Exercice 1 : caractéristiques statistiques du bruit thermique Soit

Exercice 1 : caractéristiques statistiques du bruit thermique

Soit X t( ) le bruit thermique produit aux bornes d’une résistance R, assimilé à un bruit blanc centré (moyenne nulle) et stationnaire. On pose S_x( )f 



_x² 8kTR sa densité spectrale de puissance, où k est la constante de Boltzmann et T la température en Kelvin. Ce bruit est mesuré à l’aide d’un voltmètre de réponse impulsionnelle h t( )e^tU t( ) où U t( 0) 1 et 0 sinon est la fonction de Heaviside.

a) Soit Y t( )



h u X t u du( ) (  ) la réponse du voltmètre ; démontrer que ( ) ( ) ( ) 2

y x

R







h u h u

 

du^. b) En déduire que

2

( ) | |

2

x

Ry   e ^{ }



  (processus d’Ornstein-Uhlenbeck)

c) Calculez la densité spectrale de puissance correspondante à l’aide du théorème de Wiener- Kintchine.

d) En supposant les constantes  et R connues, proposez une méthode pour mesurer la température T (il y en a plusieurs possible : justifiez en quoi celle que vous proposez est la meilleure possible, par exemple au sens des moindres carrés).

Exercice 2 : processus stochastique correspondant un spectre de puissance donné

Soit S_x( )f un spectre donné. On se propose de trouver un processus stochastique qui lui correspond.

a) Soit X t( , ) ae^{j( ) t} un processus stochastique complexe ( j²  1) crée sur la variable aléatoire ( ) . Calculez sa fonction d’autocorrelation



^{X t( }

^

^{) ( )X t}



(attention au signe conjugué).

b) En déduire que R_x( ) | |



 a ²



f_( )u e^judu ^{où f( )u} est la densité de probabilité de ( )



 .

c) Identifiez le résultat précédant avec une transformée de Fourier et en déduire, grâce au théorème de Wiener-Kintchine, que S_x( )f 2 | |



a ² f_(2



f).

d) En déduire comment « fabriquer » un processus X t( , ) dont le spectre S_x( )f est imposé.

e) Quel est le spectre du processus construit avec une densité de probabilité f_( )u uniforme entre 10 et 2 ?