MASTER 1 - M´etiers de L’Enseignement en Math´ematiques La Mi-Voix - ULCO ANALYSE 2 D´ecembre 2012 - Contrˆole Terminal, Session 1, Semestre 1 Dur´ee de l’´epreuve : 3h00 Documents interdits. Calculatrice autoris´ee.
(Les trois exercices sont ind´ependants. Un soin tout particulier sera apport´e `a la r´edaction des r´eponses)
Exercice 1SoitIn= Z π
2
0
sinn(x)dxsi n∈N. 1. Montrer que (In)n est positive d´ecroissante.
2. Montrer queIn+2= n+ 1
n+ 2Inet expliciter In, en d´eduire Z 1
−1
(1−x2)ndx.
3. Montrer queIn ∼
+∞In+1.
4. `A l’aide de (n+ 1)InIn+1 montrer que In ∼
+∞
r π 2n. 5. En d´eduire 1.3. . .(2n+ 1)
2.4. . .(2n) ∼
+∞2 rn
π.
Exercice 2
1. Soit nun entier naturel. D´emontrer que si √
n n’est pas entier, alors il est irrationnel (penser `a la contraposition).
2. En d´eduire que sipd´esigne un nombre premier, alors √
pest irrationnel.
3. D´emontrer que le nombre ln(2)
ln(3) est irrationnel.
4. On rappelle quee=
n
X
k=0
1
k!. On se propose de d´emontrer que le nombreeest un nombre irrationnel.
Pour cela, on fait l’hypoth`ese qu’il existe p et q, entiers naturels non nuls, tels que e = p q et on d´emontre que cette hypoth`ese conduit `a une contradiction.
Pour tout entier natureln non nul, on pose : un=
n
X
k=0
1
k! etvn=un+ 1 nn!.
(a) D´emontrer que les suites (un)n∈Net (vn)n∈N sont adjacentes, puis montrer que : uq< e < vq
(b) Aboutir `a une contradiction en multipliant les termes de cet encadrement parq!×q.
Exercice 3Soit f une fonction `a valeurs r´eelles d´efinie et continue sur R. On rappelle que f est une densit´e de probabilit´e surR sif est positive, int´egrable surR, et que
Z
R
f(x)dx= 1.
Lorsqu’en plusfln(f) est int´egrable, on d´efinit l’entropie associ´ee `a f par : H(f) =−
Z +∞
−∞
f(x) ln(f(x))dx.
On d´esigne parHl’ensemble des densit´es de probabilit´es qui poss`edent une entropie. Le but de cet exer- cice est de d´eterminer quelle densit´e maximise l’entropie, c’est-`a-dire correspond `a la quantit´e minimale d’information.
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1. Deux exemples :
On admet que les deux fonctions suivantes sont des densit´es de probabilit´e. Calculer l’entropie associ´ee `a chacune d’elles.
(a) g d´efinie surRparg(t) = e−t
2
√ 2
2π
(b) h d´efinie par h(t) =λe−λt sit≥0,h(t) = 0 sinon, o`u λest un r´eel strictement positif.
2. Deux r´esultats pr´eliminaires.
(a) D´emontrer que pour tous r´eels strictement positifs xet y :
xln(y)≤xln(x) +y−x et xln(y) =xln(x) +y−x⇔x=y.
( ´Etudier les variations de la fonction R?+ → R
y 7→ xln(x) +y−x−xln(y) )
(b) Soitf une fonction continue et positive sur un intervalle [a, b] avec a < b. D´emontrer que : Z b
a
f(x)dx= 0⇒ ∀x∈[a, b], f(x) = 0.
On pourra proc´eder par contraposition.
3. Une maximisation d’entropie sous contrainte de moyenne et de variance.
On s’int´eresse dans cette question aux fonctions deH d’esp´erance nulle et de variance ´egale `a 1, c’est-`a-dire telles que :
• t7→tf(t) est int´egrable sur R d’int´egrale nulle,
• t7→t2f(t) est int´egrable surR d’int´egrale ´egale `a 1.
On appelleN cet ensemble.
(a) D´emontrer queg∈ N, o`ug d´esigne la fonction d´efinie `a la question 1.(a).
(b) Soitf un ´el´ement de N. D´emontrer que :
− Z +∞
−∞
f(x) ln(g(x))dx=H(g).
(c) En utilisant les r´esultats de la question 2., d´emontrer que :
• H(f)≤H(g),
• H(f) =H(g)⇔f =g.
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