Sécurité : Vous utiliserez de l'azote liquide et de l'eau bouillante pour cette expé- rience. Vous devez apporter vos lunettes de sécurité et porter les gants disponibles au laboratoire. Utiliser un contenant de styromousse au lieu des thermos en verre pour contenir l'azote liquide. Porter votre sarrau . Il vous faut des souliers fermés au deux bouts. Suivre les consignes de votre moniteur qui lui possède une formation relative à l'utilisation de matières cryogéniques.
1 Introduction
La thermodynamique et la physique statistique sont des théories consacrées à l'analyse des systèmes comprenant un grand nombre de particules. On décrit l'état d'un système à l'aide de variables macroscopiques dites variables thermodynamiques. La physique statistique aborde le sujet à partir des états quantiques individuels des particules. Pour une large part, on se limite à l'état d'équilibre.
Parmi les variables macroscopiques, considérons la population des particules par unité de volume. An de visualiser plus aisément ce sujet, utilisons l'exemple simple d'une enceinte contenant un certain nombre de molécules de gaz, tel qu'illustré dans la gure 1. Séparons mentalement l'enceinte en deux parties égales.
Figure 1: Schéma d'un gaz dans une enceinte.
À un moment précis, on compte le nombre de molécules dans les parties gauche et droite de l'enceinte. Dans la situation illustrée, ces nombres ne sont pas égaux : il y a plus de molécules à droite qu'à gauche. À un autre moment, la situation serait diérente, et il pourrait y avoir plus de molécules à gauche qu'à droite. Évidemment, une moyenne eectuée sur un grand nombre de lectures montrerait que la distribution de molécules est uniforme. L'écart entre la valeur moyenne et la valeur instantanée d'une quantité constitue ce qu'on appelle la uctuation de cette quantité.
Supposons maintenant que la gure précédente représente une résistance électrique, les molé- cules sont maintenant des électrons libres, c'est-à-dire des électrons animés d'un mouvement désordonné à l'intérieur de la résistance. Si, à un moment donné, plus d'électrons se trouvent
d'un côté, il apparait une tension aux bornes de la résistance car les électrons sont chargés (et les ions sont xes). À cause de ce phénomène, on s'attend donc à pouvoir mesurer des uctuations de tension aux bornes de la résistance, bien que la valeur moyenne de la tension soit nulle. Ces uctuations aléatoires de tension constituent ce qui est appelé le bruit ther- mique (ou bruit de diusion) car le mouvement désordonné des électrons dans la résistance est essentiellement d'origine thermique (énergie cinétique dekBT /2pour chaque degré de li- berté). Il existe aussi d'autres sources de bruit dans les circuits et composants électroniques.
Le bruit de grenaille shot noise est associé aux uctuations dans le nombre total de por- teurs de charge à l'intérieur d'un dispositif. Le bruit de génération-recombinaison intervient lorsque des paires électron-trou sont générées ou annihilées aléatoirement dans les zones de charge d'espace présentes dans certains composants électroniques. Enn, une autre sorte de bruit possède la particularité d'avoir une intensité variant en fonction de la fréquence en f−α, avecα ≈1, et est pour cette raison appelé bruit en1/f ou icker noise .
2 Théorie
2.1 Bruit thermique
Le bruit thermique est ce voltagev(t)engendré dans une résistance et uctuant aléatoirement dans le temps. Les composantes de Fourier de ce voltage vn(ω) couvrent une grande plage de fréquences et leur amplitude est pratiquement indépendante de ω (pour cette raison, on parle de bruit blanc , par analogie avec la lumière blanche, qui contient une grande gamme de composantes spectrales).
I
R V (t)
v (t)
C a
b
Figure 2: Circuit équivalent d'une résistance.
Pour décrire la tension V(t) mesurée aux bornes de la résistance et associée au bruit thermique, on peut utiliser le circuit équi- valent montré dans la gure 2, dans lequel on a tenu compte du fait qu'une résistance réelle possède toujours une capacité para- site dont la valeur dépend notamment de la distance entre ses bornes. Le circuit équi- valent comprend donc une résistance idéale R, une capacité C et une source de tension aléatoire v(t), celle-ci représentant la uc- tuation de tension associée au mouvement désordonné des électrons.
