Compléments au séminaire du 03 05 2018

(1)

Compl´ements `

a l’expos´e du 03/05/2018

Sylvain Dotti May 11, 2018

Abstract

Le théorème de continuité de Kolmogorov, le caractère Höldérien des trajectoires du Mouvement Brownien, remarques sur l’intégration par parties stochastique et sur le lemme d’Itô.

1 Le th´

eor`

eme de continuit´

e de Kolmogorov

Soit un espace probabilisé (Ω, F , P) muni d’une mesure de probabilité P complète, d’une filtration (Ft)_t∈R+

• compl`ete i.e. F0 contient les ensembles de P-mesure nulle.

• continue `_{a droite i.e. ∀t ∈ R}+_{, F} t=

\

s>t

F_s,

et soit X : Ω × R+→ R un processus stochastique adapt´e `a la filtration (Ft)_t∈R+.

S’il existe des constantes α, β, C ∈ R+∗ telles que

∀s, t ∈ R+, E

|X(t, ω) − X(s, ω)|β≤ C |t − s|1+α

alors il existe une modification ˜X de X telle que les trajectoires de ˜X soient localement γ-H¨old´eriennes, ∀γ ∈]0,α

β[.

Plus pr´ecis´ement, ∀ω ∈ Ω, ∀T ∈ R+∗, ∀γ ∈]0,αβ[, ∃K(ω, T, γ) ∈ R+∗ telle que

• ∀s, t ∈ [0, T ], ˜ X(t, ω) − ˜X(s, ω) ≤ K(ω, T, γ) |t − s| γ • E |K(ω, T, γ)|β_{< +∞.}

(2)

2 Une d´

emonstration

On consid`ere le sous-ensemble D de [0, T ] :

D = [

m∈N

Dm (2.1)

o`u Dm =

_kT

2m : k = 0, 1, ..., 2m , ∀m ∈ N. L’ensemble D est dense dans [0, T ].

Fixons M ∈ N. Soient s, t ∈ D tels que |s − t| ≤ ₂TM, il existe i, j ∈ N ∩ [M ; +∞[

tels que s ∈ Dj, t ∈ Di.

Les suites (sm)m∈N et (tm)m∈N de terme g´en´eral sm = sup{x ∈ Dm : x ≤ s} et

tm = sup{x ∈ Dm : x ≤ t} sont croissantes, la premi`ere est stationnaire `a partir du

rang j et converge vers s, la deuxième à partir du rang i et converge vers t. On peut alors écrire

|Xt− Xs| = j X m=M Xsm+1− Xsm + XsM − XtM + i X m=M Xsm− Xsm+1 ≤ 2 sup(i,j) X m=M sup {u,v∈Dm:|u−v|=_2mT } |Xu− Xv| car ∀m ∈ N, |sm+1− sm| = ₂m+1T ou 0, de mˆeme |tm+1− tm| = ₂m+1T ou 0. Ainsi, (K(ω, T, γ))β := sup s,t∈D,s6=t |Xs− Xt|β |s − t|γβ = supm∈N sup {s,t∈D : T 2−m−1_{<|s−t|≤T 2}−m_} |Xs− Xt|β |s − t|γβ ! ≤ sup m∈N 2(m+1)γβ Tγβ sup {s,t∈D : |s−t|≤T 2−m_} |Xs− Xt|β ! ≤ sup m∈N   2(m+1)γβ Tγβ × 2 ∞ X p=m sup {u,v∈Dp:|u−v|=_2pT} |Xu− Xv|β   ≤ 2 1+γβ Tγβ ∞ X p=0 2pγβ sup {u,v∈Dp:|u−v|=_2pT} |Xu− Xv|β . Or, ∀p ∈ N, E sup {u,v∈Dp:|u−v|=_2pT} |X_u− X_v|β ≤ E X {u,v∈Dp:|u−v|=_2pT} |X_u− X_v|β ≤ X {u,v∈Dp:|u−v|=_2pT} E |X_u− X_v|β≤ 2p+1 T 2p 1+α = T 1+α 2pα−1,

(3)

donc E (K(ω, T, γ))β≤ 2 1+γβ Tγβ ∞ X p=0 2pγβ T 1+α 2pα−1 < +∞ car γβ < α.

