Enoncé A380 (Diophante) A la manière de Sophie
Pour quelles valeurs de l’entier n positif , les cinq expressions suivantes donnent-elles des nombres premiers ?
n2020+ 4,
n2021+n2020+ 1,
n4040+n3030+n2020+ 4, n2020+n1515+n505+ 1 et n7070+n2020+ 1
Prouver sans l’aide d’un automate que les nombres : 163 840 001 601,
50 629,
656 829 000 901, 216 145 087,
99 960 005 999 600 009 999 et son jumeau 99 960 005 999 600 010 001 sont des nombres composés
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Les factorisations
n2020+ 4 = (n1010+ 2n505+ 2)(n1010−2n505+ 2), n2021+n2020+ 1 =
(n2+n+ 1)(n2019−n2016+n2015−n2013+n2012−. . .−n+ 1), n4040+n3030+n2020+ 4 =
(n2020+n1515+n1010+ 2n505+ 2)(n2020−n1515+n1010−2n505+ 2) n2020+n1515+n505+ 1 = (n1515+ 1)(n505+ 1) =
(n505+ 1)2(n1010−n505+ 1)
n7070+n2020+ 1 = (n2020+n1010+ 1)(n5050−n4040+n2020−n1010+ 1) mettent en évidence plusieurs diviseurs dès que n > 1, et même n > 0 pour la quatrième.
Des factorisations analogues aux précédentes existent pour
163840001601 = 407+ 402+ 1 qui est multiple de 402+ 40 + 1 = 1641 = 3·547, la divisibilité par 3 apparaissant dès la somme des chiffres (30), 50629 = 154+ 4 = (152−2.15 + 2)(152+ 2.15 + 2) = 197·257,
Pour 216145087, les restes 7 modulo 9 et 216−145 + 087 = 158 modulo 1001 montrent qu’en retranchant 4, on a un multiple de 3·7·11 = 231 ; le quotient 935693 se factorise de même en 113·703, puis 21·703 = 14763 = 114+ 112 + 1. D’où 216145087 = 118 + 116+ 114 + 4, où 11 joue le rôle de n505 dans la 3e expression de l’énoncé. Cela donne la décomposition 16117·13411.
On a d’autres factorisations élémentaires pour
656829000901 = 106(8102+ 272) + 901 = 901(306+ 1),
99960005999600009999 = 1020−4·1016+ 6·1016−4·108+ 104−1 = (105−10)4−1 = ((105−10)2+ 1)(105−9)(105−11) =
9998000101·99991·99989,
Pour 99960005999600010001 = 104(104−1)4+ 1 =x5+x4+ 1 en posant x = 104−1 = 9999, on a la factorisation (x2+x+ 1)(x3 −x+ 1), soit 99990001·999700020001.
