

∞ 0

vdn

ce qui donne finalement :

vm = s

8k_BT

πm (2)

1.3 Le libre parcours moyen

On appelle ainsi la distance moyenne parcourue par une molécule entre deux chocs successifs. La théorie donne :

l= 1

√2πd²n = k_BT

√2πd²P (3)

où dest le diamètre d’une molécule.

Exemple : molécule d’air à 20^oC, pressionP en torr,len cm :

P 760 100 10 1 10⁻¹ 10⁻² 10⁻³ 10⁻⁴ 10⁻⁵

l 7×10⁻⁶ 7×10⁻⁵ 7×10⁻⁴ 7×10⁻³ 7×10⁻² 7×10⁻¹ 7 70 700 Tableau 1: Libre parcours d’une molécule d’air moyen en fonction de la pression.

Gaz Masse (g) Vitesse moyenne (m/s) Diamètre d’une molécule ( ˚A)

hydrogène 3.3×10⁻²⁴ 1900 2.18

hélium 6.6×10⁻²⁴ 1300 1.92

azote 4.61×10⁻²³ 500 3.16

oxygène 5.3×10⁻²³ 470 2.96

mercure 3.31×10⁻²² 180 3.64

Tableau 2: Caractéristiques de quelques gaz à 20^oC et 760 Torr.

1.4 Viscosité des gaz

Soit un gaz situé entre un plan fixe en x₀ et un autre mobile en x₁ animé d’une vitesse v₁. Comme le plan àx₀ est fixe, les molécules en contact avec lui ne subissent pas d’entrai- nement. Par contre, celles qui frappent le plan mobile sont entrainées vers la droite générant ainsi un écoulement du gaz. Un gradient de vitesse, selon ˆx est alors établi.

1.2

plan mobile vitesse v

plan fixe

1

x

x

gaz l l x

Figure1: Mouvement d’une colonne de gaz.

L’écoulement diminue progressivement pour devenir nul en bas. On admet que la vitesse d’entraînement des molécules varie linéairement de x₀ àx₁ comme :

v= v₁(x−x₀) (x₁−x₀) Le gradient de la vitesse est donc : ^dv_dx = _(x^v1

1−x0)

Pour simplifier, il convient de supposer que toutes les molécules accomplissent entre deux chocs un trajet égal à l, le libre parcours moyen. Divisons l’intervalle entre les deux plans en couches d’épaisseur let admettons que les chocs ne se produisent qu’à la frontière entre 2 couches consécutives. En passant d’une couche à l’autre, la variation du courant gazeux vaut l_dx^dv. Une molécule de masse m subit alors une variation de quantité de mouvement égale àml^dv_dx. On peut imaginer la frontière entre deux couches comme une paroi traversée chaque seconde par un nombre de molécules égal ànt= ¹₄nvmS (S étant la surface du plan mobile).

Note : Le 1/4 vient de : 1/2 parce que la moitié des molécules monte et l’autre moitié descend et 1/2 additionnel parce que la surface effective vue par les molécules qui la traversent vaut 1/2 ( cf. notes de l’expérience de plasma).

Donc, les nt molécules transmettent d’une couche à l’autre une variation de quantité de mouvement :

ntmldv dx = 1

4nvmSmldv dx

La force qui s’exerce sur une couche est F = ^d(mv)_dt ce qui est la variation de quantité de mouvement. Donc,

F = 1

4nvmSmldv

dx =ηSdv dx où η= ¹₄nmv_mlest le coefficient de viscosité.

1.3

PHQ360 Écoulement des gaz

Note : Une analyse plus rigoureuse tenant compte de la dispersion des parcours individuels de chaque molécule donne :

η= 0.31nmvml où

η = 0.62 d²

s mk_BT

π³ (4)

Gaz η(en cgs) poise ou g/(cm-s)

H₂ 0.8×10⁻⁴

CO₂ 1.4×10⁻⁴

N₂ 1.7×10⁻⁴

Air 1.7×10⁻⁴

O₂ 1.9×10⁻⁴

Tableau 3: Coefficients de viscosité à 0^oC.

Note : À 18^o, on a pour l’air : η= 1.82×10⁻⁴poise (c.g.s.) ou 1.82×10⁻⁵Pa-s (MKS).

1.5 Éléments de dynamique des gaz

Dans ce qui précède, nous avons admis que les molécules sont animées d’un mouvement individuel, la masse du gaz étant exempte de tout mouvement d’ensemble. Considérons maintenant la situation où le gaz se déplace en globalité par rapport aux parois du récipient qui le contient. Nous étudions le phénomène de l’écoulement du gaz dans des tuyaux. On suppose que cet écoulement est laminaire, ce qui veut dire qu’il ne se forme pas de tourbillons dans le gaz en mouvement. On dit aussi écoulement non turbulent. On distingue deux types d’écoulement :

1. Le régime visqueux ou de Poisseulle

Dans ce cas, la pression est assez élevée pour que le libre parcours moyen soit petit devant le diamètre du tuyau. Le nombre de chocs entre les molécules est alors grand face au nombre de chocs des molécules sur les parois.

2. Le régime moléculaire ou de Knudsen

Dans ce cas, le libre parcours beaucoup plus grand que le diamètre du tuyau. Le nombre de chocs entre les molécules est alors petit devant le nombre de chocs des molécules sur les parois.

1.4

1.5.1 Écoulement en régime visqueux

Soit un tube de longueur L et de rayon r0. Calculons le débit de gaz dans ce tube soumis à une différence de pression P1−P2 avec P1> P2:

L

P

r P

r

Figure 2: Colonne de gaz soumise à une différence de pression.

Considérons un petit élément de colonne de gaz centré sur l’axe de rayonr. Lorsque l’écoule- ment atteint un régime stable, les forces qui s’exercent sur cette colonne doivent s’équilibrer.

Ces forces sont de deux types :

— La force motrice due à la différence de pression P1 − P2 dont la grandeur est f₁ = (P₁−P₂)πr².

