Valeurs zêta multiples et Géométrie : Éclatements et espaces de modules

(1)

MZV, éclatements et M 0,n I. Soudères

Introduction Stuffle et intégrales

Stuffle et MZV

Stuffle et intégrales : ex.

Stuffle et intégrales

Double mélange et M 0,n

Les espacesM_0,n Double mélange surM0,n

Stuffle motivique

Stratégie

Construction desX_n Stuffle et motifs de Tate mixtes

En cours de rédaction et projets

Associateurs et relations explicites entre MZV Géométrie et régularisation

Valeurs zêta multiples et Géométrie : Éclatements et espaces de modules

Double mélange, relations d’associateurs, régularisation

Ismaël Soudères

Université Paris Diderot - Paris 7 Institut de Mathématiques de Jussieu

Séminaire Quantique de l’IRMA (Strasbourg)

08 mars 2010

(2)

M 0,n I. Soudères

Introduction Stuffle et intégrales

Stuffle et MZV

Double mélange et M 0,n

Stuffle motivique

Stratégie

En cours de rédaction et projets

1 Introduction

2 Représentation intégrale du mélange contractant (stuffle)

3 Le point de vue des espaces de modules de courbes en genre 0

4 Mélange contractant et motifs de Goncharov-Manin

5 En cours de rédaction et projets

(3)

MZV, éclatements et M 0,n I. Soudères

Introduction Stuffle et intégrales

Stuffle et MZV

Double mélange et M 0,n

Stuffle motivique

Stratégie

En cours de rédaction et projets

Introduction

Valeurs zêta multiples

Définition des MZV

Pour tout p-uplet k = (k ₁ , . . . , k _p ) d’entiers avec k ₁ > 2, la valeur zêta multiple (MZV) ζ (k) est définie par

ζ(k) = X

n ₁ >...>n _p >0

1 n ₁ ^k ¹ · · · n ^k p ^p

.

Relations de doubles mélanges

Ces nombres réels satisfont deux familles de relations

quadratiques, appelées double mélange ou shuffle et stuffle.

Le stuffle ou mélange contractant vient de la représentation en termes de séries ci dessus,

le shuffle ou mélange vient d’une représentation en termes

d’intégrales des valeurs zêta multiples.

(4)

M 0,n I. Soudères

Introduction Stuffle et intégrales

Stuffle et MZV

Double mélange et M 0,n

Stuffle motivique

Stratégie

En cours de rédaction et projets

Introduction

Valeurs zêta multiples

Définition des MZV

Pour tout p-uplet k = (k ₁ , . . . , k _p ) d’entiers avec k ₁ > 2, la valeur zêta multiple (MZV) ζ (k) est définie par

ζ(k) = X

n ₁ >...>n _p >0

1 n ₁ ^k ¹ · · · n ^k p ^p

.

Relations de doubles mélanges

Ces nombres réels satisfont deux familles de relations

quadratiques, appelées double mélange ou shuffle et stuffle.

Le stuffle ou mélange contractant vient de la représentation en termes de séries ci dessus,

le shuffle ou mélange vient d’une représentation en termes

d’intégrales des valeurs zêta multiples.

(5)

MZV, éclatements et M 0,n I. Soudères

Introduction Stuffle et intégrales

Stuffle et MZV

Double mélange et M 0,n

Stuffle motivique

Stratégie

En cours de rédaction et projets

Introduction

Motifs et MZVs

Motifs

On cherche à obtenir des objets motiviques qui ont le même comportement que les MZV (valeurs zêta multiples motiviques) car :

On espère que des idées géométriques ainsi qu’une forte

contrainte de structure permettront d’expliquer les propriétés des MZV.

C’est avec la théorie des motifs qu’on obtient la borne supérieure de la conjecture de la dimension.

Motifs et espaces de modules de courbes [GM04]

D’une part ζ(k ₁ , . . . , k _p ) = Z

Φ _n

ω _k et, il existe un motif de Tate mixte encadré dont la période vaut ζ (k ₁ , . . . , k _p ) :

ζ _M ^fr ^.M _0,n+3 (k ₁ , . . . , k _p ) =

H ⁿ M _0,n+3 \ A _k ; B _n ^A ^k

; [ω _k ], [Φ _n ] .

on notera B ^A pour B \ (A ∩ B)

(6)

M 0,n I. Soudères

Introduction Stuffle et intégrales

Stuffle et MZV

Double mélange et M 0,n

Stuffle motivique

Stratégie

En cours de rédaction et projets

Introduction

Résultats et propriétés

Théorème ([Sou09])

Soit k, l deux uplets d’entiers de poids n et m avec k ₁ , l ₁ > 2 alors ζ _M ^fr ^.M _0,n+3 (k)ζ _M ^fr ^.M _0,m+3 (l) = X

σterme du shuffle

ζ _M ^fr ^.M _0,n+m+3 (σ)

et ζ _M ^fr ^.M

0,n+3 (k)ζ _M ^fr ^.M

0,m+3 (l) = X

σterme du stuffle

ζ _M ^fr ^.M

0,n+m+3 (σ).

