Éclatements à la MacPherson-Procesi et produits de mélanges des valeurs zêta multiples

(1)

MZV motiviques I. Soudères

Introduction Stuffle et intégrales

Stuffle et MZV Stuffle et intégrales : ex.

Stuffle et intégrales

Double mélange et M0,n

Les espaces M0,n

Double mélange sur M0,n

Stuffle motivique Stratégie

Stratégie : cas général

Éclatements et Xn

Stuffle et motifs de Tate mixtes

Éclatements à la MacPherson-Procesi et produits de mélanges des valeurs zêta

multiples

Le produit stuffle est motivique

Ismaël Soudères

Université Paris Diderot - Paris 7 Institut de Mathématiques de Jussieu

Séminaire d’algèbre de l’Institut Camille Jordan (Lyon 1)

19 novembre 2009

(2)

Les espaces M0,n

Éclatements et Xn

1 Introduction

2 Représentation intégrale du mélange contractant (stuffle) Mélange contractant (stuffle) et séries

Produit stuffle et intégrales : ζ (2)ζ (2) Produit stuffle et intégrales

3 Le point de vue des espaces de module de courbes en genre 0 Espaces de modules de courbes et MZV

Applications d’oubli et produits de mélanges sur M _0,n

4 Mélange contractant et motifs de Goncharov-Manin Une stratégie d’évitement : exemples

Stratégie : cas général

Éclatements, construction de X _n et stratification

Le mélange contractant est motivique

(3)

Les espaces M0,n

Éclatements et Xn

Introduction

Valeurs zêta multiples

Définition des MZV

Pour tout p-uplet k = (k 1 , . . . , k p ) d’entiers avec k 1 > 2, la valeur zêta multiple (MZV) ζ (k) est définie par

ζ (k) = X

n

₁

>...>n

_p

>0

1 n ^k ₁

¹

· · · n p ^k

^p

.

Relations de doubles mélanges

Ces nombres réels satisfont deux familles de relations

quadratiques, appelées double mélange ou shuffle et stuffle.

Le stuffle ou mélange contractant vient de la représentation en termes de séries ci dessus,

le shuffle ou mélange vient d’une représentation en termes

d’intégrales des valeurs zêta multiples.

(4)

Les espaces M0,n

Éclatements et Xn

Introduction

Motifs et MZVs

Motifs

On cherche à obtenir des objets motiviques qui ont le même comportement que les MZV (valeurs zêta multiples motiviques) car :

On espère que des idées géométriques ainsi qu’une forte

contrainte de structure permettront d’expliquer les propriétés des MZV.

C’est avec la théorie des motifs qu’on obtient la borne supérieure de la conjecture de la dimension.

Motifs et espaces de modules de courbes [GM04]

D’une part ζ(k ₁ , · · · , k _p ) = Z

Φ

_n

ω _k . et, il existe un motif de Tate mixte encadré dont la période vaut ζ (k ₁ , · · · , k _p ) :

ζ _M ^fr ^.M

_0,n+3

(k ₁ , · · · , k _p ) =

H ⁿ M _0,n+3 \ A _k ; B _n ^A

^k

; [ω _k ], [Φ _n ] .

on notera B

^A

pour B \ (A ∩ B )

(5)

Les espaces M0,n

Éclatements et Xn

Introduction

Résultats et propriétés

Théorème

Soit k et l deux uplets d’entiers de poids n et m avec k ₁ , l ₁ > 2 on a

ζ _M ^fr ^.M

_0,n+3

(k)ζ _M ^fr ^.M

_0,m+3

(l) = X

σ terme du shuffle

ζ _M ^fr ^.M

_0,n+m+3

(σ)

et ζ _M ^fr ^.M

_0,n+3

(k)ζ _M ^fr ^.M

_0,m+3

(l) = X

σ terme du stuffle

ζ _M ^fr ^.M

_0,n+m+3

(σ)

On ne parlera ici que du stuffle

Étapes intermédiaires

Adapter un théorème de Y. Hu sur les suites d’éclatements au cadre des motifs de Tate mixtes.

Contrôler l’intersection d’hypersurfaces de la forme 1 − Q

x _i = 0.

Connaître la structure de Hodge mixte de certains groupes de

cohomologie relative.

(6)

Les espaces M0,n

Éclatements et Xn

1 Introduction

2 Représentation intégrale du mélange contractant (stuffle) Mélange contractant (stuffle) et séries

Produit stuffle et intégrales : ζ (2)ζ (2) Produit stuffle et intégrales

3 Le point de vue des espaces de module de courbes en genre 0 Espaces de modules de courbes et MZV

Applications d’oubli et produits de mélanges sur M _0,n

4 Mélange contractant et motifs de Goncharov-Manin Une stratégie d’évitement : exemples

Stratégie : cas général

Éclatements, construction de X _n et stratification

Le mélange contractant est motivique

(7)

Les espaces M0,n

Éclatements et Xn

Mélange contractant (stuffle) et séries

Combinatoire du mélange contractant

Soit k = (k ₀ , k _p ) (k ₀ = (k ₁ , . . . , k _p ₋₁ )) et l = (l ₀ , l _q ) (l ₀ = (l ₁ , . . . , l _q−1 )) deux uplets d’entiers.