Par une simple analyse de ce circuit, on obtient les relations suivantes entre l'impé- danceZdu circuit, la tension mesuréeV(ω), et les uctuations de tensionvet de courant I :
v(ω) =Z(ω)I(ω) et V (ω) = −j ωC I(ω) Les éléments sont en série donc l'impédance totale est :
Z =R−j/ωC où j=√
−1 Par conséquent :
V (ω) = −j/ωC
R−j/ωC v(ω) (1)
La tension peut varier extrêmement rapidement dans le temps et la moyenne de sa valeur est nulle. Ainsi, on caractérise plutôt l'amplitude des uctuations de tension par une mesure de la racine carrée de la moyenne dans le temps du carré de la tension de bruit,p
hV2(t)i(ou valeur rms). Cette dernière valeur correspond tout simplement à la lecture d'un multimètre qui mesure une tension en mode CA. Dans le domaine des fréquences, on s'intéressera donc au carré de l'amplitude des composantes spectrales. Il est utile de dénir une nouvelle quantité appelée la densité spectrale de bruit,G(f), qui est égale au carré de l'amplitude de la composante spectrale de tension à la fréquence f, par unité de fréquence. Cette densité spectrale répond à l'égalité suivante :
v2(t)
= ˆ ∞
0
G(f)df = 1 2π
ˆ ∞ 0
G(ω)dω
À partir de (1), pour la composante spectrale de fréquence angulaireω, on a : V2(ω) =V ×V∗ = v2(ω)
1 + (ωRC)2 (2)
En tenant compte des deux dernières relations, on peut montrer que : V2(t)
= 1 2π
ˆ ∞ 0
G(ω) 1 + (ωRC)2dω
L'eet de la température s'introduit en faisant appel aux résultats de la physique statistique.
Notre résistance peut être considérée comme un système à un degré de liberté (la circulation du courant le long de l'axe de la résistance). Selon le théorème d'équipartition de l'énergie, un système à un degré de liberté accumule en moyenne une énergie de 12kBT, où kB est la constante de Boltzmann. Cette énergie se retrouve dans la capacité C. Donc :
1
2kBT = 1 2C
V2
= 1 4πC
ˆ ∞ 0
G(ω)
1 + (ωRC)2dω (3)
Dans le contexte d'un bruit blanc, G(ω) est égale à une constante indépendante de ω. Par conséquent, l'intégrale s'eectue aisément. Sachant que :
ˆ ∞ 0
dx 1 +x2 =
ˆ π/2
0
dθ = π 2 En posantx= tanθon obtient :
1
2kBT = 1
2CV2 = 1 2C G
4RC = 1 2 · G
ce que l'on écrit plus communément sous la forme suivante, appelée formule de Nyquist :4R G= 4kBT R
La formule de Nyquist établit donc que la densité spectrale (en Volts2/Hertz) de bruit thermique est proportionnelle à la valeur de la résistance et à la température de mesure.
2.2 Amplication du bruit
Le bruit thermique génère une tension très faible, qui doit être ampliée pour être mesurée correctement. Pour cela, on utilise un amplicateur qui possède une bande passante centrée sur une fréquence f0 et un gain A(f) qui est fonction de la fréquence. En pratique, il faut bien entendu tenir compte du bruit généré par l'ampli lui-même. Voici le circuit équivalent nécessaire pour décrire la situation :
R
circuit équivalent de la résistance
circuit équivalent de l'amplificateur
A: amplificateur idéal sans bruit
VR
In
VS
Vi
Vo
γ
nC A
Figure 3: Schéma de la mesure du bruit.
γn : Source de tension décrivant le bruit en voltage produit par l'amplicateur.
In : Source de courant décrivant le bruit en courant de l'ampli- cateur.