— La force résistante due aux frottements de viscosité :f2=ηS^dv_dx.

où S est la surface latérale de la colonne considérée et v la vitesse de translation du gaz.

L’élémentdx doit être remplacé pardr et alors : f₂ = 2πηrLdv

dr

À l’équilibre (régime stationnaire)f1=−f₂,d’où : (P1−P2)πr² =−2πηrLdv

dr i.e.

(P₁−P₂)r=−2ηLdv dr Par intégration il vient,

(P1−P2)r²

2 =−2ηLv+const.

On évalue la constante par la condition v= 0 àr =r₀. Le résultat final est :

1.5

PHQ360 Écoulement des gaz

v= (P₁−P₂) r²₀−r² 4ηL

Le débit en volume est :

D_V =

r0

0

v2πrdr= πr⁴₀

8ηL(P₁−P₂)

Soit P = ^P1+P₂ ² la pression moyenne du gaz dans le tube. AvecM la masse d’unhe mole de gaz etR la constante des gaz parfaits, on obtient le débit de masse :

Dm=DVρ= πr⁴₀

8ηL(P1−P2)P M RT qui s’écrit également :

Dm = πr⁴₀ 16ηL

P₁²−P₂² M

RT (5)

1.5.2 Écoulement en régime moléculaire

La force qui entraîne le gaz est : f₁ = (P₁−P₂)πr₀². D’autre part, la force résistante origine du choc des molécules avec la paroi du tube. Sans développer un raisonnement détaillé pour analyser cette situation, donnons le résultat final :

D_m= 8 3

r³₀(P₁−P₂) L

s πM 2RT On voit la différence entre les deux types d’écoulement :

a) Le rayonr₀ intervient à une puissance différente.

b) La pression moyenne et la viscosité n’interviennent que dans le régime visqueux.

1.6 Dérivation de l’équation régissant l’écoulement

Par dérivation, la formuleP V =N kBT devient V^dP_dt = ^dN_dtkBT (considérant le volume V comme fixé et la température T constante). On obtient donc ^dN_dt = _k^V

BT dP

dt. Appliquons cette formule au volumeV₁(voir montage expérimental) :

dN1

dt = V1

k_BT dP

dt

oùN1 est le nombre de molécules dans le volumeV1au tempst. ^dN_dt¹ est donc le changement de ce nombre au même temps. Le débit de masse est :

Dm=−mdN

dt m=masse d⁰une mol´ecule Comme on a :

1.6

M =mNA R=kBNA o`u NA=nombre d⁰Avogadro l’expression du débit de masse (5) se transforme alors naturellement et devient :

dP₁

dt = −πr⁴₀ 16ηLV₁

P₁²−P₂² (6) Notons que les quantités accessibles à l’expérimentateur sont :P₁,P₂,r₀,LetV₁. L’équation précédente permet donc de calculer η.

Question : Dans l’hypothèse isotherme, on aP₁+P₂ = 2P_f.Montrez que, dans ces conditions, l’équation (6) peut s’écrire :

ln

(P₁(0)−P_f P₁(t)−P_f

)

= πr⁴_oP_f

4ηLV₁t (7)

C’est l’équation que nous utiliserons pour interpréter les résultats obtenus. Cette équation montre qu’il n’est pas nécessaire de mesurer à la foisP₁(t) et P₂(t).

Dans le cas du régime moléculaire, montrez que l’on obtient la relation suivante : ln

P₁(0)−P_f P1(t)−P1

= 8r₀³ 3LV1

s 2πk_BT

m t (8)

2 Montage expérimental

P

jauge jauge

P 1

pompe mécanique

valves entrée d'air

tube (r )0

2

3

V ₁

V₁

V

0.0270 m

2

V₂

= =

Figure 3: Montage expérimental

1.7

PHQ360 Écoulement des gaz

L’appareil est composé de deux enceintes reliées par un tube. Deux jauges à pression permettent de mesurer la pression dans ces enceintes et une pompe mécanique permet d’évacuer l’air qu’elles contiennent.

3 Partie expérimentale

3.1 Étude du régime visqueux

Faites l’expérience dans les conditions suivantes :

L (m) r₀(mm) P₁(0) (Pa) P(0) (Pa)

0.75 2.28 20 1000

0.75 2.28 20 2000

0.75 1.30 20 2000

0.75 1.67 20 2000

Tableau 4: Conditions expérimentales pour l’étude du régime visqueux.

Note : A l’aide du logiciel fourni, prenez des mesures deP₁(t), à la fréquence de une mesure/seconde, au moins jusqu’à ce que P₁(t) = 0.8P_f sauf pour les deux premières mesures où vous attendrez que P1(t) =P_f.

Question : Est-ce que l’écoulement du gaz est plus rapide :

a) lorsque l’écart entre P2(0) etP1(0) est petit ou grand ? Confirmez votre réponse à l’aide d’un graphique deP₁(t) en fonction du temps contenant les deux premières mesures.

b) lorsque r₀ est petit ou grand ? Confirmez votre réponse à l’aide d’un graphique deP₁(t) en fonction du temps contenant les trois dernières mesures.

Pour chacune des mesures effectuées dans les conditions énumérées précédemment, déter- minez la valeur de η et vérifier que :

1. η est indépendant de la pression initiale P2(0).

2. la pente de l’équation (7) a une dépendance en r₀⁴.

Question : Comment procède-t-on pour trouver précisément la valeur de la pression finale sans attendre que les deux pressions dans les enceintes soient les mêmes ? Utilisez le résultat de la première mesure pour en discuter.

3.2 Les fuites

En considérant que l’enceinteV2 est parfaitement étanche, vérifiez si l’enceinteV1 com- porte des fuites en mesurant la pression P1(t) pendant une nuit (avec toutes les valves fermées). Utilisez les conditions initiales suivantes :

L (m) r₀ (mm) P₂(0) =P₁(0) (Pa)

0.75 1.67 25

Tableau 5: Conditions expérimentales pour mesurer les fuites.

