E689. A la manière du bonneteau
Les 5 valeurs de départ sont des multiples de 2.017. On peut donc travailler avec les quotients : -9, -12, 23, -24 et 27
On s'aperçoit rapidement que le résultat est 1, 1, 1, 1, 1 après 30 étapes, et celà quels que soient les sommets choisis parmi ceux qui sont éligibles à chaque étape.
La réponse est donc 2.017, 2.017, 2.017, 2.017, 2.017 Il reste à justifier ce résultat.
Voici d'abord un exemple de calcul.
0: -9 -12 23 -24 27 1: 9 -21 23 -24 18 2: -12 21 2 -24 18 3: -12 21 -22 24 -6 4: -18 21 -22 18 6 5: 18 3 -22 18 -12 6: 18 -19 22 -4 -12 7: 18 -19 18 4 -16 8: 2 -19 18 -12 16 9: -17 19 -1 -12 16 10: -17 18 1 -13 16 11: -17 18 -12 13 3 12: 17 1 -12 13 -14 13: 17 -11 12 1 -14 14: 3 -11 12 -13 14 15: -8 11 1 -13 14 16: -8 11 -12 13 1 17: 8 3 -12 13 -7 18: 8 -9 12 1 -7 19: 1 -9 12 -6 7 20: -8 9 3 -6 7 21: -8 9 -3 6 1 22: 8 1 -3 6 -7 23: 8 -2 3 3 -7 24: 1 -2 3 -4 7 25: -1 2 1 -4 7 26: -1 2 -3 4 3 27: 1 1 -3 4 2 28: 1 -2 3 1 2 29: -1 2 1 1 2 30: 1 1 1 1 1
Il n'existe pas de combinaison linéaire des 5 nombres qui permette de connaître le nombre d'étapes restantes (il y a 2273 groupes de 5 nombres qui pourraient servir de point de départ pour 30 étapes, et ces groupes sont tous différents les uns des autres, en comptant comme identiques 2 groupes qui se déduisent l'un de l'autre par rotation ou par symétrie).
Donc pour prouver que c'est 30 étapes exactement, et que le choix des nombres à chaque étape est complètement libre, il faut construire en sens inverse l'ensemble des groupes possibles, niveau par niveau, et vérifier qu'un groupe appartient à un seul niveau et qu'il provient toujours d'un groupe du niveau immédiatement inférieur.
Vérification faite avec pas mal d'efforts.