On parlera ici essentiellement du stuffle.

Étapes intermédiaires

Obtenir une représentation intégrale du stuffle.

Observer les similitudes de stuffle et shuffle sur M _0,n+m+3 . Problèmes pour passer aux motifs dans le cas du stuffle.

Construire une famille de variétés X _n compatible aux symétries du stuffle et simple d’un point vue des motifs.

Construire de nouvelles MZV motiviques.

Conclure.

(7)

MZV, éclatements et M 0,n I. Soudères

Introduction Stuffle et intégrales

Stuffle et MZV

Double mélange et M 0,n

Stuffle motivique

Stratégie

En cours de rédaction et projets

1 Introduction

2 Représentation intégrale du mélange contractant (stuffle) Mélange contractant (stuffle)

Produit stuffle et intégrales : ζ (2)ζ(2) Produit stuffle et intégrales

3 Le point de vue des espaces de modules de courbes en genre 0 Espaces de modules de courbes et MZV

Applications d’oubli et produits de mélanges sur M _0,n

4 Mélange contractant et motifs de Goncharov-Manin Stratégie

Construction des espaces X _n

Le mélange contractant est motivique

5 En cours de rédaction et projets

En cours de rédaction : Associateurs et relations explicites entre valeurs zêta multiples

Projets : Géométrie de la régularisation stuffle des MVZs

(8)

M 0,n I. Soudères

Introduction Stuffle et intégrales

Stuffle et MZV

Double mélange et M 0,n

Stuffle motivique

Stratégie

En cours de rédaction et projets

Mélange contractant (stuffle)

Combinatoire du mélange contractant

Soit k = (k ₀ , k _p ) (k ₀ = (k ₁ , . . . , k _p−1 )) et l = (l ₀ , l _q ) (l ₀ = (l ₁ , . . . , l _q−1 )) deux uplets d’entiers.

Définition (Stuffle)

Le produit stuffle de k et l est défini de façon inductive par la formule

(k) ∗ (l) = (k ∗ l ₀ ) · l _q + (k ₀ ∗ l) · k _p + (k ₀ ∗ l ₀ ) · (k _p + l _q ) (1) et k ∗ () = () ∗ k = k.

On écrira σ ∈ st(k, l) pour désigner un élément σ de la somme formelle k ∗ l.

Exemple

(n) ∗ (m) = (n, m) + (m, n) + (n + m)

(u)∗(v , w ) = (u , v , w )+(v , u, w )+(v , w , u)+(u +v , w )+(v , u +w ).

(9)

MZV, éclatements et M 0,n I. Soudères

Introduction Stuffle et intégrales

Stuffle et MZV

Double mélange et M 0,n

Stuffle motivique

Stratégie

En cours de rédaction et projets

Produit stuffle et intégrales

MZV et intégrales simpliciales

À un p -uplet k, de poids n = k ₁ + · · · + k _p , on associe le n-uplet k = ( 0, . . . , 0

| {z }

k ₁ −1 fois

, 1, . . . , 0, . . . , 0

| {z }

k _p −1 fois

, 1) = (ε _n , . . . , ε ₁ ).

En posant ∆ _n = {0 < t ₁ < . . . < t _n < 1}, on a ζ (k) =

Z

∆ _n

(−1) ^p dt ₁

t ₁ − ε ₁ ∧ · · · ∧ dt _n t _n − ε _n

| {z }

=ω _k =ω

k

.