1.8

3.3 Étude du régime moléculaire

Question : Déterminez la pression initiale P₂(0) nécessaire pour observer un écou- lement moléculaire avec le tube de rayon 1.67mm (posezP₁(0) = 0). En considérant la possibilité de fuites et le temps alloué pour l’expérience, est-ce que cette valeur deP₂(0) est réaliste ? Si non, quel(s) paramètre(s) de l’expérience pourriez-vous modifier afin d’observer un écoulement mo- léculaire ?

Obtenez les courbes de P1(t) dans les conditions suivantes :

L (m) r0 (mm) P1(0) (Pa) P2(0) (Pa)

0.75 1.67 0 25

0.75 1.67 0 50

0.75 1.67 10 100

0.75 1.67 10 200

0.75 1.67 20 500

0.75 1.67 20 1000

Tableau 6: Conditions expérimentales pour l’étude du régime molécuclaire.

A l’aide de chacune des pentes des graphiques de ln^nP_P^1(0)−Pf

1(t)−P_f

o

vs t, utilisez l’équation (7) pour tracer un graphique de l’écart (%) avec la valeur acceptée du coefficient de viscosité de l’air en fonction de la pression de départP₂(0). Avec les pentes trouvées, utilisez cette fois l’équation (8) pour tracer un graphique de l’écart (%) avec la valeur de la pente prédite par la théorie du régime d’écoulement moléculaire, et ce, en fonction de la pression de départ P₂(0). Discutez vos résultats.

Références

[1] Reif F. Fundamentals of Statistical and Thermal Physics. Waveland Press, 2009.

mars 2014

1.9

PHQ360 Écoulement des gaz

Annexe A

Dans le système M.K.S., l’unité de pression est le pascal : 1 Pa = 1 Newton/m² Dans le système C.G.S., l’unité de pression est le barye :

1 barye = 1 dyne/cm²

On utilise aussi les unités kg/cm² , lb/po², atm, Torr et mm de Hg : 1 Torr = 1 mm de Hg = 133.2 Pa

1 kg/cm²= 98066 Pa 1 Pa = 10 baryes 1 lb/po² = 6895 Pa 1 atm = 1.0133 bars = 760 Torr

1 bar = 1.0 x 10⁶ dynes/cm²

Tableau A-1: Conversions entre unités de pression

1.10

[LASERS] : Vous devez avoir reçu la formation en Sécurité Laser de l’Université pour effectuer cette expérience. Demandez au moniteur de vous indiquer quelles sont les lunettes d’alignement pour chacune des longueurs d’onde utilisées.

[HAUTE-TENSION] : Ne jamais débrancher le tube d’un laser à gaz de son alimentation électrique.

1 Introduction

Historiquement, l’étude de la lumière a donné lieu à des découvertes fondamentales en apparence contradictoires. En 1865, Maxwell publia une théorie selon laquelle la lumière est une onde électromagnétique, i.e, un champ électrique et magnétique oscillant et se propageant dans l’espace. Hertz, en 1886, fait des expériences qui confirmait la théorie de Maxwell. Cependant, au même moment, Hertz découvrait qu’une décharge électrique entre deux électrodes se produisait facilement lorsque de la lumière ultraviolette frappait une électrode. Par la suite, Lénard montra que cette lumière produisait une émission d’électrons de la surface de la cathode. C’est ce qu’on appela l’effet photoélectrique.

2 Théorie

La figure ci-dessous illustre un montage permettant de visualiser cet effet. Supposons pour le moment que la cathode et l’anode sont constitués des mêmes métaux.

V

c a

I

Figure1: Cellule photoélectrique

La prochaine figure montre le photocourant mesuré en fonction de la différence de po- tentiel appliquée entre a et b pour deux expériences dans lesquelles l’intensité lumineuse incidente diffère de manière appréciable.

PHQ360 Effet Photoélectrique

I2

I1

Photocourant

V0 0 Va-c

Figure 2: Intensité du photocourant vs potentiel d’accélération.

On voit que lorsque V devient assez grand, le photocourant atteint une valeur limite (saturation) pour laquelle tous les photoélectrons éjectés de c sont collectés par a. On réalise également à partir de cette figure que les photocourants se produisent même si a est négatif par rapport à c mais que ces photocourants deviennent nuls quelle que soit l’intensité lumineuse pour une même valeur de V₀ appelée " potentiel d’arrêt ", tous les électrons ne sont pas émis avec la même énergie cinétique. Il est donc difficile de déterminer la position exacte deV0. De plus, les problèmes de charges d’espace contribuent à augmenter l’incertitude sur la détermination deV₀. Dans la plupart des détecteurs, dont ceux que vous utiliserez dans cette expérience, le matériel photosensible est évaporé sur la cathode. Avec le temps, il se peut qu’un peu de ce matériel aille se déposer sur l’anode.

Cette différence de potentielV₀ multipliée par la charge de l’électron e mesure l’énergie cinétique K_max de l’électron le plus rapide éjecté de la plaque :

K_max=eV₀ (1)

Cette relation montre que Kmaxest indépendant de l’intensité lumineuse (la lumière inci- dente est monochromatique). La figure suivante présente des trajectoires d’électrons lorsque V =V_o.

anode

cathode

Figure 3: Trajectoires des électrons.

Ceux qui n’ont pas assez d’énergie cinétique retournent vers la plaque.

2.2

On peut également étudier comment varie le potentiel d’arrêt V₀ en fonction de la fréquence de la lumière incidente. Pour cela, on fait plusieurs courbes de I vs V, chacune à une fréquence donnée, et on détermine V₀ pour chaque fréquence.

La figure suivante montre la courbe obtenue par Millikan en 1914. Son travail sur l’effet photoélectrique lui a valu le prix Nobel en 1923.

3.0

2.0

1.0

0 4 8 12

fréquence (10 sec )^{14 -1}

potentiel d'arrêt (volt)

Figure4: Potentiel d’arrêt vs fréquence de la lumière incidente.