Définition (Stuffle)

Le produit stuffle de k et l est défini de façon inductive par la formule

(k) ∗ (l) = (k ∗ l 0 ) · l q + (k 0 ∗ l) · k p + (k 0 ∗ l 0 ) · (k p + l q ) (1) et k ∗ () = () ∗ k = k.

On écrira σ ∈ st(k, l) pour désigner un élément σ de la somme formelle k ∗ l.

Exemple

(n) ∗ (m) = (n, m) + (m, n) + (n + m)

(u)∗(v , w ) = (u , v , w )+(v , u, w )+(v , w , u)+(u +v , w )+(v , u +w ).

(8)

Les espaces M0,n

Éclatements et Xn

Mélange contractant (stuffle) et séries

Stuffle et valeurs zêta multiple

Proposition (Relations de stuffle)

Soit k = (k ₁ , . . . , k _p ) et l = (l ₁ , . . . , l _q ) deux uplets d’entiers avec k ₁ , l ₁ > 2. On a alors l’égalité

ζ (k)ζ (l) =





X

n

₁

>...>n

_p

>0

1 n ₁ ^k

¹

· · · n p ^k

^p









X

m

₁

>...>m

_q

>0

1 m ₁ ^l

¹

· · · m ^l q

^q





= X

σ ∈st(k,l)

ζ(σ).

Exemple

ζ(k )ζ (l ) =

+∞

X

n=1

+∞

X

m=1

1 n ^k m ^l = X

n>m>0

1 n ^k m ^l + X

m>n>0

1 m ^l n ^k + X

n=m

1 n ^k ^+l

= ζ (k , l ) + ζ (l , k ) + ζ (k + l ).

(9)

Les espaces M0,n

Éclatements et Xn

1 Introduction

2 Représentation intégrale du mélange contractant (stuffle) Mélange contractant (stuffle) et séries

Produit stuffle et intégrales : ζ (2)ζ (2) Produit stuffle et intégrales

3 Le point de vue des espaces de module de courbes en genre 0 Espaces de modules de courbes et MZV

Applications d’oubli et produits de mélanges sur M _0,n

4 Mélange contractant et motifs de Goncharov-Manin Une stratégie d’évitement : exemples

Stratégie : cas général

Éclatements, construction de X _n et stratification

Le mélange contractant est motivique

(10)

Les espaces M0,n

Éclatements et Xn

Produit stuffle et intégrales

MZV et intégrales simpliciales

À un p -uplet k, de poids n = k ₁ + · · · + k _p , on associe le n-uplet k = ( 0, . . . , 0

| {z }

k

₁

−1 fois

, 1, . . . , 0, . . . , 0

| {z }

k

_p

−1 fois

, 1) = (ε _n , . . . , ε ₁ ).

En posant ∆ _n = {0 < t ₁ < . . . < t _n < 1}, on a ζ (k) =

Z

∆

_n

(−1) ^p dt ₁

t 1 − ε ₁ ∧ · · · ∧ dt _n t n − ε _n

| {z }

=ω

_k

=ω

_k

.

Exemple

On a ζ (2) =

Z

∆

₂

dt ₂ t ₂

dt ₁

1 − t ₁ , ζ (2, 2) = Z

∆

₄

dt ₄ t ₄

dt ₃ 1 − t ₃

dt ₂ t ₂

dt ₁

1 − t ₁ ,

(11)

Les espaces M0,n

Éclatements et Xn

Produit stuffle et intégrales : ζ (2)ζ (2)

MZV comme intégrale sur un cube

Le changement de variables

t _n = x ₁ , t _n−1 = x ₁ x ₂ , . . . , t ₁ = x ₁ ...x _n , (2) correspondant à une suite d’éclatements à l’origine, donne pour n = 2

ζ(2) = Z

[0,1]

²

dx ₁ x ₁

x ₁ dx ₂

1 − x ₁ x ₂ = Z

[0,1]

²

dx ₁ dx ₂ 1 − x ₁ x ₂ , et pour n = 4

ζ(4) = Z

[0,1]

⁴

d ⁴ x

1 − x 1 x 2 x 3 x 4

ζ (2, 2) = Z

[0,1]

⁴

x ₁ x ₂ d ⁴ x

(1 − x 1 x 2 )(1 − x 1 x 2 x 3 x 4 ) . On a aussi

ζ (2)ζ (2) = Z

[0,1]

⁴

1 1 − x ₁ x ₂

1 1 − x ₃ x ₄ d ⁴ x .

(12)

Les espaces M0,n

Éclatements et Xn

Produit stuffle et intégrales : ζ (2)ζ (2)

ζ(2)ζ(2) par les intégrales

Pour toute variable α et β on a l’égalité 1

(1 − α)(1 − β) = α

(1 − α)(1 − αβ) + β

(1 − β)(1 − βα)

+ 1

1 − αβ . (3) En posant α = x ₁ x ₂ et β = x ₃ x ₄ dans (3), on retrouve la relation de stuffle

ζ (2)ζ (2) = Z

[0,1]

⁴

x ₁ x ₂

(1 − x ₁ x ₂ )(1 − x ₁ x ₂ x ₃ x ₄ )

+ x ₃ x ₄

(1 − x ₃ x ₄ )(1 − x ₃ x ₄ x ₁ x ₂ ) + 1

1 − x ₁ x ₂ x ₃ x ₄

d ⁴ x c’est à dire,

ζ (2)ζ (2) = ζ (2, 2) + ζ (2, 2) + ζ (4).