2.2.1 Cas de l'ampli idéal
Dans le cas où l'ampli serait idéal (pas de sources de bruit en tension γn et en courantIn) alors le bruit amplié à la sortie serait donné par :
V02
= ˆ ∞
0
4kBT R A(f)2
df (4) On dénit la bande passe équivalente du bruit (ENBW : equivalent noise bandwitdth) par :
4f = ˆ ∞
0
A(f)2
A20 df (5)
où A0 est le gain de l'ampli à la fréquencef0 (généralement choisie comme la fréquence où le gain est maximal). Noter que seul le produit A204f possède une signication physique puisqu'il s'agit de la surface sous la courbe du gain au carré. Intégrer le gain au carré sur toutes les fréquences revient donc à multiplier A20 par la largeur en fréquence 4f. Cette
dénition de 4f permet de relier les signaux à l'entrée et à la sortie de l'ampli par la relation :
Vi2
= V02
A20 = 4kBT R4f (6)
Remarque : La bande passante d'un ampli est dénie comme la plage en fréquence pour laquelle|A(f)|2 ≥1/2 de la valeur maximale de |A|2. Cette bande passante n'est généralement pas égale à4f.
2.2.2 Cas de l'ampli non-idéal
Dans le schéma précédent, on reconnait trois sources de bruit distinctes : celle associée à la résistance, à la source de tension de l'ampli et à la source de courant de l'ampli.
On utilise le théorème de superposition qui dit queVS =VC(1)+VC(2) où :
VC(1)ouVS(VR): tension produite par la source VR lorsque la source I est ouverte et γn
court-circuitée.
VC(2)ouVS(In) : tension produite par la source de courant (VRetγnsont court-circuitées).
Ce qui donne :
Vi(t) = VS(t) +γn(t)
= VS(VR)(t) +VS(In)(t) +γn(t) (7) et
Vi2(t)
= D
VS(V2
R)(t) E
+ D
VS(I2 n)(t) E
+ γ2n(t)
(8)
Vous remarquerez que les moyennes des produits des termes croisés sont nulles car il n'y a aucune corrélation entre ces sources de bruit.
Comme on peut toujours écrire que la tension de sortie (ampliée) vaut : V02(t)
= A20
Vi2(t)
, on peut écrire que le bruit à l'entrée de l'amplicateur s'exprime comme la somme de trois contributions (si l'on connait les densités spectrales des diérentes sources) :
1. bruit thermique : D VS(V2
R)(t) E
=´∞ 0
4kBT R|A(f)|2 A20 df 2. bruit en tension de l'amplicateur (ramené à l'entrée) :
γn2(t)
=´∞ 0
hγ
n(f)A(f) A0
i2
df 3. bruit en courant de l'amplicateur (ramené à l'entrée) :
D
VS(I2 n)(t) E
=R2 In2(t)
=R2 ˆ ∞
0
In(f)A(f) A0
2
df
Note : pour la troisième contribution, on a supposé que le courant de la source In traversant le condensateur est négligeable car nous sommes dans le cas où ZC = ωC1 R−→2πf RC 1−→f 2πRC1 . Ceci est vrai car :
40kHz 2π·101kΩ·1pf = 102π8
Le bruit amplié peut donc nalement s'écrire comme : V02(t)
'A20 γn2(t)
+ 4kBT RA204f +A20R2 In2(t)
(9) Il est facile de mesurer A20
γn2(t)
en faisant simplement R= 0. La mise en évidence de la contribution du bruit au courant de l'ampli peut s'avérer plus problématique. à partir de vos résultats, vous aurez à établir si le dernier terme de la relation ci-dessus constitue une contribution signicative au bruit mesuré.
2.3 Bruit de grenaille (shot noise)
Le bruit de grenaille provient du fait que le courant électrique n'est pas quelque chose de continu car il résulte de porteurs de charge élémentaires (généralement des électrons). Ce bruit existe aussi pour un ux lumineux constitué de photons. Nous allons voir plus loin que le bruit de grenaille va nous permettre de déterminer avec précision la charge élémentaire de l'électron au même titre que le bruit de Jonhson permet de déterminer la constante de Boltzmann. La dérivation complète (formelle) de l'équation régissant le bruit de grenaille est assez longue[2]. Nous nous contenterons donc d'en donner une dérivation non-rigoureuse.
Considérons un tube sous vide contenant une photo-cathode et une anode. On éclaire la photo-cathode à l'aide d'une lampe à lament de tungstène. Cette lampe peut, à toutes ns pratiques, être comparée à un corps noir. Les photons émis arrivent donc sur la photo- cathode à des temps aléatoires. Un électron sera arraché à chaque fois (plutôt avec une certaine probabilité) qu'un photon d'énergie susante atteindra la photo-cathode.
V
c a
I
Figure 4: Photodétecteur sous vide.