Donc, presque sˆurement, K(ω, T, γ) < +∞. Ainsi, presque sˆurement ∀s, t ∈ D, |X(s, ω) − X(t, ω)| ≤ K(ω, T, γ)|s − t|γ.

Pour chaque ω ∈ Ω\N avec P(N ) = 0, on prolonge par continuité X(., ω) définie sur D pour obtenir ˜X(., ω) définie sur [0, T ].

Pour prouver que ˜X est une modification de X, on se donne t ∈ [0, T ] et une suite (tn) ⊂ D convergeant vers t, puis on calcule

E X(t, ω) − ˜X(t, ω) β = E lim n→+∞|X(t, ω) − X(tn, ω)| β ≤ lim inf n→+∞E |X(t, ω) − X(t_n, ω)|β≤ lim inf n→+∞C |tn− t| 1+α _{= 0.}

3 Les trajectoires du Mouvement Brownien sont presque

sˆ

urement localement γ-H¨

old´

eriennes pour γ <

1₂

, mais

pas pour γ =

1₂

.

Preuve (tir´ee du livre de Gallardo [Gal08]):

Soit B : Ω × R+ _{→ R un Mouvement Brownien adapt´e `a la filtration (F}

t)_t∈R+. Soient 0 ≤ s < t < +∞, E |B(t, ω) − B(s, ω)|β= |t − s|β2 Z R |x|β √1 2πe −x2 2 dx

donc, on peut appliquer le théorème précédent si β > 2 en prenant α = β₂ − 1 : il existe une modification ˜Bβ de B qui soit localement γ-Höldérienne pour tout γ ∈]0,α_β[.

On peut remarquer que

β 2 − 1 β = 1 2 − 1 β →β→+∞ 1 2. Soient n, m ∈ N\{0, 1, 2}, deux modifications ˜Bn et ˜Bm v´erifient

P

ω ∈ Ω : ∀t ∈ R+, ˜Bn(t, ω) = ˜Bm(t, ω)

= 1.

(4)

L’ensemble \ n,m n ω ∈ Ω : ∀t ∈ R+, ˜Bn(t, ω) = ˜Bm(t, ω) o

est de probabilit´e 1, les modifications ˜Bn, n ∈ N\{0, 1, 2} sont toutes ´egales sur cet

en-semble, elles sont donc localement γ-Höldérienne quel que soit γ < 1₂ sur cet ensemble. Elles sont donc P-presque sûrement localement γ-Höldériennes.

Soient ω ∈ Ω, T ∈ R+∗, n ∈ N∗ , on a sup 0≤s<t≤T |B(t, ω) − B(s, ω)| √ t − s ≥k∈{0,1,...,2maxn_−1}    sup kT 2n≤s<t≤ (k+1)T 2n |B(t, ω) − B(s, ω)| √ t − s    (3.1) que l’on va ´ecrire

Y ≥ max

k∈{0,1,...,2n_−1}Yk.

Pour le sup du terme de gauche (dans l’inégalité (3.1)), on peut se restreindre aux s, t ∈ D (cf (2.1)), ce qui montre que la loi de Y est celle d’une variable alétaoire |X| avec X qui suit la loi normale centrée réduite. C’est aussi vrai pour les Yk du terme de

droite (dans l’in´egalit´e (3.1)). Or ∀A ∈ R+∗,

P (Y < A) ≤ P (Y0< A, Y1< A, ..., Y2n₋₁< A) = P (Y0< A) 2n = P (Y < A) 2n , car les accroissements du Mouvement Brownien sont ind´ependants. Ainsi,

∀A ∈ R+

∗, P (Y < A) = 0 et donc Y = +∞ presque sˆurement, ce qui prouve que les

trajec-toires du Mouvement Brownien ne sont pas presque sûrement localement1₂-Höldériennes.