Exemple

On a

ζ (2) = Z

∆ ₂

dt ₂ t ₂

dt ₁

1 − t ₁ , ζ (2, 2) = Z

∆ ₄

dt ₄ t ₄

dt ₃ 1 − t ₃

dt ₂ t ₂

dt ₁

1 − t ₁ ,

(10)

MZV, éclatements et M 0,n I. Soudères

Introduction Stuffle et intégrales

Stuffle et MZV

Double mélange et M 0,n

Stuffle motivique

Stratégie

En cours de rédaction et projets

Produit stuffle et intégrales : ζ (2)ζ (2)

MZV comme intégrale sur un cube

Le changement de variables

t _n = x ₁ , t _n−1 = x ₁ x ₂ , . . . , t ₁ = x ₁ ...x _n , (2) correspondant à une suite d’éclatements à l’origine, donne pour n = 2

ζ (2) = Z

[0,1] ²

dx ₁ x ₁

x ₁ dx ₂

1 − x ₁ x ₂ = Z

[0,1] ²

dx ₁ dx ₂ 1 − x ₁ x ₂ ,

ζ (4) = Z

[0,1] ⁴

d ⁴ x

1 − x ₁ x ₂ x ₃ x ₄ ζ (2, 2) = Z

[0,1] ⁴

x ₁ x ₂ d ⁴ x

(1 − x ₁ x ₂ )(1 − x ₁ x ₂ x ₃ x ₄ ) . On a aussi

ζ (2)ζ (2) = Z

[0,1] ⁴

1 1 − x ₁ x ₂

1 1 − x ₃ x ₄ d ⁴ x .

(11)

MZV, éclatements et M 0,n I. Soudères

Introduction Stuffle et intégrales

Stuffle et MZV

Double mélange et M 0,n

Stuffle motivique

Stratégie

En cours de rédaction et projets

Produit stuffle et intégrales : ζ (2)ζ (2)

MZV comme intégrale sur un cube

Le changement de variables

t _n = x ₁ , t _n−1 = x ₁ x ₂ , . . . , t ₁ = x ₁ ...x _n , (2) correspondant à une suite d’éclatements à l’origine, donne pour n = 2

ζ (2) = Z

[0,1] ²

dx ₁ x ₁

x ₁ dx ₂

1 − x ₁ x ₂ = Z

[0,1] ²

dx ₁ dx ₂ 1 − x ₁ x ₂ , et pour n = 4

ζ(4) = Z

[0,1] ⁴

d ⁴ x

1 − x ₁ x ₂ x ₃ x ₄ ζ (2, 2) = Z

[0,1] ⁴

x ₁ x ₂ d ⁴ x

(1 − x ₁ x ₂ )(1 − x ₁ x ₂ x ₃ x ₄ ) . On a aussi

ζ (2)ζ (2) = Z

[0,1] ⁴

1 1 − x ₁ x ₂

1 1 − x ₃ x ₄ d ⁴ x .

(12)

M 0,n I. Soudères

Introduction Stuffle et intégrales

Stuffle et MZV

Double mélange et M 0,n

Stuffle motivique

Stratégie

En cours de rédaction et projets

Produit stuffle et intégrales : ζ (2)ζ (2)

ζ(2)ζ(2) par les intégrales

Pour toute variable α et β on a l’égalité 1

(1 − α)(1 − β) = α

(1 − α)(1 − αβ) + β

(1 − β)(1 − βα)

+ 1

1 − αβ . (3) En posant α = x ₁ x ₂ et β = x ₃ x ₄ dans (3), on obtient la relation de stuffle

ζ (2)ζ (2) = Z

[0,1] ⁴

x ₁ x ₂

(1 − x ₁ x ₂ )(1 − x ₁ x ₂ x ₃ x ₄ )

+ x ₃ x ₄

(1 − x ₃ x ₄ )(1 − x ₃ x ₄ x ₁ x ₂ ) + 1

1 − x ₁ x ₂ x ₃ x ₄

d ⁴ x c’est à dire,

ζ (2)ζ (2) = ζ (2, 2) + ζ (2, 2) + ζ (4).

(13)

MZV, éclatements et M 0,n I. Soudères

Introduction Stuffle et intégrales

Stuffle et MZV

Double mélange et M 0,n

Stuffle motivique

Stratégie

En cours de rédaction et projets

Produit stuffle et intégrales

MZV comme intégrale sur un cube : cas général

Soit k = (k ₁ , . . . , k _p ) = (k ₀ , k _p ) un p -uplet d’entiers et n = k ₁ + · · · + k _p .

Définition

On définit la fonction f _k ₁ _,...,k _p de n variables sur [0, 1] ⁿ comme f _k ₁ _,...,k _p (x) = f _k ₁ _,...,k _p−1 (x ₀ )

Q x ₀ 1 − Q

x (4)

avec x ₀ = ((x ₁ , . . . , x _n−k _p )), Q

x ₀ =

n−k _p

Y

i =1

x _i , Q

x =

n

Y

i=1

x _i .

