E 689. A la manière du bonneteau. ****
Sur chaque sommet d’un pentagone régulier on inscrit dans le sens horaire les entiers relatifs : ‒ 18153, ‒ 24204, 46391, ‒ 48408, 54459
Si sur trois sommets consécutifs se trouvent placés les entiers x, y et z avec y < 0, alors on peut remplacer respectivement x par x + y, y par ‒ y et z par z + y.
On poursuit le processus aussi longtemps qu'il y a au moins un nombre négatif parmi les cinq nombres.
Dire si oui ou non le processus se termine en un nombre fini d'étapes.
Si oui, quels sont les entiers finaux ? Solution proposée par Michel Lafond:
On a (‒ 18153, ‒ 24204, 46391, ‒ 48408, 54459) = 2017 * (– 9, – 12, 23, – 24, 27).
On raisonnera donc avec (– 9, – 12, 23, – 24, 27).
Pour plus de commodité, les 5 entiers consécutifs autour du pentagone sont écrits en ligne (dans l’ordre).
Dans ce qui suit, lors de la transformation (x, y, z) en (x + y, – y, z + y) y sera indiqué en gras.
Le tableau ci-dessous montre qu’au bout de 30 transformations, on arrive à (1, 1, 1, 1, 1).
Donc la réponse au problème est OUI avec les entiers finaux 2017, 2017, 2017, 2017, 2017.
J’ai obtenu ce résultat manuellement, mais en vérifiant à l’aide d’un programme (MAPLE) je constate qu’il suffit de procéder au hasard.
Au bout de 30 étapes, on arrive automatiquement au quintuplet (1, 1, 1, 1, 1) ! Pour le démontrer il faut se référer à l’exercice voisin E 543. C’est très compliqué.
– 9 – 12 23 – 24 27
– 9 – 12 – 1 24 3
– 9 – 13 1 23 3
– 22 13 – 12 23 3
– 22 1 12 11 3
22 – 21 12 11 – 19
3 – 21 12 – 8 19
– 18 21 – 9 – 8 19
– 18 12 9 – 17 19
18 – 6 9 – 17 1
12 6 3 – 17 1
12 6 – 14 17 – 16
– 4 6 – 14 1 16
– 4 – 8 14 – 13 16
– 4 – 8 1 13 3
– 12 8 – 7 13 3
– 12 1 7 6 3
12 – 11 7 6 – 9
1 11 – 4 6 – 9
1 7 4 2 – 9
– 8 7 4 – 7 9
8 – 1 4 – 7 1
7 1 3 – 7 1
7 1 – 4 7 – 6
1 1 – 4 1 6
1 – 3 4 – 3 6
1 – 3 1 3 3
– 2 3 – 2 3 3
2 1 – 2 3 1
2 – 1 2 1 1
1 1 1 1 1