Il apparaît que pour une surface donnée, une fréquence minimum ν₀ (fréquence de coupure) existe en dessous de laquelle il n’y a plus de photoélectrons. Sur le graphique ci-dessus, la surface photosensible était en sodium et ν₀= 4.39x10¹⁴Hz.

Voici trois données importantes qui ne peuvent pas être expliquées par la théorie ondu- latoire de la lumière :

1. Selon la théorie ondulatoire, le champ électrique E de la lumière augmente (en am- plitude) lorsque l’intensité de la lumière augmente. Comme la grandeur de la force appliquée à un électron est eE, on devrait obtenir une énergie cinétique des pho- toélectrons plus grande lorsque la lumière est plus intense. Or on a vu que eV₀ est indépendant de l’intensité lumineuse. Ceci a été vérifié pour des intensités variant par un facteur 10⁷.

2. Selon la théorie ondulatoire, l’effet photoélectrique devrait être observé pour n’im- porte quelle fréquence à la condition de rendre la lumière incidente suffisamment intense. Or, selon la dernière figure, pour un matériau donné, il y a une fréquence de coupure donnée µ0. Pour des fréquences où ν < ν0, l’effet photoélectrique ne se produit pas, et ce, quelle que soit l’intensité de la lumière.

3. Si l’énergie acquise par un photoélectron est absorbée d’une onde incidente à la surface du métal, il y a une aire effective pour un électron, de l’ordre du diamètre d’un atome, où l’électron prend de l’énergie de l’onde. Or selon la théorie ondulatoire, l’énergie dans une onde est distribuée uniformément sur l’onde. Donc, si l’intensité de la lumière incidente est très faible, on devrait mesurer un délai entre le début de

2.3

PHQ360 Effet Photoélectrique

l’illumination et la production d’un photoélectron, délai nécessaire pour accumuler de l’énergie dans l’aire effective. Un tel délai n’existe pas.

2.1 Théorie d’Einstein de l’effet photoélectrique

Einstein proposa que l’énergie de la lumière est concentrée en paquets qu’on appellera plus tard les photons. Voici ce qu’il propose :

1. L’énergie d’un paquet de lumière est concentrée dans un petit volume et demeure concentrée dans ce volume en se propageant dans l’espace à la vitesse c. L’énergie d’un paquet ou d’un photon est E=hν où est la fréquence de la lumière.

2. Lors de l’effet photoélectrique, un photon est absorbé complètement par un électron de la photocathode. L’énergie cinétique de l’électronE_e= ¹₂mv² émis par la surface devient :

E =hν−eφ_c (2)

oùhν est l’énergie du photon absorbé etφest le potentiel d’extraction. Le travail d’extrac- tion représente l’énergie requise pour sortir un électron de la surface du métal et est donné parW_c=eφ_c.

Si un potentiel est appliqué de façon à freiner les électrons émis, cela permet de mesurer Ee. En effet, lorsque tous les électrons sont freinés, alors Ee=V0 et on peur déterminer la valeur du rapport^h/epar la relation suivante :

V₀=

h

e

ν−φ_c o`u eV₀=hν−W_c (3) Revenant aux problèmes que rencontrait la théorie ondulatoire pour expliquer le phé- nomène, on se rend compte que la théorie d’Einstein les résout tous. En effet, en reprenant les points mentionnés plus haut :

1. En doublant l’intensité de la lumière, on double le nombre de photons, mais l’énergie de chacun de ceux-ci reste la même et eV₀ ne change donc pas.

2. On a la fréquence de coupure ν0lorsquehν=Wc. 3. Le problème ne se pose pas.

2.2 L’effet de la différence de potentiel de contact

Nous verrons dans cette section une subtilité importante reliée à la technique expé- rimentale utilisée pour arriver à déterminer h/e . Le fait que la cathode et l’anode sont généralement constituées de matériaux différents est à l’origine de cette subtilité^[1].

Expérimentalement, on utilise la configuration suivante : une anode est partiellement entourée d’une photocathode et le tout est sous vide (voir figure suivante). Quand la radia- tion frappe la photocathode, des électrons sont émis et sont collectés à l’anode en produisant un courant mesurable. Si on applique un potentiel négatif à l’anode, seulement les électrons ayant E_e> eV pourront se rendre à l’anode. Il y a donc un potentiel V₀ pour lequel même l’électron émis le plus rapide ne réussit plus à se rendre à l’anode. En pratique, tous les électrons ne sont pas émis avec la même énergie et le seuilV0 n’est pas toujours très net. Les effets de charges d’espace compliquent aussi sa détermination. Il faut maintenant ajouter le problème de la différence de potentiel de contact.

2.4

La différence de potentiel de contact, comme dans l’expérience de Franck-Hertz, est l’écart entre le potentiel que l’on applique (et que l’on mesure : V⁰ ) entre la cathode et l’anode et celui que doit réellement surmonté l’électron pour passer de la cathode à l’anode (V). Cette différence de potentiel provient du fait que la cathode et l’anode sont formées de matériaux différents qui possèdent chacun leur propre travail d’extraction (Wc et Wa).

La figure suivante illustre le phénomène.

V é

a

a sans fil énergie

avec fil

c

W W a

W c

W c

Figure 5: Énergies des niveaux électroniques.

Lorsqu’on relie les deux par un fil, les niveaux de Fermi doivent coïncider et, dans le casWc< Wa, cela se réalise par le passage d’électrons de la cathode à l’anode. La cathode devient donc chargée positivement par rapport à l’anode. Un électron qui serait éjecté de la cathode et qui serait libre entre les deux plaques serait accéléré vers la cathode. Notez que la figure précédente représente l’énergie des niveaux électroniques et non pas le potentiel électrique. Maintenant plaçons une pile entre la cathode et l’anode et regardons les deux situations possibles : on favorise le passage des électrons vers l’anode ou l’on repousse les électrons qui tentent de se rendre à l’anode.

Cas no 1 : On favorise le passage des électrons vers l’anode.

