E120. A la manière d’Aronson

E120. A la manière d’Aronson

Louis ROGLIANO

On considère les suites d’entiersS(k)aveck = 1,2,3, . . .dont le premier termeu₁(k)est égal àk+ 1et le terme général de rangn,u_n(k)est le plus petit entier strictement supérieur àu_n−1(k)tel que l’entiernest membre de la suite si et seulement siu_n(k)est un multiple de2k+ 1.

Q1: détermineru_n(k)en fonction dek.

Q2: pour quelles valeurs dek, l’entier2011fait-il partie de la suiteS(k)?

Pour avoir une idée du comportement de ces suites, étudions la suiteS(1).

S(1) ={2,3,6,7,8,9,12,15,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27, . . .}. La représentation graphique de cette suite montre que les points(n, un(1)) se trouvent sur une ligne composée alternativement de segments de pente1et de segments de pente3(voir figure).

5 10 15 20

5 10 15 20 25 30

Le calcul des indices des premiers points de jonction donne la suite: {1,2,3,6,9,18,27,54, . . .} Les points de départ des segments de pente1ont pour indices:

{1,3,9,27, . . .}soit{3⁰,3¹,3²,3³, . . .}.

Les points de départ des segments de pente3ont pour indices:

{2,6,18,54, . . .}soit{2×3⁰,2×3¹,2×3²,2×3³. . .}

1

Nous en déduisons les formules suivantes:

(A) 2×3^p ≤n <3^p+1 =⇒u_n(1) =u_2×3^p(1) + 3(n−2×3^p) (B) 3^p ≤n <2×3^p =⇒u_n(1) =u₃^p(1) +n−3^p

L’observation des termes de la suiteS(1)nous montre que:

u1(1) = 2, u2(1) = 3, u3(1) = 6, u6(1) = 9, u9(1) = 18, u18(1) = 27, u27(1) = 54, u54(1) = 81, . . . Nous en déduirons que :

u_2×3^p(1) = 3^p+1 et que u₃^p(1) = 2×3^p. Les formules précédentes deviennent alors:

(A) 2×3^p ≤n <3^p+1 =⇒u_n(1) = 3(n−3^p) (B) 3^p ≤n <2×3^p =⇒u_n(1) = 3^p+n

En généralisant ces résultats aux suitesS(k), nous obtenons:

(A) (k+ 1)(2k+ 1)^p ≤n <(2k+ 1)^p+1 =⇒u_n(k) = (2k+ 1)(n−k(2k+ 1)^p) (B) (2k+ 1)^p ≤n <(k+ 1)(2k+ 1)^p =⇒u_n(k) = k(2k+ 1)^p+n

Testons différentes valeurs dek(2k+ 1)^p approchant2011: Pourk = 1,3⁶ = 729et2011−729 = 1282alorsu₁₂₈₂(1) = 2011 Pourk = 2,2×5⁴ = 1250et2011−1250 = 761alorsu₇₆₁(2) = 2011 Pourk = 3,3×7³ = 1029et2011−1029 = 982alorsu₉₈₂(3) = 2011 Pourk = 4, pas de résultat.

Pourk = 5, pas de résultat.

Pourk = 6on trouveu₉₉₇(6) = 2011 Pourk = 7on trouveu436(7) = 2011 k ∈ {8,21}, pas de résultats.

Pourk = 22,n = 1021etu₁₀₂₁(22) = 2011 Pourk = 23,n = 930etu₉₃₀(23) = 2011 Pourk = 24,n = 835etu835(24) = 2011 Pourk = 25,n = 736etu₇₃₆(25) = 2011 Pourk = 26,n = 633etu₆₃₃(26) = 2011 Pourk = 27,n = 526etu526(27) = 2011 Pourk = 28,n = 415etu₄₁₅(28) = 2011 Pourk = 29,n = 300etu₃₀₀(29) = 2011 Pourk = 30,n = 181etu181(30) = 2011

Pourk ∈ {1005,2010},n= 2011−ketu_n(k) = 2011.

2