En d´eduire, pour tout r´eelt de l’intervalle [0, n], l’in´egalit´e : 1− t n n 6e−t

5-12- 2012 J.F.C. p. 1

HEC 2005 PARTIES I ET II

Dans tout le texte, Γ est la fonction :x→ Z +∞

0

t^x−1e^−tdt.

Partie I. Une expression de Γ(x) Q1 Soitnun entier sup´erieur ou ´egal `a 1.

a) Pour tout r´eel utel que 06u <1, montrer que ln(1−u)6−u. (<1 ok ?) En d´eduire, pour tout r´eelt de l’intervalle [0, n], l’in´egalit´e :

1− t n

n

6e^−t. b) ´Etudier les variations de la fonctionϕd´efinie sur [0,√

n[ qui, `a tout r´eel tde [0,√

n[ associe : ϕ(t) = ln

1−t²

n

−t−nln

1− t n

.

Etablir, pour tout r´´ eelt de [0,√

n], l’in´egalit´e :

1−t² n

e^−t6

1− t

n n

.

Montrer, en deux lignes, que ceci vaut encore pourt dans[0, n].

c) Justifier, pour tout r´eel tde [0, n], les in´egalit´es : e^−t−t²

ne^−t6

1− t n

ⁿ 6e^−t.

En d´eduireproprement et simplementque, pour tout r´eel xstrictement positif : Γ(x) = lim

n→+∞

Z n

0

1− t

n n

t^x−1dt.

Q2 Au choix a) ou a’)(je conseille a’) pour gagner du temps).

a) Pour tout r´eel xstrictement positif et pour tout entier naturelnnon nul, montrer que les int´egrales Z 1

0

y^x−1dy et Z 1

0

y^x−1(1−y)ⁿdy sont convergentes.

On pose alors B0(x) = Z 1

0

y^x−1dy et pour toutnsup´erieur ou ´egal `a 1,Bn(x) = Z 1

0

y^x−1(1−y)ⁿdy.

a’) Pour tout r´eel xstrictement positif et pour tout entier natureln, montrer que l’ int´egrale Bn(x) =

Z 1

0

y^x−1(1−y)ⁿdy converge.

b) `A l’aide d’une int´egration par parties, montrer,pour tout r´eelxstrictement positif etpour toutndeN^∗(ou deN), l’´egalit´e :

Bn(x) = n!

x(x+ 1). . .(x+n)· En d´eduire,pour tout r´eelxstrictement positif etpour toutndeN, la formule :

B_n(x) =Γ(x)×Γ(n+ 1) Γ(x+n+ 1) ·

J.F.C. p. 2 c) Montrer que, pour tout r´eelxstrictement positif :

Γ(x) = lim

n→+∞

n^xn!

x(x+ 1). . .(x+n)·

En d´eduire que, pour tout r´eelxstrictement positif, Γ(x+n)∼n^x(n−1)!, lorsquentend vers +∞.

d) Pour toutndeN^∗, on poseλn= Γ ⁿ₂ Γ ⁿ⁺¹₂ · Montrer queλn∼

r2

n lorsque ntend vers +∞

e) ´Ecrire en Turbo-Pascal une fonction qui calcule pourn dansN^∗ etxdansR^+∗, n^xn!

x(x+ 1). . .(x+n)· Partie II. D´erivabilit´e de la fonction Γ et cons´equences

Q1 a) Montrer que, pour tout entier naturelknon nul, et pour tout r´eel xstrictement positif, l’int´egrale Z +∞

0

t^x−1(lnt)^ke^−tdt est absolument convergente. On notegk(x) la valeur de cette int´egrale.

Ici l’´enonc´e n’est pas tr`es s´erieux. On passe b) et c) et on fait b’) et c’)

b) Soit [a, b] un segment de R^+∗. Soientx0et xdeux ´el´ements distincts de ]a, b[. ´Etablir l’in´egalit´e :

Γ(x)−Γ(x0)−(x−x0)g1(x0)

6(x−x₀)² 2

Z +∞

0

(lnt)² Sup

α∈[a,b]

t^α−1 e^−tdt.

c) Montrer l’in´egalit´e suivante : Z +∞

0

(lnt)² Sup

α∈[a,b]

t^α−1

e^−tdt6 Z 1

0

(lnt)²t^a−1e^−tdt+ Z +∞

1

(lnt)²t^b−1e^−tdt En d´eduire que la fonction Γ est d´erivable enx0 et que Γ⁰(x0) =g1(x0).

b’) Soit [a, b] un segment deR^+∗. Soient x0 etxdeux ´el´ements distincts de]a, b[.

Soitt un ´el´ement de]0,+∞[. Justifier l’existence et donner la valeur de Sup

α∈[a,b]

t^α−1= Max

α∈[a,b]t^α−1 (faire deux cas).

En d´eduire que Z 1

0

(lnt)² Sup

α∈[a,b]

t^α−1

e^−tdt et Z +∞

1

(lnt)² Sup

α∈[a,b]

t^α−1

e^−tdt convergent .

Ainsi Z +∞

0

(lnt)² Sup

α∈[a,b]

t^α−1

e^−tdt converge.