Le courant moyen peut être mesuré grâce à un picoampèremètre. Pour un potentiel V trop faible, une charge d'espace peut se créer entre l'anode et la cathode empêchant certains électrons d'être collectés à l'anode. En xantV à une valeur élevée(∼45volts), on collectera
tous les électrons émis. Dans ces conditions, l'émission (et la capture) de chaque électron est un processus statistique indépendant. Le courant moyen mesuré ne dépend que de l'intensité lumineuse incidente et est indépendant de la tension de polarisation.
C'est Schottky, en 1918, qui réalisa que puisque le courant est constitué d'électrons discrets, alors il doit y avoir des uctuations autour du courant moyen. On peut comparer la situa- tion à la pluie qui tombe sur le capot d'une voiture. Il pensa que comme l'amplitude des uctuations dépend de la grandeur de la charge e, alors la mesure des uctuations devrait permettre la détermination de e. Plusieurs méthodes[5, 4] ont été élaborées pour mesurer ces uctuations et donnent une bonne précision sur la charge élémentaire e. Dans notre cas, on utilisera un pico-ampèremètre pour la mesure du courant moyen et un amplicateur synchrone (Lock-in) pour la mesure des uctuations.
Essayons maintenant d'obtenir une équation (de façon non formelle) reliant les uctuations de courant au courant moyen pour le photodétecteur fortement polarisé de la gure 4.
Supposons que l'on mesure maintes fois le nombre d'électrons émis de la cathode durant un intervalle de temps ∆t. Le nombre obtenu pour l'intervalle iest Ni. NotonsImoy le courant continu moyen obtenu sur un temps long comparé à ∆t. On peut donc écrire que le nombre moyen d'électrons émis durant un intervalle ∆t s'écrit :
Nmoy= (Imoy/e) ∆t (10)
Comme l'émission de chaque photon (détecté par le biais de l'éjection d'un électron) est un évènement statistiquement indépendant, on doit donc s'attendre à une distribution Poisson- nienne et donc la variance est égale à la moyenne :
N2
moy−(Nmoy)2=Nmoy (11)
en multipliant de chaque côté pare2/∆t2, on obtient : I2
moy−(Imoy)2=Imoye/∆t (12) La partie gauche de l'égalité (12) représente l'écart quadratique moyen des uctuations autour de du courant moyen. Donc,
h (∆I)2i
moy= (∆Irms)2 =Imoye/∆t (13) On peut voir à partir de l'équation (13) qu'on devrait donc être capable d'extraire la valeur de eà partir du courant moyen et de ses uctuations. Nous devons maintenant obtenir une équation dans le domaine des fréquences au lieu du temps. D'une façon tout à fait naturelle (mais non formelle), on peut introduire la plage de fréquences∆f = 1/2∆t, avec un facteur 2 provenant du fait qu'en électronique on raisonne en fréquences positives uniquement. On peut donc réécrire (13) sous la forme :
d h
(∆Irms)2 i
= 2Imoyedf (pour f τ−1) (14) dh
(∆Irms)2i
df = 2Imoye (15)
Sachant que le bruit mesuré à l'aide du Lock-in sera sur une plage de 1 Hz, on peut intégrer l'équation précédente pour nalement obtenir que :
(∆Irms)2 = 2Imoye (16)
Ici, τ représente le temps de vol de l'électron entre la cathode et l'anode. Si on veut que les électrons soit statistiquement indépendant les uns des autres, alors il ne faut pas qu'il y en ait deux qui volent en même temps. C'est ce qui impose cette restriction sur les fréquences. L'équation (14) est connue sous le nom de théorème de Schottky. Pour des fréquences beaucoup plus petites que l'inverse du temps de transit, le bruit est blanc : le bruit par intervalle de fréquence est indépendant de la fréquence.
Maintenant, comment fera-t-on pour mesurer ce bruit ? On pourrait utiliser la même tech- nique que celle proposée pour mesurer le bruit de Johnson : amplier le signal sur une certaine bande de fréquences et mesurer le gain du système dans cette bande pour na- lement retrouver le bruit recherché. Cela fonctionne mais l'utilisation d'un amplicateur synchrone pouvant lui-même mesurer le bruit est une alternative intéressante. Nous en par- lerons davantage dans la section expérimentale.