V

-V

V

V'

0 é

c a

c

niveaux de Fermi

φ

φ

Figure6: Niveaux d’énergie en présence d’un potentiel appliqué.

Notez queV⁰ est le potentiel que vous réglez à l’aide de la source de tension, celui-ci est 2.5

PHQ360 Effet Photoélectrique

différent de celui que voit l’électron, soit V. Comme le travail pour parcourir une boucle complète d’un circuit est nul, on peut écrire l’équation suivante :

−eφ_c−eV⁰+eφ_a+eV = 0 (4) qui permet d’écrire :

V =V⁰−(φ_a−φ_c) (5)

Cas no 2 : On repousse tous les électrons qui tentent de se rendre à l’anode.

V V

-V 0

V'

V' é

a

0

0 0

0

c

c

niveaux de Fermi

φ

φ_a

Figure7: Niveaux d’énergie en présence d’un potentiel appliqué.

Cette fois, la loi de Kirchhoff nous donne :

eφc+eV₀−eφa−eV₀⁰= 0 (6) d’où :

V₀=V₀⁰+ (φa−φc) (7) e|V₀|= 1

2mv² =hµ−eφ_c (8)

En combinant les équations (7) et (8), on trouve :

V₀⁰= (h/e)ν−φa (9)

Un graphique de la tension d’arrêt appliquée |V₀⁰|en fonction de la fréquence de la lumière incidente aura une pente de h/eet une ordonnée à l’origine égale autravail d’extraction de l’anode Wa divisé par e.

Note : C’est bien le potentiel d’extraction de l’anode qui apparaît dans l’équation finale même si les électrons sont éjectés de la cathode. C’est le fait de devoir les récolter avec une anode fait d’un métal différent de la cathode qui nous conduit à ce résultat. Notez que vous contrôlez uniquement la tension V⁰ avec la source de tension et non la tensionV.

2.6

3 Partie Expérimentale

La figure ci-dessous présente un schéma du montage expérimental :

monochromateur

lentille

R=1.2MΩ

source lumineuse

V

c _a

I

Figure 8: Montage expérimental

Il se compose d’un photodétecteur, d’un monochromateur, d’une source lumineuse, d’un bloc d’alimentation et d’un picoampèremètre. Le photodétecteur provient de la compagnie Leybold.Il possède une photo-cathode en Potassium (φK = 2.3 eV) déposée sur une couche d’oxyde d’argent. Ce n’est pas facile de connaître précisément le travail d’extraction pour arracher un électron car la surface de la cathode car cette dernière capte les gaz résiduels dans le tube à vide lors de sa construction. Nous ne sommes donc jamais dans le cas idéal. L’anode en forme d’anneau est fait de d’un allige platine-rhodium (φ_P = 5.7 eV).

Les constituants de l’anode et de la cathode peuvent se retrouver sur l’une ou l’autre des surfarces lors de la fabrication du tube. De plus, la surface de la cathode n’est pas homogène.

La zone éclairée de la photo-cathode doit donc rester la même pour de meilleurs résultats.

3.1 Partie I : Réalisation du montage

1. Reliez l’anode du détecteur à une extrémité de la résistance de 1.2 MΩ et l’autre extrémité à l’ampèremètre. Cette résistance sert uniquement à éviter un change- ment d’impédance de l’ampèremètre lors d’un changement d’échelle de ce dernier.

Sa présence n’affectera en rien la valeur mesurée du potentiel d’arrêt.

2. Reliez la sortie analogique de la carte USB à la cathode du détecteur. Cette sortie servira à générer une rampe de tension variant entre -5 et +5V qui sera appliquée entre la cathode et l’anode. Ne jamais court-circuiter cette sortie.

3.2 Partie II : Lampe au mercure

ATTENTION ! Ne jamais regarder la lumière émise par la lampe directement car il y a beaucoup d’ultraviolet d’émis par cette source.

1. La lampe au mercure possède plus d’une centaine de longueurs d’ondes. On utilisera 5 raies intenses pour nos mesures : (3650 ˚A, 4046 ˚A, 4358 ˚A, 5460 ˚A, 5790 ˚A). Fermez l’obturateur du détecteur et dévissez ce dernier pour le séparer du monochromateur.

Focalisez le faisceau de la lampe sur l’entrée du monochromateur. Faites une obser- vation visuelle de ces 5 raies à la sortie du monochromateur (gardez une distance

2.7

PHQ360 Effet Photoélectrique

Laser Puissance (mW) Luntees obligatoires

405 nm 4 non

447 nm 4 non

532 nm 4 non

594 nm 10 bleues

635 nm 4 non

Tableau 2: Raies lasers disponibles.

de 30 cm entre votre œil et la sortie du monochromateur). Replacez le détecteur à sortie du monochromateur et ouvrez l’obturateur.

2. Utilisez la raie verte (5460 ˚A,) pour tracer trois courbes de I vs V en variant l’in- tensité incidente à l’aide de filtres neutres. Discutez des résultats obtenus. Pour vous positionner sur la raie, fixez la tension à 5V et observez le courant au picoampère- mètre tout en tournant le sélecteur de longueur d’onde du monochromateur.

3. Déterminez le potentiel d’arrêt pour les 5 longueurs d’ondes (3650 ˚A, 4046 ˚A, 4358 ˚A, 5460 ˚A, 5790 ˚A) de la lampe au mercure.

4. Déterminez le potentiel d’arrêt |V₀⁰|pour les raies lasers suivantes : 4050 ˚A, 4470 ˚A, 5320 ˚A, 5941 ˚A, 6350 ˚A.

5. A l’aide des potentiels d’arrêt obtenus avec la lampe au Hg et les différents lasers, déterminez la constante de Planckh. Estimez le travail d’extractionWaet comparez- le avec les valeurs du tableau suivant.

Important : Il n’est pas facile d’évaluer le potentiel d’arrêt sur vos courbes expéri- mentales. Discutez avec le moniteur du choix d’un critère "raisonnable"

qui permet une détermination systématique du potentiel d’arrêt.

métal W0(eV) Pt 5.12-5.93 Ag 4.26-4.73

K 2.3

Li 2.9

Cs 2.14

Tableau 1: Potentiels d’arrêt de divers métaux.