Soitt un ´el´ement de]0,+∞[. Montrer que :

|t^x−1−t^x0−1−(x−x0) (lnt)t^x0−1|6(x−x₀)²

2 (lnt)²( Sup

α∈[a,b]

t^α−1).

Etablir l’in´´ egalit´e :

Γ(x)−Γ(x0)−(x−x0)g1(x0)

6(x−x0)² 2

Z +∞

0

(lnt)² Sup

α∈[a,b]

t^α−1 e^−tdt.

c’) En d´eduire que la fonctionΓ est d´erivable en x₀ et queΓ⁰(x₀) =g₁(x₀).

d) ´Etablir que la fonction Γ est d´erivable surR^+∗ et que Γ⁰=g₁.

J.F.C. p. 3 On montrerait de mˆeme que la fonctionΓest deux fois d´erivable surR^+∗, et que Γ⁰⁰=g2. Ce r´esultat est admis dans toute la suite du probl`eme.

f ) Que pensez-vous de “l’in´egalit´e” propos´ee par la CONcepteur en c) ? Q2 Pour toutndeN^∗, on poseγn=−lnn+

n

X

k=1

1 k·

a) ´Etablir, pour tout entiernsup´erieur ou ´egal `a 2, la double in´egalit´e suivante :

n

X

k=2

1

k <lnn <

n−1

X

k=1

1 k

En d´eduire que, pour tout entier naturelnnon nul, on a 0< γ_n61.

b) Montrer que la suite (γn)n∈N^∗ est d´ecroissante et convergente. On noteγ sa limite.

Q3 a) Pour tout r´eelxstrictement positif, et pour tout entiernstrictement positif, montrer l’´egalit´e :

n

Y

k=1

h 1 + x

k

e^−xki

=e^−xγn×(x+ 1)(x+ 2). . .(x+n) n^xn!

b) On pose v_n(x) =

n

Y

k=1

h1 +x k

e^−xki

. Montrer que la suite (v_n(x)

n∈N^∗ est convergente. On note `(x) sa limite.

Montrer la relation :

`(x) = e^−γx xΓ(x) les deux en un, ok ? ?

Q4 a) Soitxun r´eel strictement positif fix´e.

Montrer que la s´erie de terme g´en´eral x

n−ln 1 +x n

, n>1, est convergente.

b) Justifier, pour tout r´eelxstrictement positif, l’´egalit´e : ln `(x)

=−

∞

X

n=1

hx n −ln

1 + x n

i .

En d´eduire, pour tout r´eelxstrictement positif, la relation : ln Γ(x)

=−γx−lnx+

∞

X

n=1

hx n−ln

1 + x n

i.

Q5 Soitψla fonction d´efinie surR^+∗ parψ(x) = ∂

∂x

ln Γ(x)

(c’est la d´eriv´ee deln◦Γ).

Etablir, pour tout r´´ eelxstrictement positif l’´egalit´e :ψ(x+ 1) =ψ(x) +1 x· D´eterminer un ´equivalent simple deψ(x) lorsquextend vers 0⁺.

Justifier, pour tout entier nsup´erieur ou ´egal `a 2, la formule : ψ(n) =ψ(1) +

n−1

X

k=1

1 k·

Q6 Pour tout entiernsup´erieur ou ´egal `a 1, on consid`ere la fonctionU_n d´efinie surR^+∗ par : Un(x) = ln 1 + x

n −x

n·

J.F.C. p. 4 On d´esigne parA(x) la somme de la s´erie de terme g´en´eralU_n(x).

a) Montrer queAest deux fois d´erivable surR^+∗. En particulier, exprimer, pour tout r´eelxstrictement positif,A⁰(x) et A⁰⁰(x) en fonction de Γ(x), Γ⁰(x) et Γ⁰⁰(x).

b) Soit xun r´eel strictement positif fix´e. Montrer que, pour tout entier k sup´erieur ou ´egal `a 1, la s´erie de terme g´en´eralUn^(k)(x) est absolument convergente.

Dans toute la suite du probl`eme,on admetles deux r´esultats suivants : pour tout r´eelxstrictement positif on a A⁰(x) =

∞

X

n=1

U_n⁰(x) etA⁰⁰(x) =

∞

X

n=1

U_n⁰⁰(x).

Q7 Calculerψ(1) en fonction deγ. En d´eduire la valeur de lim

n→+∞ lnn−ψ(n) .

Q8 On veut ´etablir dans cette question que pour tout r´eely strictement positif, on aψ⁰(y)> 1 y·

Soitxun r´eel strictement positif fix´e. On consid`ere la fonctionGd´efinie surR<sup>+∗</sup> qui, `a tout r´eeltstrictement positif, associeG(t) = 1

(t+x)²·

a) Montrer que sur R^+∗,Gest positive, strictement d´ecroissante, et que l’int´egrale Z +∞

1

G(t) dtest convergente.

b) En d´eduire la double in´egalit´e : 0<

Z +∞

1

G(t) dt <

∞

X

k=1

G(k).

c) ´Etablir l’in´egalit´e : ψ⁰(x)> 1 x+ 1 + 1

x²· Conclure.