Enoncé E689 (Diophante) A la manière du bonneteau
Sur chaque sommet d’un pentagone régulier on inscrit dans le sens horaire les entiers relatifs : −18153,−24204, 46391, −48408, 54459.
Si sur trois sommets consécutifs se trouvent placés les entiersx, yetzavec y <0, alors on peut remplacer respectivementx parx+y,y par−y etz parz+y. On poursuit le processus aussi longtemps qu’il y a au moins un nombre négatif parmi les cinq nombres.
Prouver si oui ou non le processus se termine en un nombre fini d’étapes.
Si oui, quels sont les entiers finaux ? Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Remarquons, comme propriétés invariantes dans ces opérations de rempla- cement, la divisibilité par 2017 (commune aux cinq nombres de départ), et la somme 5×2017. Ainsi, si l’on peut atteindre une configuration à 5 nombres >0, ces nombres sont 2017.
Je ferai dans la suite l’économie du facteur 2017, retenant comme entiers de départ −9,−12,23,−24,27. Un algorithme rustique consiste à prendre à chaque pas, comme élément central du remplacement, le terme le plus négatif.
On voit sur le tableau de gauche (établi à la main) que la répartition sans entier négatif est atteinte en 30 étapes de remplacement. Les cinq entiers finaux sont égaux à 2017.
Je ne prétends pas que cet algorithme soit efficace pour toutes les données initiales, ni qu’il soit le plus économe en nombre d’étapes.
Dans le cas général, le processus ne peut s’arrêter si le total initial est négatif. On aimerait caractériser le quintuplet des nombres par une fonc- tionnelle mesurant le rapprochement des termes vers leur moyenne. La somme des carrés en est un exemple, mais le processus ne la diminue que si x+y+z >0.
Cette priorité aux triplets x+y+z > 0 (quand ils existent) aboutit de même à 30 étapes (tableau de droite) sur les données actuelles.
−9 −12 23 −24 27 −9 −12 23 −24 27
−9 −12 −1 24 3 −9 −12 −1 24 3
−21 12 −13 24 3 −9 −13 1 23 3
21 −9 −13 24 −18 −22 13 −12 23 3
3 −9 −13 6 18 −22 1 12 11 3
3 −22 13 −7 18 22 −21 12 11 −19
−19 22 −9 −7 18 1 21 −9 11 −19
19 3 −9 −7 −1 1 12 9 2 −19
19 −6 9 −16 −1 −18 12 9 −17 19
19 −6 −7 16 −17 18 −6 9 −17 1
2 −6 −7 −1 17 12 6 3 −17 1
2 −13 7 −8 17 12 6 −14 17 −16
−11 13 −6 −8 17 −4 6 −14 1 16
11 2 −6 −8 6 4 2 −14 1 12
11 2 −14 8 −2 4 −12 14 −13 12
11 −12 14 −6 −2 4 −12 1 13 −1
−1 12 2 −6 −2 3 −12 1 12 1
−1 12 −4 6 −8 −9 12 −11 12 1
−9 12 −4 −2 8 −9 1 11 1 1
9 3 −4 −2 −1 9 −8 11 1 −8
9 −1 4 −6 −1 1 8 3 1 −8
9 −1 −2 6 −7 −7 8 3 −7 8
2 −1 −2 −1 7 7 1 3 −7 1
2 −3 2 −3 7 7 1 −4 7 −6
2 −3 −1 3 4 1 1 −4 1 6
−1 3 −4 3 4 1 −3 4 −3 6
−1 −1 4 −1 4 −2 3 1 −3 6
−1 −1 3 1 3 −2 3 −2 3 3
1 −2 3 1 2 −2 1 2 1 3
−1 2 1 1 2 2 −1 2 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