Proposition

Pour tout p-uplet d’entiers (k ₁ , . . . , k _p ) avec k ₁ > 2, on a (n = k ₁ + · · · + k _p )

ζ (k ₁ , . . . , k _p ) = Z

[0,1] ⁿ

f _k ₁ _,...,k _p (x ₁ , . . . , x _n ) d ⁿ x .

(14)

M 0,n I. Soudères

Introduction Stuffle et intégrales

Stuffle et MZV

Double mélange et M 0,n

Stuffle motivique

Stratégie

En cours de rédaction et projets

Produit stuffle et intégrales

MZV comme intégrale sur un cube : cas général

Soit k = (k ₁ , . . . , k _p ) = (k ₀ , k _p ) un p -uplet d’entiers et n = k ₁ + · · · + k _p .

Définition

On définit la fonction f _k ₁ _,...,k _p de n variables sur [0, 1] ⁿ comme f _k ₁ _,...,k _p (x) = f _k ₁ _,...,k _p−1 (x ₀ )

Q x ₀ 1 − Q

x (4)

avec x ₀ = ((x ₁ , . . . , x _n−k _p )), Q

x ₀ =

n−k _p

Y

i =1

x _i , Q

x =

n

Y

i=1

x _i .

Proposition

Pour tout p-uplet d’entiers (k ₁ , . . . , k _p ) avec k ₁ > 2, on a (n = k ₁ + · · · + k _p )

ζ (k ₁ , . . . , k _p ) = Z

[0,1] ⁿ

f _k ₁ _,...,k _p (x ₁ , . . . , x _n ) d ⁿ x .

(15)

MZV, éclatements et M 0,n I. Soudères

Introduction Stuffle et intégrales

Stuffle et MZV

Double mélange et M 0,n

Stuffle motivique

Stratégie

En cours de rédaction et projets

Produit stuffle et intégrales

Représentation intégrale du Stuffle

Proposition (Décomposition de Cartier)

Soit k = (k ₁ , . . . , k _p ) et l = (l ₁ , . . . , l _q ) deux uplets avec n = k ₁ + · · · + k _p et m = l ₁ + · · · + l _q . On a alors

f _k ₁ _,...,k _p (x) · f _l ₁ _,...,l _q (x ⁰ ) = X

σ∈st(k,l)

f _σ (y _σ ).

Idée

On part de f _k f _l = f _k ₀ f _l ₀ Q

x ₀ Q

x ⁰ ₀ 1 1 − Q

x

1 1 − Q

x ⁰ On applique (3) à 1

1 − Q x

1 1 − Q

x ⁰

On réorganise pour remarquer que le produit f _k f _l vérifie la

même équation de récurrence que le produit stuffle.

(16)

M 0,n I. Soudères

Introduction Stuffle et intégrales

Stuffle et MZV

Double mélange et M 0,n

Stuffle motivique

Stratégie

En cours de rédaction et projets

1 Introduction

2 Représentation intégrale du mélange contractant (stuffle) Mélange contractant (stuffle)

Produit stuffle et intégrales : ζ (2)ζ(2) Produit stuffle et intégrales

3 Le point de vue des espaces de modules de courbes en genre 0 Espaces de modules de courbes et MZV

Applications d’oubli et produits de mélanges sur M _0,n

4 Mélange contractant et motifs de Goncharov-Manin Stratégie

Construction des espaces X _n

Le mélange contractant est motivique

5 En cours de rédaction et projets

En cours de rédaction : Associateurs et relations explicites entre valeurs zêta multiples

Projets : Géométrie de la régularisation stuffle des MVZs

(17)

MZV, éclatements et M 0,n I. Soudères

Introduction Stuffle et intégrales

Stuffle et MZV

Double mélange et M 0,n

Stuffle motivique

Stratégie

En cours de rédaction et projets

Espaces de modules de courbes et MZV

Soit k = (k ₁ , . . . , k _p ) avec k ₁ > 2, n = k ₁ + · · · k _p .