(13)

Les espaces M0,n

Éclatements et Xn

1 Introduction

2 Représentation intégrale du mélange contractant (stuffle) Mélange contractant (stuffle) et séries

Produit stuffle et intégrales : ζ (2)ζ (2) Produit stuffle et intégrales

3 Le point de vue des espaces de module de courbes en genre 0 Espaces de modules de courbes et MZV

Applications d’oubli et produits de mélanges sur M _0,n

4 Mélange contractant et motifs de Goncharov-Manin Une stratégie d’évitement : exemples

Stratégie : cas général

Éclatements, construction de X _n et stratification

Le mélange contractant est motivique

(14)

Les espaces M0,n

Éclatements et Xn

Produit stuffle et intégrales

MZV comme intégrale sur un cube : cas général

Soit k = (k ₁ , . . . , k _p ) un p-uplet d’entiers et n = k ₁ + · · · + k _p . On définit la fonction f _k

₁

_,...,k

_p

de n variables sur [0, 1] ⁿ comme

f _k

₁

_,...,k

_p

(x ₁ , . . . , x _n ) = 1

1 − x 1 · · · x k

₁

x ₁ · · · x _k

₁

1 − x ₁ · · · x _k

₁

x _k

₁

₊₁ · · · x _k

₁

_+k

₂

x ₁ · · · x _k

₁

_+k

₂

1 − x ₁ · · · x _k

₁

_+k

₂

_+k

₃

· · · x ₁ · · · x _k

₁

_+...+k

_p−1

1 − x 1 · · · x k

₁

+···+k

_p

.

Proposition

Pour tout p-uplet d’entiers (k ₁ , . . . , k _p ) avec k ₁ > 2, on a (n = k ₁ + · · · + k _p )

ζ (k ₁ , . . . , k _p ) = Z

[0,1]

ⁿ

f _k

₁

_,...,k

_p

(x ₁ , . . . , x _n ) d ⁿ x .

(15)

Les espaces M0,n

Éclatements et Xn

Produit stuffle et intégrales

Représentation intégrale du Stuffle

Soit k = (k ₁ , . . . , k _p ) = (k ₀ , k _p ) un p-uplet d’entiers et n = k ₁ + · · · + k _p . On se donne n variables x ₁ , . . . , x _n .

Remarque

Soit (k ₁ , . . . , k _p ) = (k ₀ , k _p ) comme précédemment, f _k

₁

_,...,k

_p

(x) = f _k

₁

_,...,k

_p−1

(x ₀ )

Q x ₀

1 − ^Q x (4)

avec x ₀ = ((x ₁ , . . . , x _n−k

_p

)), ^Q x ₀ =

n−k

p

Y

i =1

x _i , ^Q x =

n

Y

i =1

x _i

Proposition (Décomposition de Cartier)

Soit k = (k ₁ , . . . , k _p ) et l = (l ₁ , . . . , l _q ) deux uplets avec n = k ₁ + · · · + k _p et m = l ₁ + · · · + l _q . On a alors

f k

₁

,...,k

_p

(x) · f l

₁

,...,l

_q

(x ⁰ ) = X

σ ∈st(k,l)

f _σ (y _σ ).

(16)

Les espaces M0,n

Éclatements et Xn

1 Introduction

2 Représentation intégrale du mélange contractant (stuffle) Mélange contractant (stuffle) et séries

Produit stuffle et intégrales : ζ (2)ζ (2) Produit stuffle et intégrales

3 Le point de vue des espaces de module de courbes en genre 0 Espaces de modules de courbes et MZV

Applications d’oubli et produits de mélanges sur M _0,n

4 Mélange contractant et motifs de Goncharov-Manin Une stratégie d’évitement : exemples

Stratégie : cas général

Éclatements, construction de X _n et stratification

Le mélange contractant est motivique

(17)

Les espaces M0,n

Éclatements et Xn

Espaces de modules de courbes et MZV

Soit k = (k ₁ , . . . , k _p ) avec k ₁ > 2, n = k ₁ + · · · k _p .

Objectifs

Il s’agit d’écrire

ζ (k) = Z

Φ

_n

ω _k

où le lieu A _k des singularités de ω _k n’intersecte pas le bord de Φ _n . Ce n’est pas le cas dans la représentation

ζ (2) = Z

0<t

₁

<t

₂

<1

1 t ₂

1 1 − t ₁ dt ₁ dt ₂ . Par contre après éclatement de (0, 0) (1, 1) (et (∞, ∞))

0 0 1

1

(18)

Les espaces M0,n

Éclatements et Xn

Espaces de modules de courbes et MZV

espaces M _0,n+3 et éclatements

Définition

L’espace de modules de courbes de genre 0 avec n points marqués M _0,n est l’ensemble des sphères de Riemann avec n points

marqués modulo les isomorphismes de sphères de Riemann envoyant points marqués sur points marqués.

Concrètement

L’ensemble des isomorphismes de la sphère de Riemann est PSL 2 ( C ) d’où

M _0,n+3 = {(z ₀ , . . . , z _n+2 ) ∈ P ¹ ( C ) tel que z _i 6= z _j }/ PSL ₂ ( C ).