Note : Certains lasers utilisés sont assez puissants (> 5 mW) et peuvent causer des dommages permanents aux yeux si vous regardez le faisceau direct durant une fraction de seconde. Respectez les consignes de sécurité du moniteur afin de prévenir les accidents.

Attention :

— Manipulez avec soins les composantes optiques.

— Évitez de toucher les surfaces optiques avec les doigts (en particulier les extrémités de la fibre).

2.8

—

Références

[1] Melissinos A. C. Experiments in modern physics. Academic Press Inc, 1966.

[2] Eisberg R. and Resnick R. Quantum physics of Atoms, Molecules, Solids, Nuclei, and Particles. John Wiley & Sons, 1974.

2.9

1 Introduction

Depuis l’avènement des micro-ordinateurs, il est impératif de pouvoir contrôler les appa- reils de mesure du laboratoire à l’aide d’un programme informatique. Ce qu’il faut, c’est une interface et un langage de programmation. En principe, tous les langages de programmation peuvent être utilisés pour communiquer avec un appareil mais certains sont plus flexibles que d’autres pour accomplir cette tâche. Nous verrons dans cette expérience comment le langage Labview est particulièrement bien adapté pour communiquer avec des appareils de mesure. L’interface utilisée sera la GPIB (General purpose interface bus).

2 Le langage Labview

C’est le moniteur qui vous donnera une introduction au langage Labview. Vous aurez environ 3 heures de cours et vous disposerez du reste du temps pour écrire un programme.

Vous avez au total deux semaines pour réaliser votre programme.

3 Programme d’acquisition de données

Vous allez simuler une expérience où l’on veut prendre la mesure d’un voltage en fonction du temps. Les caractéristiques du programme sont les suivantes :

— La durée de l’acquisition peut être sélectionnée.

— La fréquence d’acquisition est de 1 donnée par seconde.

— Un bouton permet de débuter l’acquisition et de l’arrêter avant la fin de la durée prévue.

— Un graphique X-Y montre la courbe obtenue en temps réel.

— Un bouton permet d’enregistrer les données à la fin de l’acquisition.

— Un bouton permet de lire un fichier de données et de les afficher sur le graphique X-Y.

Votre interface visuelle devrait ressembler à ceci :

PHQ360 Programmation Labview

Figure1: Interface visuelle.

4 Évaluation

— Vous ne remettez pas de rapport, seulement le programme.

— Vous serez évalués sur la qualité, la fonctionnalité et l’efficacité de votre programme.

— Ce qui est demandé est le «minimum » que vous devez produire. Labview renferme une foule d’options que vous pouvez explorer et vous devriez pouvoir ajouter quelques options supplémentaires à votre travail. Le moniteur vous donnera des suggestions pertinentes pour améliorer votre travail.

— Les programmes sont évalués à la fin de la session le même jour. C’est une évaluation relative. Le meilleur programme aura la meilleure note. Si vous avez répondu aux exigences minimales, vous aurez une note de 14/20.

5 Bibliographie

Il n’y a pas de livre de référence pour apprendre le langage Labview. Ce dernier s’apprend à partir d’exemples contenu dans le menu d’Aide du logiciel.

mars 2014

3.2

Sécurité : Le fonctionnement du système de pompage vous sera expliqué par le moniteur. Attendez celui-ci avant de toucher aux valves du système. Il ne faut jamais fermer avec force les valves à vide.

1 Introduction

« Au début, très peu de gens croyaient à l’existence de ces corps plus petits que les atomes. Un physicien distingué m’a même dit, après avoir écouté ma conférence à la Royal Institution, qu’il pensait que je m’étais payé leur tête. »

J.J. Thomson C’est en 1897 que Joseph John Thomson au laboratoire Cavendish à l’Université de Cambridge réussi à mesurer le rapport e/m de l’électron, confirmant ainsi l’existence de cette particule élémentaire. Son existence avait été postulée pour expliquer le comportement de l’électricité mais on ne s’attendait pas à trouver une si petite particule. Cela révolutionna notre conception du monde atomique. On venait donc de comprendre que les fameux rayons cathodiques que les gens étudiaient, était en fait constitués d’électrons. Comme la charge de l’électron est mesurable expérimentalement, on peut donc en déduire sa masse, qui est très difficile à mesurer directement. Selon l’électrodynamique classique, deux particules ayant le même rapport charge sur masse suivent dans le vide une trajectoire identique lorsqu’elles sont soumises aux mêmes champs électriques et magnétiques.

2 Théorie

2.1 Mouvement d’un électron dans un champ magnétique

Nous étudions d’abord le mouvement d’un électron dans un champ magnétique seul.

Nous utilisons ici les unités MKSA. En général, un électron dans des champs électrique et magnétique ayant une vitesse vsubit une force. Il s’agit de la force de Lorentz qui s’écrit :

F=q[E+v×B] (1)

où

q:−e la charge de l’électron (en Coulomb) E le champ électrique (que l’on suppose nul) B le champ magnétique (en Tesla)

v la vitesse de l’électron (en m/sec)

PHQ360 Rapport e/m

Pour la géométrie de l’expérience,v est perpendiculaire à B et donc la grandeur de la force est :

F =evB (2)

La direction de cette force se trouve à l’aide de la règle de la main droite. Sans champ électrique, à cause du produit vectoriel, la force est perpendiculaire à la vitesse et donc ne change pas la grandeur de la vitesse. L’électron décrit donc un cercle de rayonr(en mètre).

D’après la mécanique, la force qui retient une particule sur un cercle est la force centripète : Fc= mv²

r (3)

En posant F =F_c, on trouve :

mv²

r =evB (4)

Si l’électron est accéléré (entre le filament et la fente) par une différence de potentielV, son énergie cinétique est donnée par ^mv₂² =eV. En éliminantv on obtient :

e

m = 2V

r²B² [M KSA] (5)

2.2 Mouvement avec champs électrique et magnétique Supposons la configuration suivante :

x y

E B z

filament

collecteur

Figure 1: Trajectoire de l’électron dans des champs électrique et magnétique.

