UNIVERSITE PIERRE ET MARIE CURIE. Ann´ee 2009-2010.
LM 371. 5 novembre 09. Dur´ee: 1h.15.
Les documents, livres, notes, cours polycopi´es, les calculatrices et les t´el´ephones portables sont interdits. Soyez concis !
Exercice 1.
1) D´ecomposez la permutation σ = (1,2,4,5)(3,5)(2,4,6)(5,3) de S6 en produit de cycles disjoints.
σ= (1,2,4,5)(3,5)(2,4,6)(5,3) = (1,2,5)(4,6) 2) En d´eduire l’ordre de σ.
On σn = e si et seulement si (1,2,5)n = e et (4,6)n = e, c’est `a dire si et seulement si n∈3Z∩2Z= 6Z.
3) Donnez la d´ecomposition de l’inverse deσ en produit de cycles disjoints.
σ−1 = ((1,2,5)(4,6))−1 = (5,2,1)(4,6)
Exercice 2.
Soit Gun groupe de cardinal 77, agissant (op´erant) sur un ensemble E de cardinal 48.
1) Quels sont les cardinaux possibles pour les orbites de cette action ?
2) Montrez qu’il existe toujours un ´el´ement de E fixe (une orbite `a un ´el´ement).
1) Tout orbite a pour cardinal l’indice d’un stabilisateur, donc un nombre divisant 77, soit 1, 7 ou 11, car 77>48.
2) Si n1 (resp. n7, n11) est le nombre d’orbites de cardinal 1 (resp. 7, 11), on doit avoir n1+ 7n7+ 11n11= 48, avec n1, n7, n11 ≥0.
L’equation 7n7+ 11n11 = 48, avec n7, n11∈N, n’ayant pas de solution, on a n´ecessairement n1 6= 0.
Exercice 3.
Pour chacune des assertions suivantes, donnez une preuve ou un contre-exemple.
1) Soit f : G → G0 un homomorphisme de groupes. Pour tout ´el´ement d’ordre fini g ∈ G, l’ordre de f(g) divise l’ordre de g.
C’est vrai ! En effet, gn = e implique f(gn) =f(g)n = e. Il en r´esulte que l’ordre de f(g) divise l’ordre deg.
1
2
2) Si n divise le cardinal du groupe fini G, il existe un ´el´ement d’ordre n dans G.
C’est faux puisqu’il existe des groupes finis non cycliques.Le groupe Z/2Z×Z/2Z est de cardinal 4, mais n’a pas d’´el´ement d’ordre 4.
3) Si tout sous-groupe strict (propre)H (G est commutatif, alors Gest commutatif.
C’est faux ! S3 n’est pas commutatif. Comme son cardinal est 6, un sous-groupe strict est de cardinal 1, 2 ou 3 (Lagrange). Tout groupe de cardinal premier est cyclique, donc commutatif.
4) Soient G etG0 deux groupes finis dont les ordres sont premiers entre eux. Si f :G→ G0 est un homomorphisme de groupes, on a f(G) ={eG0}.
C’est vrai ! D’apr`es le th´eor`eme de factorisation, on a f(G)'G/(kerf), donc son cardinal divise celui de G (Lagrange). Mais comme f(G) est aussi un sous-groupe de G0, son cardinal divise celui deG0 (Lagrange). Donc le cardinal de f(G) est 1, et f(G) ={eG0}. On peut aussi appliquer 1) et remarquer que l’ordre def(g) divise le cardinal de G. Mais comme f(g)∈ G0, cet ordre divise aussi le cardinal de G0. Il en r´esulte quef(g) =eG0 pour outg ∈G.
5) Le centre Z(S5) du groupe sym´etrique S5 est r´eduit `a l’identit´e.
C’est vrai. Un ´el´ement de S5 diff´erent de e est soit un cycle, soit un produit de deux cycles disjoints. Si c = (i1, ..., ik), on a σcσ−1 = (σ(i1), ..., σ(ik)). Ceci montre qu’un cycle n’est pas dans le centre.
On aσcc0σ−1 =σcσ−1σc0σ−1. Il est clair qu’il existeσ ∈S5telle queσcσ−1 6=cetσcσ−1 6=c0. Commec etc0 sont disjoints, σcσ−1 et σc0σ−1 sont disjoints. On a alors σcc0σ−1 6=cc0 (je vous rappelle que la d´ecomposition en produit de cycles disjoints est unique (`a l’ordre pr`es), ce qui montre bien quecc0 ∈/ Z(S5).
Je pr´ef`ere la preuve suivante.
Soient τ =c1...ck etτ0 =c01...c0l deux ´el´ements de Sn, avec leurs d´ecompositions en produits de cycles disjoints. On peut supposer ordre(ci ≥ ordre(ci+1) (resp. ordre(c0j ≥ ordre(c0j+1 ) pour touti (resp. pour tout j).
On rappelle queτ etτ0 sont conjugu´es si et seulement sik=l etordre(ci) = ordre(c0i). Il est alors clair quee est la seule permutation qui n’a pas d’autres conjugu´ees qu’elle mˆeme, donc le seul ´el´ement du centre (sauf bien sˆur pour S2, car dans ce cas il n’y a qu’un 2-cycle).