3 Partie expérimentale
3.1 Bruit de Johnson
L'instrumentation pour réaliser cette expérience est la suivante : Un pré-amplicateur.
Un amplicateur à ltre sélectif.
Un oscilloscope.
Un multimètre (Keithley 2000).
Un générateur de fréquence (Rigol DG1022).
Un atténuateur.
Un jeu de résistances de type lm métallique dont la valeur ne varie presque pas avec la température.
3.1.1 Partie I : Observation du bruit à l'oscilloscope
R pré-ampli ampli oscilloscope
Figure 5: Schéma du montage pour observer le bruit à l'oscilloscope.
Choisir une fréquence de 20kHz sur l'amplicateur. Ajuster le gain du pré-amplicateur à 200.
Utiliser la sonde dans laquelle se trouve une résistance de 200 kΩ.
Brancher directement la sonde au pré-ampli sans ajouter de câble coaxial.
Observer le signal à l'oscilloscope en variant la fréquence à l'amplicateur ainsi que la largeur de bande.
Plonger la résistance (la sonde) dans l'azote liquide et faire les mêmes observations.
Observer également le bruit pour R= 0.
Consigner vos observations dans votre rapport.
3.1.2 Partie II : Évaluation de A204f Ajuster le gain du pré-amplicateur à 200.
Choisir une fréquence de 20 kHz à l'amplicateur et une largeur de bande la plus faible possible (Q=100).
Prendre soin de ne pas modier ces derniers paramètres pour le reste de l'expérience.
Réaliser le circuit suivant :
pré-ampli ampli
Ve Vs
atténuateur oscillateur de
fréquence variable
voltmètre
Figure 6: Montage pour l'évaluation deA204f.
Utiliser une tension de 700 mVp-p sur le générateur de fonctions Rigol et relier sa sortie aux atténuateurs (tous ON) en série de façon à réduire l'amplitude à environ 2.25 mV an de ne pas saturer l'amplicateur à la fréquence de résonance.
Relier ensuite la sortie des atténuateurs à l'entrée du pré-amplicateur. La sortie de ce dernier doit être reliée à l'entrée de l'amplicateur dont la sortie est reliée au voltmètre Keitley 2000 (mode ACV).
An de mesurer correctement le gain, mesurer la tension d'entrée de du pré-amplicateur Ve à l'aide du voltmètre Keithley (ACV) qui donne une mesure RMS.
À l'aide du logiciel Ampli.exe (Labview), mesurer le voltage à la sortie de l'amplica- teurVs sur une large bande de fréquences autour de la fréquence de résonance(±10 kHz). Lorsque vous êtes loin de la résonance, prendre des mesures à tous les 200 Hz.
Lorsque la fréquence se situe à ±1 kHz de la résonance, prendre des mesures à tous les 25 Hz (vous devriez obtenir une belle courbe Lorentzienne). Alors :
A204f = ˆ ∞
0
VS
Ve 2
df (17)
Tracer un graphique de h
VS
Ve
i2
en fonction de f et évaluer la surface sous la courbe.
Vous pouvez utiliser Origin (Analysis-Mathematics-integrate) pour calculer cette sur- face. Vous devriez obtenir queA204f ≈1.1×109.
Note : Vérier que la valeur de Ve ne varie pratiquement pas en fonction de la fréquence. Si ce n'était pas le cas, il faudrait mesurer Ve et VS pour chaque fréquence.
3.1.3 Partie III : Bruit en fonction de la valeur de la résistance
Vérier qu'avec la résistance de 150kΩ vous obtenez bien un bruit d'environ 2 mV.
Si ce n'est pas le cas, l'amplicateur est peut être coincé. Il faut le faire vérier par le responsable.
Tracer un graphique du bruit en fonction de la résistance R. Pour cela, il faut pour chaque valeur de R, relever une série de lectures au multimètre et calculer la moyenne des carrés de ces lectures
V02
. Débuter les mesures avec la résistance la plus élevée et terminer avec la plus faible.
À partir de ce graphique, déterminer la valeur du bruit en tension de l'ampliA20 γn2 Selon vos résultats, pouvez-vous établir si le terme en A20R2 .
In2
dû au bruit en courant de l'ampli a une contribution signicative au bruit ?