Et PSL ₂ ( C ) étant tri-transitif, on peut choisir de fixer 3 des points (z ₀ , z _n+1 et z _n+2 par ex.) sur 0, 1 et ∞ :

M _0,n+3 ' ( P ¹ ( C ) \ {0, 1, ∞}) ⁿ \ {grande diagonale}.

(19)

Les espaces M0,n

Éclatements et Xn

Espaces de modules de courbes et MZV

espaces M _0,n+3 et éclatements

Exemples

Pour n = 1 on a

M _0,4 ' P ¹ ( C ) \ {0, 1, ∞}.

Pour n = 2 on a

M _0,5 ( C ) ' ( P ¹ ( C )\{0, 1, ∞}) ² \{t ₁ 6= t ₂ }.

0 0 1

1 Fig.: M 0,5 dans P ¹ ( R ) ²

Il existe une compactification M _0,n qui continue à être un espace de modules.

Théorème ([DM69],[Knu83])

M _0,n est projectif, irréductible lisse. Le bord de M _0,n est un diviseur à

croisements normaux. _Fig.: _M

0,5 ( R )

(20)

Les espaces M0,n

Éclatements et Xn

Espaces de modules de courbes et MZV

Notations

On notera de façon générale sur M _0,j ₊₃ t i la coordonée (simpliciale) telle que

t _i (0, z ₁ , . . . , z _j , 1, ∞) = z _i ,

Φ _j la cellule ouverte de M _0,j ₊₃ ( R ) qui est envoyée sur ∆ _j par l’application β _j : M _0,j ₊₃ → ( P ¹ ) ^j

(0, z 1 , . . . , z j , 1, ∞) 7→ (z 1 , . . . , z j ).

(21)

Les espaces M0,n

Éclatements et Xn

Espaces de modules de courbes et MZV

Théorème ([GM04])

Soit k un uplet d’entiers de poids n. On note ω f _k le pull-back

β _n ^∗ (ω _k ) et Φ _n la préimage β _n ⁻¹ (∆ _n ). Le diviseur des singularités de f ω _k n’intersecte pas le bord de Φ _n et

ζ (k ₁ , · · · , k _p ) = Z

Φ

_n

ω f _k .

Théorème ([GM04])

On note B _n la clôture de Zariski du bord de Φ _n et A _k le diviseur des singularités de ω f _k . Il existe un motif de Tate mixte encadré dont la période vaut ζ (k ₁ , · · · , k _p ) :

ζ _M ^fr ^.M

_0,n+3

(k ₁ , · · · , k _p ) =

H ⁿ M _0,n+3 \ A _k ; B _n ^A

^k

; [ ω f _k ], [Φ _n ]

.

(22)

Les espaces M0,n

Éclatements et Xn

1 Introduction

2 Représentation intégrale du mélange contractant (stuffle) Mélange contractant (stuffle) et séries

Produit stuffle et intégrales : ζ (2)ζ (2) Produit stuffle et intégrales

3 Le point de vue des espaces de module de courbes en genre 0 Espaces de modules de courbes et MZV

Applications d’oubli et produits de mélanges sur M _0,n

4 Mélange contractant et motifs de Goncharov-Manin Une stratégie d’évitement : exemples

Stratégie : cas général

Éclatements, construction de X _n et stratification

Le mélange contractant est motivique

(23)

Les espaces M0,n

Éclatements et Xn

Applications d’oubli et double mélange sur M _0,n

Produit stuffle

Coordonnées cubiques

Les coordonnées cubiques sur M _0,r ₊₃ sont définies par u ₁ = t _r et u _i = t _r _−i ₊₁ /t _r _−i ₊₂ pour i < r . Ce système de coordonnées est bien adapté pour exprimer le produit stuffle dans les espaces de module de courbes.

Soit δ : M _0,n+m+3 −→ M _0,n+3 × M _0,m+3 l’application définie par (0, z 1 , . . . , z n+m , 1, ∞) 7→ (0, z m+1 , . . . , z m+n , 1, ∞)×

(0, z ₁ , . . . , z _m , z _m+1 , ∞).

Proposition

Le produit de mélange stuffle peut être interprété comme le changement de variables :

Z

Φ

_n

×Φ

_m

ω _k ∧ ω _l = Z

δ

⁻¹

(Φ

_n

×Φ

_m

)

δ ^∗ (ω _k ∧ ω _l ).

(24)

Les espaces M0,n

Éclatements et Xn

Applications d’oubli et double mélange sur M _0,n

Produit stuffle

Remarque

Il faut cependant remarquer que la décomposition de Cartier ne reste pas (d’un point de vue algébrique) dans les espaces de module de courbes.

En effet des formes différentielles qui ne sont pas

holomorphes à l’intérieur de l’espace de module apparaissent.

Par exemple dans la décomposition du produit f _2,1 (u ₁ , u ₂ , u ₃ )f _2,1 (u ₄ , u ₅ , u ₆ ) on trouve le terme

u ₁ u ₂ u ₄ u ₅ du ₁ du ₂ du ₃ du ₄ du ₅ du ₆ (1 − u 1 u 2 u 4 u 5 )(1 − u 1 u 2 u 3 u 4 u 5 u 6 )

qui n’est pas holomorphe sur M _0,9 (mais est holomorphe sur Φ ₆ ).