La force de Lorentz est :

F=q(E+v×B) Pour notre géométrie :

B = −B₀e_z v = vxex+vyey

E = E0ey

4.2

Les vecteurs e_x,e_y ete_z sont des vecteurs unitaires dans les directionx,y etz. La force de Lorentz comprend deux composantes :

selonex Fx =−qv_yB0

seloney Fy =qE₀+qvxB₀

Avec F=ma, où m=masse de l’électron, on obtient : mdvx

dt =−qv_yB₀ (6)

mdvy

dt = +qE₀+qvxB₀ (7)

Il s’agit donc de deux équations différentielles couplées qu’il faut chercher à résoudre. Por- tant (6) dans (7) que l’on a au préalable dérivée, il vient :

d²v_y d²t =−

qB₀ m

2

v_y (8)

Cette dernière équation est de la forme :^d_d²2^vt^y +ω²v_y = 0 ou` ω = ^|q|B_m⁰. La solution peut s’écrire :

vy =asinωt+bcosωt (9) avec aet bdes constantes. Choisissons t= 0, le temps où l’électron sort de la fente située au-dessus du filament. Sa vitesse verticale vy = v0 et vx = 0. Par un raisonnement sur l’énergie de l’électron, on obtient facilementv₀ =^q2qV_m oùV est la tension entre le filament et la masse (commeq=−e,V doit être négatif). Portant t= 0 dans (9), on trouveb=v0. D’autre part (7) devient :

v_x= m qB₀

dv dt −E₀

B₀ (10)

En insérant (9) dans (10) avecρ0= ^E_B⁰₀ v_x = m

qB₀ (aωcosωt−bωsinωt)−ρ₀ (11) à t= 0 on a :

vx = 0 = maω

qB₀ −ρ0 ce qui donne : a= qB0ρ0

mω

Les composantes de la vitesse s’expriment donc sous la forme :

vx =v0sinωt+ρ0(cosωt−1) (12) v_y = E₀q

mω sinωt+v₀cosωt (13)

4.3

PHQ360 Rapport e/m

Intégrant (12) par rapport au temps : x=−v₀

ω cosωt+ρ0

sinωt ω −t

+C2 (14) Même chose pour (13) :

y= +ρ₀

ω cosωt+v₀

ω sinωt+C₁ (15)

où C₁ et C₂ sont des constantes. Les valeurs de ces constantes sont déterminées par la condition initiale àt= 0,x= 0 ety= 0. Cela donne :

C2 = v₀

ω C1 =−ρ₀ ω La solution finale est donc :

x = v₀

ω [1−cosωt] +ρ₀

sinωt ω −t

(16)

y= ρ₀

ω [cosωt−1] + v₀

ω sinωt (17)

Il est évident que les coordonnées de l’électron à son arrivée à la fente au-dessus du collecteur sontx= 2r,y= 0 où 2r représente la distance entre les deux fentes. Cherchons le temps d’envoltnécessaire pour réaliser ce parcours. À la fente située au-dessus du collecteur, on a :

2r= v0

ω [1−cosωt] +ρ0

ω [sinωt−ωt] (18) 0 = ρ₀

ω [cosωt−1] + v₀

ω sinωt (19)

De l’équation (19) on obtient :

ω ρ

t v

2

Figure 2: Relation entrev₀ etρ₀ sin (ωt/2)

cos (ωt/2) = v₀

ρ0 (20)

4.4

On réécrit (18) en termes deωt/2 et on calcule le temps d’envol : 2r = v₀

ω

1−cos²ωt

2 + sin² ωt 2

+ρ₀ ω

2 sinωt 2 cosωt

2 −ωt

r = v₀

ω sin²ωt 2 +ρ₀

ω

sinωt 2 cosωt

2 −ωt

= v0

ω

v²₀ v₀²+ρ²₀

! +ρ0

ω

v0ρ0

v²₀+ρ²₀ −ωt

= v₀ ω − ρ₀

ω ωt

2 d’où :

ωt 2 = 1

ρ0 (v0−ωr) (21)

En insérant ce résultat dans (20), on trouve : tan(v₀−ωr)

ρ0 = v₀

ρ0 (22)

une équation transcendante avec e/m, la quantité recherchée (la seule inconnue de l’équa- tion) car :

v₀=

s2eV acc

m ρ₀ = E0

B₀ ω= eB0

m

Il est donc possible de déterminer le rapport e/mà partir d’une seule expérience.

Approximation :

Dans le cas oùv₀ρ₀ , i.e. ωt/2 légèrement inférieur à π/2, ou encore : ^(v0−ωr)_ρ0 ≈ ^π₂ on peut remplacerωtparπ−εdans l’équation (18), ce qui donne :

2r = v0

ω (1−cos(π−ε)) +ρ0

sin (π−ε)

ω −π−ε ω

2r = v0

ω (1 + cosε) +ρ0sinε

ω − ρ0(π−ε) ω On remplace alors v₀=^q2eV_m^acc etω = ^eB_m⁰

En écrivant α= ^{π−ε−sin}_1+cosε^ε on trouve :

−V_acc= 2r² (1 + cosε)²

e

mB₀²+ 2rα

(1 + cosε)E₀+mα² 2e

E₀ Bo

2

Dans l’hypothèse (approximation) oùωt=π, i.e.ε= 0, cette expression se réduit à :

|V_acc|= e m

r²

2B₀²+π

2E0r+π² 8

m e

E₀²

B²₀ (23)

4.5

PHQ360 Rapport e/m

3 Montage expérimental

3.1 Enceinte

Le montage est constitué d’une enceinte sous vide dans laquelle est inséré un bras conte- nant le dispositif permettant de déterminer le rapport e/m. Ce bras supporte deux fentes.

