UNIVERSIT´E LILLE 1 M22-MIMP
2013-2014 Groupe 12
Interrogation du 17 avril 2014
Question de cours
Caract´eriser l’inversibilit´e d’une matrice `a l’aide du rang.
Exercice 1
Soit (e1, e2, e3, e4) une base de R4, et f l’application lin´eaire repr´esent´ee dans cette base par la matrice
1 0 −1 2
1 1 3 −5
3 1 1 −1
1 −1 −5 9
1. Quel est le rang de f?
2. Calculer f(e1), f(e2), f(e3) et f(e4). En d´eduire une base de Imf.
3. Calculer f(e1−4e2+e3) et f(−2e1+ 7e2+e4). En d´eduire une base de Kerf.
Exercice 2
SoitE =R2[X] l’ensemble des polynˆomes de degr´e inf´erieur ou ´egal `a 2, etB= (1, X, X2) sa base canonique. On pose
g(a+bX+cX2) = c+bX+aX2
1. Ecrire la matrice A de g dans la baseB.
2. V´erifier queB0 = (1 +X2,1 +X+X2,1−X2) est une base de E.
3. Ecrire la matrice A0 de g dans la baseB0.
4. Donner la matrice de passage P de B `aB0. Quel est le lien entre A, P etA0?