Il faut pouvoir permuter les u _i (ou les x _i )

(25)

Les espaces M0,n

Éclatements et Xn

1 Introduction

2 Représentation intégrale du mélange contractant (stuffle) Mélange contractant (stuffle) et séries

Produit stuffle et intégrales : ζ (2)ζ (2) Produit stuffle et intégrales

3 Le point de vue des espaces de module de courbes en genre 0 Espaces de modules de courbes et MZV

Applications d’oubli et produits de mélanges sur M _0,n

4 Mélange contractant et motifs de Goncharov-Manin Une stratégie d’évitement : exemples

Stratégie : cas général

Éclatements, construction de X _n et stratification

Le mélange contractant est motivique

(26)

Les espaces M0,n

Éclatements et Xn

Stratégie

Au vu de l’exemple précédent et de ce que l’on fait avec

uniquement des intégrales, il s’agit de pouvoir permuter les u i . Ce n’est pas possible de le faire sur M _0,n+3 car les

coordonnées cubiques sont extrêmement "locales" sur M _0,n+3 .

En effet, ces coordonnées proviennent d’une première suite d’éclatements de ( P ¹ ) ⁿ et n’ont pas de signification globale sur M _0,n+3 même si elle sont bien adaptées à l’étude de la cellule standard.

Pour n = 2, on a :

Fig.: A ²

Bl

_(0,0)

A

²

←−−−−−

Fig.: vers M 0,5

(27)

Les espaces M0,n

Éclatements et Xn

Stratégie : le cas de n = 3

Description de la situation pour M _0,6

Fig.: A ³

éclatement de

(0,0,0)

←−−−−−−−−−−−

puis de

(0,0,z )

Fig.: vers M _0,6

Le fait que la symétrie soit brisée apparaît nettement sur ces

dessins.

(28)

Les espaces M0,n

Éclatements et Xn

Stratégie : le cas de n = 3

Dans notre situation on a les faces du cube, les diviseurs x _i = 1,

les 3 diviseurs 1 − x i x j = 0, le diviseur 1 − x ₁ x ₂ x ₃ = 0.

L’union de ces diviseurs n’est pas à croisements normaux.

Fig.: A ³

On doit donc éclater un point,

3 lignes,

3 courbes hyperboles.

(29)

Les espaces M0,n

Éclatements et Xn

1 Introduction

2 Représentation intégrale du mélange contractant (stuffle) Mélange contractant (stuffle) et séries

Produit stuffle et intégrales : ζ (2)ζ (2) Produit stuffle et intégrales

3 Le point de vue des espaces de module de courbes en genre 0 Espaces de modules de courbes et MZV

Applications d’oubli et produits de mélanges sur M _0,n

4 Mélange contractant et motifs de Goncharov-Manin Une stratégie d’évitement : exemples

Stratégie : cas général

Éclatements, construction de X _n et stratification

Le mélange contractant est motivique

(30)

Les espaces M0,n

Éclatements et Xn

Stratégie : cas général

Ce que l’on veut

On cherche à obtenir pour chaque uplet k (k ₁ > 2) et pour toute permutation s un motif de Tate mixte encadré

h

H ⁿ (X _n \ A b ^s _k ; B b _n \ ( A b ^s _k ∩ B b _n )); [ω _k,s ]; [ C b _n ] i

on notera B

^A

pour B \ (A ∩ B )

X _n est une variété issue d’une suite d’éclatements p n : X n −→ A ⁿ .

la variété X _n admet une action naturelle du groupe symétrique

« correspondant à la permutation des variables x _i »

A b ^s _k est le diviseur des singularités de ω _k,s pull-back sur X _n de f _k (x _s ) d ⁿ x

B b _n est la clôture de Zarisky du bord de C b _n préimage du cube [0, 1] ⁿ

A b ^s _k n’intersecte pas le bord de C b _n .

(31)

Les espaces M0,n

Éclatements et Xn

Stratégie : cas général

Obtenir un motif de Tate mixte [Gon02]

M une variété quasi-projective (dim. n, def. sur Q ).

D = A ∪ B un diviseur à croisements normaux à composantes irréductibles lisses, A et B sans composantes irréductibles

communes.

M ainsi que chaque composante irréductible de A _I ∩ B _J est une variété de Tate (leur motif est ⊕ _i Q (m _i )[n _i ]) .

Théorème

On a un motif de Tate mixte

H ⁿ (M \ A; B \ (B ∩ A))

dont la réalisation de Hodge est le groupe de cohomologie relative

correspondant.

(32)

Les espaces M0,n

Éclatements et Xn

Stratégie : cas général

Situation de départ

l’espace affine A ⁿ

des diviseurs A _I : 1 − Y

i ∈I

x _i = 0 ; D _n ¹ = ∪ _I A _I un ensemble de strates :

D = {comp. irr. de A _I

₁

∩ · · · ∩ A _I

_k

tel que I _j ⊂ [[1; n]]}

On cherche

p n : X n −→ A ⁿ

X _n \ D b _n ¹ ' A ⁿ \ D _n ¹ , avec D b _n ¹ d.c.n

une forme différentielle ω _k,s sur X _n \ D b _n ¹ telle que Z

p

⁻¹_n

([0,1]

ⁿ

)

ω _k,s = ζ (k)

Vérifier quelques propriétés.