Un filament émet des électrons qui sont accélérés vers la première fente et un collecteur récolte les électrons qui passent au travers la seconde fente.

I

haute tension

chauffage du filament

filament

isolateur isolateur

collecteur métallique plaque (haute tension)

plaque déflectrice

fente B fente A

picoampèremètre

I

F F

H

H.T. Vac

Figure 3: Enceinte où circulent les électrons.

On chauffe le filament avec un courant de l’ordre de quatre ampères. Ce filament émet des électrons dans toutes les directions. La haute tension est branchée à une des bornes du filament ainsi qu’à une plaque métallique située juste en-dessous de ce dernier. La plaque contenant les deux fentes est mise à la masse. Deux bobines situées à l’extérieur de l’en- ceinte génèrent un champ magnétique perpendiculairement au bras. Ce champ fait parcourir une trajectoire courbe aux électrons et leur permet de traverser la fente B. Les électrons atteignent donc le collecteur qui est relié au picoampèremètre. Il en résulte un courant élec- trique que l’on cherche à mesurer en fonction du voltage d’accélération entre le filament et la plaque contenant les fentes. Une plaque située au-dessus de la trajectoire des électrons et que l’on peut porter à différents potentiels relativement à la masse permet de générer un champ électrique vertical (perpendiculairement au bras et au champ magnétique). On peut donc avec ce montage étudier le mouvement des électrons en présence de champs électrique et magnétique croisés.

3.2 Système de pompage

Pour permettre aux électrons de décrire une trajectoire quelconque, il faut tout d’abord faire le vide car sans vide un électron subit trop de collisions avec les molécules du milieu

4.6

pour réussir à parcourir une trajectoire complète. Pour obtenir ce vide, on utilise un système de pompage composé de deux pompes :

1. pompe mécanique

Cette pompe produit un vide primaire. Elle abaisse la pression dans l’enceinte de la pression atmosphérique jusqu’à environ 10^-3 Torr (1 Torr = 1mm de mercure). La mesure de la pression est alors faite par une jauge opérant dans cet intervalle de pression (jauge Pirani).

Question : Comment fonctionne ce type de jauge ? 2. pompe turbomoléculaire

Une fois le vide primaire obtenu, la pompe turbomoléculaire est utilisée en série avec la pompe mécanique. On peut à l’aide de ce type de pompe obtenir un vide de l’ordre de 10^-6 Torr. On mesure le vide à l’aide d’un autre type de jauge (jauge Penning).

Question : Comment fonctionne cet autre type de jauge ?

Trois valves permettent les combinaisons : enceinte-pompe mécanique, enceinte-pompe turbo- pompe mécanique. Partant de la pression atmosphérique, il faut premièrement faire un vide primaire à l’aide de la pompe mécanique seule et ensuite utiliser la pompe tur- bomoléculaire. Il ne faut jamais opérer la pompe turbo directement sur l’atmosphère. Une telle erreur causerait des dommages permanents à l’appareillage.

Note : Le fonctionnement du système de pompage vous sera expliqué par le moniteur. Attendez celui-ci avant de toucher aux valves du système. Il ne faut jamais fermer avec force les valves à vide.

4 Partie expérimentale

4.1 Partie I : Champ électrique nul

On utilisera le résultat donné par l’équation (23) (ou celle de la section 2.1) en posant E0 = 0.

1. Pour chacune des valeurs deB₀(100 <I_bobines< 500 mA), obtenez la tension d’accé- lérationVaccpour laquelleIcollest maximal. Prenez soin de mette la plaque déflectrice à la masse avec le bouchon métallique fourni.

2. Tracez le graphique de Vacc =f^h(I_bobines)²ⁱ. La pente donne : ^r2M₂ ²_m^e où M est la constante de proportionnalité entre B0 etI_bobines.

3. Obtenez M par calcul (réf. Berkeley vol. 2) en utilisant les paramètres des bobines donnés en annexe. Mesurez le champ dans l’enceinte en fonction du courant I dans les bobines à l’aide du gaussmètre. Comparez la valeur de M avec celle calculée.

4. Évaluez e/men utilisant la valeur expérimentale de M.

4.7

PHQ360 Rapport e/m

4.2 Partie II : Champ électrique non-nul

1. Appliquez une tension de -30 V sur la plaque déflectrice et refaites l’étape 1 de la partie I.

2. Vérifiez numériquement l’approximation v0 ρ0 dans ces conditions. À partir de votre graphique, discutez de l’importance du terme en_B^E022

0 de l’équation (22). Calculez e/m et l’ordonnée à l’origine. Discutez.

4.3 Partie III : Valiidité de l’approximation

1. PourI_bob= 250 mA, obtenez la tension d’accélération pour laquelleI_coll est maximal en appliquant une tension sur la plaque déflectrice variant entre 0 et -110 volts.

2. En utilisant la valeur acceptée de e/m, tracez le graphique de arctan_ρ^v0₀ vs Eo. Discutez de la validité de l’approximationv0 ρ0.

3. Obtenez la valeur de e/m en résolvant l’équation transcendante (22) pour quelques points expérimentaux (Vplaque= -10 V, -50 V, -110 V).

Références

[1] Purcell A. M. Gutmann C. and Lallemand P. Électricité et magnétisme (Berkeley : cours de physique, volume 2). Librairie Armand Colin, 1973.

mars 2014

4.8

Annexe A

a

a ₁ a ₂

e ₂

b ₂ b' ₂

e ₁

b ₁ b' ₁

Bobines d'Helmoltz

(700 tours/bobine)

FigureA-1: Bobines d’Helmoltz a = 99.5 ± 0.3 mm

a1 = 22.6 ± 0.3 mm a2 = 22.2 ± 0.3 mm b1 = 84 ± 2 mm b2 = 84 ± 2 mm b’1= 105.1 ± 0.3 mm b’2= 105.5 ± 0.3 mm e1 = 21.1 ± 0.3 mm e2 = 21.5 ± 0.3 mm

Tableau A-1: Dimensions des bobines.

4.9