4 Compl´

ements sur l’int´

egration par parties stochastique

Soient A, C ∈ L2([0, T ] × Ω, P rog, dt ⊗ P), le processus stochastique X : (t, ω) 7→ X(t, ω) = X(0, ω) + Z t 0 A(s, ω)ds + Z t 0 C(s, ω)dB(s, ω) défini ∀t ∈ [0, T ], ∀ω ∈ Ω, est appelé processus d’Itô. L’égalité

X(t, ω) = X(0, ω) + Z t 0 A(s, ω)ds + Z t 0 C(s, ω)dB(s, ω) se note dXt= Atdt + CtdBt.

(5)

Soient deux processus d’Itˆo X et Y , avec dYt= ¯Atdt + ¯CtdBt.

On a la formule d’int´egration par parties suivante :

d (X × Y )_t= XtdYt+ YtdXt+ CtC¯tdt

qui signifie donc ∀t ∈ [0, T ] :

X(t, ω)Y (t, ω) = X(0, ω)Y (0, ω) + Z t 0 X(s, ω) ¯A(s, ω)ds + Z t 0 X(s, ω) ¯C(s, ω)dB(s, ω) + Z t 0 Y (s, ω)A(s, ω)ds + Z t 0 Y (s, ω)C(s, ω)dB(s, ω) + Z t 0 C(s, ω) ¯C(s, ω)ds. Elle est aussi not´ee

X(t, ω)Y (t, ω) = X(0, ω)Y (0, ω) + Z t 0 X(s, ω)dY (s, ω) + Z t 0 Y (s, ω)dX(s, ω) + Z t 0 C(s, ω) ¯C(s, ω)ds pour ressembler à l’intégration par parties de l’intégrale des fonctions de classe C1. Le terme supplémentaire

Z t

0

C(s, ω) ¯C(s, ω)ds est appel´e terme d’Itˆo.

Exemple : Les trajectoires de (t, ω) 7→ Z t 0 s dB(s, ω) s’écrivent à ω fixé : t 7→ t × B(t, ω) − Z t 0 B(s, ω)ds.

5 Le lemme d’Itˆ

o

Soient A, C, X ∈ L2(Ω × [0, T ], P rog, dt ⊗ P) des processus stochastiques, tels que dXt= Atdt + CtdBt. Si f ∈ C2,1(R × R+), on a la formule d’Itˆo : d (f (Xt, t)) = (∂tf ) (Xt, t)dt + (∂xf ) (Xt, t)dXt+ 1 2C 2 t × (∂xxf ) (Xt, t)dt.

(6)

Gallardo dans son livre [Gal08] est finallement un des rares auteurs à donner une preuve complète. Je ne vais pas la copier ici, elle se construit au fil des pages 153 à 160. Grâce à la définition de l’intégrale stochastique, il prouve que

d(tBt) = Btdt + tdBt.

Grâce à ce résultat, il prouve la formule d’intégration par parties stochastique pour les processus élémentaires. Puis il prouve le cas général de l’IPP stochastique grâce à l’isométrie d’Itô.

Il se sert de ce résultat pour prouver que le lemme d’Itô est vrai dans le cas particulier où f ne dépend que d’une variable et s’écrit f (x) = xn avec n ∈ N∗. Il procède par récurrence sur n. Puis il généralise le résultat aux fonctions f (x, t) = P (x)g(t) avec P polynôme et g ∈ C1(R+). Enfin, un résultat de densité permet d’établir le cas général, c’est à dire pour les fonctions f ∈ C2,1(R × R+).

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References

[Gal08] Léonard Gallardo. Mouvement brownien et calcul d’Itô: cours et exercices cor-rigés. Hermann, 2008 (cit. on pp. 3,6).