(33)

Les espaces M0,n

Éclatements et Xn

Stratégie : cas général

Étapes

1

Construire X _n −→ A ⁿ ainsi que D b _n ¹ au-dessus de ∪A _I .

2

Décrire les formes ω _k,s et leurs comportements vis à vis de C b n .

3

Vérifier que X _n et les strates de D b _n sont des variétés de Tate.

4

Obtenir un motif de Tate mixte encadré associé à ζ (k) et X _n .

(34)

Les espaces M0,n

Éclatements et Xn

1 Introduction

2 Représentation intégrale du mélange contractant (stuffle) Mélange contractant (stuffle) et séries

Produit stuffle et intégrales : ζ (2)ζ (2) Produit stuffle et intégrales

3 Le point de vue des espaces de module de courbes en genre 0 Espaces de modules de courbes et MZV

Applications d’oubli et produits de mélanges sur M _0,n

4 Mélange contractant et motifs de Goncharov-Manin Une stratégie d’évitement : exemples

Stratégie : cas général

Éclatements, construction de X _n et stratification

Le mélange contractant est motivique

(35)

Les espaces M0,n

Éclatements et Xn

Éclatement et diviseurs à croisement normaux

Théorème (Hu [Hu03])

Soit X ₀ ouvert de X lisse avec X \ X ₀ = ∪ _i _∈I D _i tel que D _i fermée, lisse irréductible ;

D _i et D _j se rencontrent proprement avec D _i ∩ D _j = ∅ ou ∪D _r . En posant D = {D _i } _i _∈I , il existe alors une suite d’éclatements

Bl _D X → Bl _D ₆ _k ₋₁ X → · · · → Bl _D ₆ ₀ X → X telle que Bl _D X soit lisse et (Bl _D X ) \ X 0 = S

i ∈I f D i soit un diviseur à croisements normaux ;

Il faut adapter le théorème au cadre des motifs de Tate mixtes.

Proposition

Soit X et D = ∪D _i comme précédemment. Supposons de plus que X ainsi que tous les D _i sont des variétés de Tate.

Alors Bl _D X ainsi que tous les intersections des f D _i sont des

variétés de Tate.

(36)

Les espaces M0,n

Éclatements et Xn

Éclatements et construction des espaces X _n

Soit n > 2 un entier. On définit les diviseurs suivants dans A ⁿ : A _I = {1 − ^Q _i _∈I x _i = 0} pour tout I ⊂ [[1, n]], I 6= ∅

D _n ¹ = [

I

A _I = [

i

{x _i = 1} [

( [

I , |I | > 2

A _I )

Lemme

Soit I ₁ , . . . I _k des sous ensemble des [[1, n]]. L’intersection A _I

₁

∩ A _I

₂

∩ · · · ∩ A _I

_k

est isomorphe à

A ^r × G ^m ^s × Y

{x ^e

ⁱ

= 1}.

Construction de X _n

La variété X _n −→ ^p

ⁿ

A ⁿ est définie comme le résultat de l’application du théorème de Hu à la situation X = A ⁿ et

D = {composantes irréductibles des intersections D _n ¹ }

En particulier X _n \ D b _n ¹ ' A ⁿ \ D _n ¹ et D b _n ¹ est un d.c.n.

(37)

Les espaces M0,n

Éclatements et Xn

Propriétés des espaces X _n

Formes différentielles et domaine d’intégration

Proposition

Le diviseur

A b _n = D b _n ¹ \ {préimage dans X _n de l’union des {x _i = 1}}

n’intersecte pas le bord de C b _n (préimage de [0, 1] ⁿ ) dans X _n ( R ).

Définition

Soit k un uplet d’entiers positifs avec k 1 > 2 et s une permutation de [[1, n]]. On définit la forme différentielle ω _k,s sur X _n \ A b _n par

ω _k,s = p _n ^∗ (f _k (x s ) d ⁿ x ).

Proposition

Le diviseur des singularités A b ^s _k de ω _k,s est inclu dans A b _n .

On a un énoncé similaire pour une forme du type ω _k,s

₁

∧ ω _l,s

₂

.

(38)

Les espaces M0,n

Éclatements et Xn

Espaces X _n et stratification de Tate

X n et la stratification D b n sont de Tate

Lemme

Le diviseur D b _n = B b _n ⁰ ∪ D b _n ¹ est un d.c.n. et munit X _n d’une stratification de Tate.

Démonstration.

Tout d’abord on montre que toutes les strates de D b _n ¹ et X _n sont de Tate.

Pour cela on se ramène à vérifier dans A ⁿ que les

composantes irréductibles des intersections A _I

₁

∩ · · · ∩ A _I

_k

sont de Tate.

Or ces strates sont isomorphes à A ^r × G ^m ^s .

Il faut ensuite faire un peu attention afin de récupérer

l’intersection de strates de B b _n ⁰ et de D b _n ¹ .

