A380 – A la manière de Sophie(1) [** à la main exclusivement].
Pour quelles valeurs de l’entier n positif , les cinq expressions suivantes donnent-elles des nombres premiers : n2020 + 4, n2021 + n2020 + 1, n4040 + n3030 +n2020 + 4, n2020 +n1515 + n505 + 1 et n7070+ n2020 +1 ? Prouver sans l’aide d’un automate que les nombres 163 840 001 601, 50 629, 656 829 000 909,
216 145 087, 99 960 005 999 600 009 999 et son jumeau 99 960 005 999 600 010 001 sont des nombres composés.
(1)Nota : Sophie Germain,mathématicienne,(1776-1831).
Solution proposée par Daniel Collignon
Q1
1/ Rappelons l'identité de Sophie Germain :
x^4 + 4y^4 = (x²+2y²)² - (2xy)² = (x²+2y²-2xy)(x²+2y²+2xy) Pour x=n^505, y=1 jamais premier
2/
n^5+n^4+1 = (n²+n+1)(n^3-n+1)
n^8+n^7+1 = (n²+n+1)(n^6-n^4+n^3-n+1)
…
n^2021 + n^2020 + 1 = 1 (n²+n+1)(n^2019-n^2017+n^2016-n^2014+n^2013-…-n^4+n^3-n+1) jamais premier
3/
x^8+x^6+x^4+4 = (x^4 - x^3 + x^2 - 2 x + 2) (x^4 + x^3 + x^2 + 2 x + 2) Pour x=n^505 jamais premier
4/
x^4+x^3+x+1 = (x+1)(x^3+1) = (x+1)²(x²-x+1) Pour x=n^505 jamais premier
5/
x^7+x²+1 = (x²+x+1)(x^5-x^4+x²-x+1) Pour x=n^1010 jamais premier
Q2
1/ Composé car la somme des chiffres est un multiple de 3
Ou pour rester dans l'esprit de l'énoncé 163 840 001 601 = 40^7 + 40² + 1 (cf Q1-5 avec x=40)
2/ 50 629 = 15^4 + 4 (cf Q1-1 avec x=15 et y=1)
3/ 656 829 000 901 = 900^4+900^3+900+1 (cf Q1-4 avec x=900)
4/ 216 145 087 = 11^8+11^6+11^4+4 (cf Q1-3 avec x=11)
5/
x^10-4*x^8+6*x^6-4*x^4+x^2-1 = (x^5 - 2 x^3 + x - 1) (x^5 - 2 x^3 + x + 1) Avec x=100, cela donne 99 960 005 999 600 009 999
x^20-4*x^16+6*x^12-4*x^8+x^4-1 = (x^5 - x - 1) (x^5 - x + 1) (x^10 - 2 x^6 + x^2 + 1) Avec x=10, cela donne 99 960 005 999 600 009 999
x^10-4*x^8+6*x^6-4*x^4+x^2+1 = (x^4 - x^2 + 1) (x^6 - 3 x^4 + 2 x^2 + 1) Avec x=100, cela donne 99 960 005 999 600 010 001