À partir du graphique et des relations établies plus haut, faire une estimation de la constante de Boltzmann.
3.1.4 Partie IV : Bruit en fonction de la température Utiliser la sonde avec une résistance d'environ 39.2 kΩ.
Obtenir la moyenne du bruit (toujours avec les même f et ∆f) pour les quatre températures suivantes en commençant par la température de la pièce :
- l'azote liquide (77 K)
- la neige carbonique (194.5 K) - le mélange eau-glace
- la température de la pièce - l'eau bouillante
Faire un graphique permettant d'obtenir la constante de Boltzmann. Pour cela, vous aurez besoin d'évaluer la quantité A204f. Référez-vous à la Partie IV (ci-dessous) pour savoir comment procéder.
3.2 Bruit de grenaille
Pour mesurer le bruit de grenaille, on utilise un photodétecteur illuminé par une mini am- poule à lament. La cathode est polarisée par une tension de 45 volts permettant à chaque électron arraché d'atteindre l'anode.
V = 45 volts
I : pico-ampèremètre Keithley 485
∆I : Lock-In SRS-830 Photodétecteur RCA-929
0-9 volts
Lambda-LH127FM
Source Siglent Imax=0.3A
c a
I
∆I
Figure 7: Montage pour la mesure du bruit de grenaille.
La tension maximale (CC) que vous pouvez appliquer sur l'ampoule est d'environ 9 volts (source Siglent avec limiteur de courant réglé à 0.3 A). À cette tension, le courant collecté à l'anode est de l'ordre de 5µA. Pour la mesure des uctuations, on remplace le picoampè- remètre par le Lock-in (en mode X-noise/Y-noise).
3.2.1 Détermination de la charge électronique Régler le Lock-in selon les paramètres suivants :
display : X noise fréquence : 1.97 kHz input : I (106) dynamic reserve : normal time constant : 30 ms
lter : 24 dB/octave
échelle : 10µV/pA
couplage : AC
ground : ground
sync : o
ATTENTION : Ne jamais appliquer la tension de polarisation (45 volts) à l'entrée du Lock-in. Demander au moniteur de vérier votre circuit avant de polari- ser le photodétecteur.
Appliquer une tension de polarisation de 45 volts au photodétecteur. Attention ! La cathode doit être négative par rapport à la masse. Faire vérier votre branchement par le moniteur pour ne pas mettre le boitier du détecteur sous tension. Ce dernier doit absolument être à la masse.
Brancher le picoampèremètre dans le circuit et vérier que le photocourant obtenu varie bien entre 0 et environImax=5µA lorsque la tension appliquée à l'ampoule passe de 0 à 9 volts.
Pour des photocourants allant de 0 àImax, mesurer la valeur des uctuations à l'aide du Lock-in. Pour ce faire, brancher l'anode du photodédecteur au picoampèremètre et relever le courant moyen. Ensuite, relier l'anode du photodétecteur au Lock-in, attendre une minute. Démarrer l'acquisition de données à l'aide du logiciel (position : Lock-in), en demandant un temps d'acquisition de 100 secondes. Utiliser la valeur moyenne des uctuations donnée par le logiciel à la n de l'acquisition.
Tracer le graphique approprié permettant de déterminer la charge de l'électron.
En mode X-noise/Y-noise, que mesure le Lock-in et sur quelle plage (selon les para- mètres imposés plus haut) de fréquences (ENBW : equivalent noise bandwidth) ? Comment pouvez-vous vérier que le bruit obtenu est blanc ?
Justier chacun des paramètres du Lock-in plus haut.
Références
[1] Reif F. Fundamentals of Statistical and Thermal Physics. Waveland Press, 2009.
[2] Rice F. A frequency-domain derivation of shot-noise. Am. J. Phys., 84(1) :4451, 2016.
[3] Dutta P. & Horn P.M. Low-frequency uctuations in solids : 1/f noise. Reviews in modern physics, 53(3) :497516, July 1981.
[4] Spiegel D.R. & Helmer R.J. Shot-noise measurements of the electron charge : An un- dergraduate experiment. Am. J. Phys., 63(6) :554560, 1995.
[5] Kraftmakher Y. A shot-noise experiment with computer control and data acquisition.
Am. J. Phys., 73(10) :984986, 2005.