(39)

Les espaces M0,n

Éclatements et Xn

1 Introduction

2 Représentation intégrale du mélange contractant (stuffle) Mélange contractant (stuffle) et séries

Produit stuffle et intégrales : ζ (2)ζ (2) Produit stuffle et intégrales

3 Le point de vue des espaces de module de courbes en genre 0 Espaces de modules de courbes et MZV

Applications d’oubli et produits de mélanges sur M _0,n

4 Mélange contractant et motifs de Goncharov-Manin Une stratégie d’évitement : exemples

Stratégie : cas général

Éclatements, construction de X _n et stratification

Le mélange contractant est motivique

(40)

Les espaces M0,n

Éclatements et Xn

MZV motiviques alternatives

Théorème

Soit k (resp. k et l) un uplet d’entiers avec k ₁ > 2 (resp.

k ₁ , l ₁ > 2) et s (resp. s ₁ et s ₂ ) une permutation de [[1, n]]. Alors il existe un motif de Tate mixte encadré

ζ _X ^fr ^.,M

n

(k, s ) = h

H ⁿ (X _n \ A b ^s _k ; B b ^A ^b

s

n

k

); [ω _k,s ]; [ C b _n ] i

ayant pour période ζ (k ₁ , . . . , k _n ) ainsi qu’un motif de Tate mixte encadré ζ _X ^fr ^.,M

n+m

(k, s 1 |l, s 2 ) ( ; ω k,s

₁

∧ ω l,s

₂

) .

Proposition

Soit M une variété (q.-p., lisse, dim. n > 2) et D = A ∪ B un d.c.n. à composantes irréductibles lisses avec A et B sans

composantes irréductibles communes.

On a alors les isomorphismes suivants

‘ Gr ^W _2n (H ⁿ _Hd (M \ A, B ^A )) ' Gr ^W _2n (H ⁿ _Hd (M \ A))

Gr ^W ₀ (H ⁿ _Hd (M \ A, B ^A )) ' Gr ^W ₀ (H ⁿ _Hd (M, B )).

(41)

Les espaces M0,n

Éclatements et Xn

Produit stuffle et motifs de Tate mixtes

Comparaison avec M _0,r ₊₃

Un léger souci

On ne peut pas obtenir le stuffle directement avec les espaces X _n car on ne sait pas relier X n × X m à X n+m .

Lemme

Soit r > 2 un entier. On notera A r une union particulière de

composantes de ∂M _0,r ₊₃ \ B _r . Il existe alors une suite de drapeaux F ₁ , . . . , F _N , d’éléments de D _r ¹ vérifiant les conditions nécessaires

X _r = Bl _F

_N

_,...,F

₁

A ^r −→ M ^α

^r

_0,r ₊₃ \ A _r = Bl _F

_r

_,...,F

₁

A ^r

δ ˜

_r

−→ A ^r .

La situation cubique (simplexe

après deux éclatements) de

départ est :

(42)

Les espaces M0,n

Éclatements et Xn

En éclatant :

le point (1, 1, 1)

les droites (1, 1, z ) et (x , 1, 1)

on obtient M _0,6 \ A 3 .

Puis l’éclatement de la dernière ligne donne :

On éclate enfin le long des hyperboles (ce qui ne change pas le

dessin).

(43)

Les espaces M0,n

Éclatements et Xn

Produit stuffle et motifs de Tate mixtes

Comparaison avec M _0,n+m+3 : les MZV motiviques

Proposition

Avec r = n + m la proposition précédente donne : d’une part

ζ _X ^fr

_n+m

^.M (k, id) = ζ _M ^fr ^.M

_0,n+m+3

(k)

et d’autre part

ζ _X ^fr

_n+m

^.M (k, id |l, id) = h H ^n+m

M _0,n+m+3 \ A _k,l , B _n+m ^A

^k,l

; [ω _k ∧ ω _l ], [Φ _n+m ] i . En particulier, pour tout σ ∈ st(k, l), le motif encadré

ζ _M ^fr ^.M

_0,n+m+3

(σ) associé à ζ (σ) sur M _0,n+m+3 est égal à son avatar

sur X _n+m , ζ _X ^fr

_n+m

^.M (σ).

(44)

Les espaces M0,n

Éclatements et Xn

Produit stuffle et motifs de Tate mixtes

Conclusion

Proposition

Soit k et l avec k ₁ , l ₁ > 2 on a

ζ _M ^fr ^.M

_0,n+3

(k)ζ _M ^fr ^.M

_0,m+3

(l) = X

σ∈st(k,l)

ζ _M ^fr ^.M

_0,n+m+3

(σ).

idée

ζ

_M^fr^.M

0,n+3

(k)ζ

_M^fr.M

0,m+3

(l) = ζ

_M^fr.M

0,n+m+3

(k|l) = ζ

_Xn+m^fr^.M

(k,id |l,id)

M _0,n+3 × M _0,m+3 oo M _0,n+m+3 oo X _n+m

décom- position

~~ X _n+m permutation des x

_i

// X _n+m // M _0,n+m+3

P

σ∈st(k,l)

ζ

_Xn+m^fr.M

(σ,s

_σ

) = P

σ∈st(k,l)

ζ

_Xn+m^fr^.M

(σ,id) = P

σ∈st(k,l)

ζ

_M^fr.M

0,n+m+3

(σ)

(45)

Les espaces M0,n

Éclatements et Xn

Pierre Deligne and D. Mumford, The irreducibility of the space of curves of given genus, Pub. Math. Institut des Hautes Etudes Scientifiques (1969), no. 36, 75–109.

