E4 Savoir travailler avec des rotations.
P 229 n ° 8.
ABCD est un carré de centre O.
1. D est l'image du point A par le quart de tour direct de centre O.
2. B est l'image de D par le quart de tour direct de centre A.
3. B est l'image de D par la réflexion d'axe ( AC ).
4. Non le segment [ AB ] n'est pas l'image du segment [ AO ] par la rotation de centre A et d'angle 45 °.
5. La médiatrice du segment [ DC ] est un axe de symétrie pour le carré ABCD.
P 229 n ° 19.
C est un cercle de centre O.
A et B sont deux points de C tels que AOB = 90 °.Æ r est la rotation de sens direct et d'angle 60 °.
1. Construction du point C image de B par r.
2. Angles du triangle ABC.
C est l'image de B par r. donc le triangle OBC est un triangle équilatéral. Ainsi OBC = 60 °.Æ
A et B sont deux points de C tels que AOB = 90 °.Æ
Donc le triangle AOB est un triangle isocèle et rectangle en O.
Donc ABO = 45 °.Æ
Ainsi ABC = Æ ABO + Æ OBC = 45 ° + 60 ° = 105 °.Æ
L'angle BCA est un angle inscrit dans Æ C. Donc l'angle ÆBCA est égal à la moitié de l'angle au centre associé.
BCA = Æ 1
2 BOA = Æ 1
2 × 90 ° = 45°.
De même l'angle BAC est un angle inscrit dans Æ C. Donc l'angle BAC est égal à la moitié de l'angle au centreÆ associé.
BAC = Æ 1
2 BOC = Æ 1
2 × 60 ° = 30 °.
P 237 n ° 58.
ABC est un triangle équilatéral.
C est le cercle circonscrit à ABC.
[ AA' ] est un diamètre de C.
r1 est la rotation de centre O et de sens direct qui transforme A en B.
r2 est la rotation de centre O et de sens direct qui transforme B en A'.
1. a ) Construction de B' image de A' par r1 et de C' image de A par r2.
1. b ) B' = r1 ( A ' ) donc A'OB' = 120 ° or Æ BOA' = 60 ° donc Æ BOB' = 180 ° cad B, O, B' sont alignés.Æ C' = r2 ( A ) donc AOC' = 60 ° or Æ COA = 120 ° donc Æ COC' = 180 ° cad C, O, C' sont alignés.Æ 2. Soit s la symétrie de centre O. alors s ( A ) = A' et s ( B ) = B' et s ( C ) = C'.
Donc le triangle A'B'C' est l'image de ABC par la symétrie de centre s.
ABC est un triangle équilatéral.
Or par une rotation, l'image d'un triangle est un triangle dont les côtés ont deux à deux la même longueur.
Donc le triangle A'B'C' est un triangle équilatéral.
P 237 n ° 59.
O et A sont deux points données.
R est la rotation de centre O et d'angle 120 ° et de sens direct.
1. a ) Construction de B image de A par r et de C image de B par r.
1. b ) r ( A ) = B et r ( B ) = C
or une rotation conserve les distances.
Donc BC = AB.
2. a ) r ( C ) = C' et C' vérifie OC = OC' et COC' = 120 °.Æ Or OA = OB = OC
Or COA + Æ AOB + Æ BOC = 360 ° donc Æ COA = 360 ° − 120 ° − 120 ° = 120 °.Æ Donc A = C' cad le point A est l'image de C par r.
2. b ) r ( C ) = A et r ( B ) = C donc AC = BC d'où BC = AB = AC.
Donc le triangle ABC est un triangle équilatéral.
ABCD est un carré.
CBJ, ABI et BDF sont trois triangles équilatéraux.
1. a ) BDF est un triangle équilatéral.
Donc FD = FB.
Donc F est un point de la médiatrice du segment [ BD ].
1. b ) ABCD est un carré.
Donc AB = AD et CB = CD.
Donc A et C sont deux points de la médiatrice du segment [ BD ].
Donc les points F, A et C sont alignés.
2. r est la rotation de centre B de sens indirect et d'angle 60 °.
2. a ) BF = BD et FBD = 60 ° car FBD est un triangle équilatéral.Æ Donc r ( F ) = D.
ABI est un triangle équilatéral.
Donc BA = BI et ÆABI = 60 °.
Donc r ( A ) = I.
BCJ est un triangle équilatéral.
Donc BC = BJ et ÆCBJ = 60 °.
Donc r ( C ) = J.
D'après la propriété : par une rotation, les images de points alignés sont alignées.
Donc D, I et J sont alignés.
P 237 n ° 57.
d est une droite.
O est un point n'appartenant pas à la droite d.
H est le projeté orthogonal de O sur d.
r est le quart de tour direct de centre O.
K est l'image de H par r.
1. a ) Construction de H et de K.
1. b ) d' est la droite image de d par r.
H ∈ d alors r ( H ) ∈ d' donc K ∈ d'.
r ( O ) = O
Donc l'image de la droite ( OH ) par r est la droite ( OK ).
H est le projeté orthogonal de O sur d donc d ⊥ ( OH ).
Or l'image de deux droites perpendiculaires par une rotation sont deux droites perpendiculaires.
Donc r ( d ) ⊥ r ( OH ) cad d' ⊥ ( OK ).
Donc d' est la droite perpendiculaire en K à ( OK ).
2. d' coupe d en M.
2. a ) OHMK est un quadrilatère tel que OH = OK et HOK = 90 °.Æ Donc OHMK est un carré.
2. b )