Éclatements à la MacPherson-Procesi et produits de mélanges des valeurs zêta multiples

Éclatements à la MacPherson-Procesi et produits de mélanges des valeurs zêta

multiples

Le produit stuffle est motivique

Ismaël Soudères

Université Paris Diderot - Paris 7 Institut de Mathématiques de Jussieu

Séminaire d’algèbre de l’Institut Camille Jordan (Lyon 1)

19 novembre 2009

1 Introduction

2 Représentation intégrale du mélange contractant (stuffle) Mélange contractant (stuffle) et séries

Produit stuffle et intégrales : ζ (2)ζ (2) Produit stuffle et intégrales

3 Le point de vue des espaces de module de courbes en genre 0 Espaces de modules de courbes et MZV

Applications d’oubli et produits de mélanges sur M 0,n

4 Mélange contractant et motifs de Goncharov-Manin Une stratégie d’évitement : exemples

Stratégie : cas général

Éclatements, construction de X n et stratification

Le mélange contractant est motivique

Introduction

Valeurs zêta multiples

Définition des MZV

Pour tout p-uplet k = (k 1 , . . . , k p ) d’entiers avec k 1 > 2, la valeur zêta multiple (MZV) ζ (k) est définie par

ζ (k) = X

n

>...>n

>0

1

n k 1

· · · n p k

.

Relations de doubles mélanges

Ces nombres réels satisfont deux familles de relations

quadratiques, appelées double mélange ou shuffle et stuffle.

Le stuffle ou mélange contractant vient de la représentation en termes de séries ci dessus,

le shuffle ou mélange vient d’une représentation en termes

d’intégrales des valeurs zêta multiples.

Introduction

Motifs et MZVs

Motifs

On cherche à obtenir des objets motiviques qui ont le même comportement que les MZV (valeurs zêta multiples motiviques) car :

On espère que des idées géométriques ainsi qu’une forte

contrainte de structure permettront d’expliquer les propriétés des MZV.

C’est avec la théorie des motifs qu’on obtient la borne supérieure de la conjecture de la dimension.

Motifs et espaces de modules de courbes [GM04]

D’une part ζ(k 1 , · · · , k p ) = Z

Φ

ω k . et, il existe un motif de Tate mixte encadré dont la période vaut ζ (k 1 , · · · , k p ) :

ζ M fr .M

(k 1 , · · · , k p ) =

H n M 0,n+3 \ A k ; B n A

; [ω k ], [Φ n ] .

on notera B

pour B \ (A ∩ B )

Introduction

Résultats et propriétés

Théorème

Soit k et l deux uplets d’entiers de poids n et m avec k 1 , l 1 > 2 on a

ζ M fr .M

(k)ζ M fr .M

(l) = X

σ terme du shuffle

ζ M fr .M

(σ)

et ζ M fr .M

(k)ζ M fr .M

(l) = X

σ terme du stuffle

ζ M fr .M

(σ)

On ne parlera ici que du stuffle

Étapes intermédiaires

Adapter un théorème de Y. Hu sur les suites d’éclatements au cadre des motifs de Tate mixtes.

Contrôler l’intersection d’hypersurfaces de la forme 1 − Q

x i = 0.

Connaître la structure de Hodge mixte de certains groupes de

cohomologie relative.

1 Introduction

2 Représentation intégrale du mélange contractant (stuffle) Mélange contractant (stuffle) et séries

Produit stuffle et intégrales : ζ (2)ζ (2) Produit stuffle et intégrales

3 Le point de vue des espaces de module de courbes en genre 0 Espaces de modules de courbes et MZV

Applications d’oubli et produits de mélanges sur M 0,n

Applications d’oubli et produits de mélanges sur M _0,n

Éclatements, construction de X _n et stratification

n ^k ₁

· · · n p ^k

D’une part ζ(k ₁ , · · · , k _p ) = Z

ω _k . et, il existe un motif de Tate mixte encadré dont la période vaut ζ (k ₁ , · · · , k _p ) :

ζ _M ^fr ^.M

(k ₁ , · · · , k _p ) =

H ⁿ M _0,n+3 \ A _k ; B _n ^A

; [ω _k ], [Φ _n ] .

Soit k et l deux uplets d’entiers de poids n et m avec k ₁ , l ₁ > 2 on a

ζ _M ^fr ^.M

(k)ζ _M ^fr ^.M

ζ _M ^fr ^.M

et ζ _M ^fr ^.M

(k)ζ _M ^fr ^.M

ζ _M ^fr ^.M

x _i = 0.

Applications d’oubli et produits de mélanges sur M _0,n

Éclatements, construction de X _n et stratification

Soit k = (k ₀ , k _p ) (k ₀ = (k ₁ , . . . , k _p ₋₁ )) et l = (l ₀ , l _q ) (l ₀ = (l ₁ , . . . , l _q−1 )) deux uplets d’entiers.

Soit k = (k ₁ , . . . , k _p ) et l = (l ₁ , . . . , l _q ) deux uplets d’entiers avec k ₁ , l ₁ > 2. On a alors l’égalité

n ₁ ^k

· · · n p ^k

m ₁ ^l

· · · m ^l q

n ^k m ^l = X

n ^k m ^l + X

m ^l n ^k + X

1 n ^k ^+l

Applications d’oubli et produits de mélanges sur M _0,n