Objectifs

Il s’agit d’écrire

ζ (k) = Z

Φ _n

ω _k

où le lieu A _k des singularités de ω _k n’intersecte pas le bord de Φ _n . Ce n’est pas le cas dans la représentation

ζ(2) = Z

0<t ₁ <t ₂ <1

1 t ₂

1 1 − t ₁ dt ₁ dt ₂ . Par contre après éclatement de (0, 0) (1, 1) (et (∞, ∞))

0 0 1

1

(18)

MZV, éclatements et M 0,n I. Soudères

Introduction Stuffle et intégrales

Stuffle et MZV

Double mélange et M 0,n

Stuffle motivique

Stratégie

En cours de rédaction et projets

Espaces de modules de courbes et MZV

espaces M _0,n+3 et éclatements

Définition

L’espace de modules de courbes de genre 0 avec n points marqués M _0,n est l’ensemble des sphères de Riemann avec n points

marqués modulo les isomorphismes de sphères de Riemann envoyant points marqués sur points marqués.

Concrètement

L’ensemble des isomorphismes de la sphère de Riemann est PSL ₂ ( C ) d’où

M _0,n+3 = {(z ₀ , . . . , z _n+2 ) ∈ P ¹ ( C ) tel que z _i 6= z _j }/ PSL ₂ ( C ). Et PSL ₂ ( C ) étant tri-transitif, on peut choisir de fixer 3 des points (z ₀ , z _n+1 et z _n+2 par ex.) sur 0, 1 et ∞ :

M _0,n+3 ' ( P ¹ ( C ) \ {0, 1, ∞}) ⁿ \ {grande diagonale}.

(19)

MZV, éclatements et M 0,n I. Soudères

Introduction Stuffle et intégrales

Stuffle et MZV

Double mélange et M 0,n

Stuffle motivique

Stratégie

En cours de rédaction et projets

Espaces de modules de courbes et MZV

espaces M _0,n+3 et éclatements

Définition

L’espace de modules de courbes de genre 0 avec n points marqués M _0,n est l’ensemble des sphères de Riemann avec n points

marqués modulo les isomorphismes de sphères de Riemann envoyant points marqués sur points marqués.

Concrètement

L’ensemble des isomorphismes de la sphère de Riemann est PSL ₂ ( C ) d’où

M _0,n+3 = {(z ₀ , . . . , z _n+2 ) ∈ P ¹ ( C ) tel que z _i 6= z _j }/ PSL ₂ ( C ).

Et PSL ₂ ( C ) étant tri-transitif, on peut choisir de fixer 3 des points (z ₀ , z _n+1 et z _n+2 par ex.) sur 0, 1 et ∞ :

M _0,n+3 ' ( P ¹ ( C ) \ {0, 1, ∞}) ⁿ \ {grande diagonale}.

(20)

M 0,n I. Soudères

Introduction Stuffle et intégrales

Stuffle et MZV

Double mélange et M 0,n

Stuffle motivique

Stratégie

En cours de rédaction et projets

Espaces de modules de courbes et MZV

espaces M _0,n+3 et éclatements

Exemples

Pour n = 1 on a

M _0,4 ' P ¹ ( C ) \ {0, 1, ∞}.

Pour n = 2 on a

M _0,5 ( C ) ' ( P ¹ ( C )\{0, 1, ∞}) ² \{t ₁ 6= t ₂ }.

0 0 1

1 Figure : M _0,5 dans P ¹ ( R ) ²

Il existe une compactification M _0,n qui continue à être un espace de modules.

Théorème ([DM69],[Knu83])

M _0,n est projectif, irréductible lisse. Le bord de M _0,n est un diviseur à

croisements normaux.

Figure : M _0,5 ( R )

(21)

MZV, éclatements et M 0,n I. Soudères

Introduction Stuffle et intégrales

Stuffle et MZV

Double mélange et M 0,n

Stuffle motivique

Stratégie

En cours de rédaction et projets

Espaces de modules de courbes et MZV

Notations générale sur M _0,j ₊₃

On note t _i la coordonnée (simpliciale) telle que t _i (0, z ₁ , . . . , z _j , 1, ∞) = z _i .

L’ensemble des points réels M _0,j ₊₃ ( R ) de M _0,j ₊₃ n’est pas connexe.

Une comp. connexe (cellule) de M _0,j ₊₃ ( R ) peut s’identifier à l’ordre (sur R ) dans lequel sont classés les points.

On note β _j : M _0,j ₊₃ → ( P ¹ ) ^j l’application

(0, z ₁ , . . . , z _j , 1, ∞) 7→ (z ₁ , . . . , z _j ),

et Φ _j la cellule ouverte (cellule standard) de M _0,j ₊₃ ( R ) envoyée sur ∆ _j par β _j

On a donc (0, z ₁ , . . . , z _j , 1, ∞) ∈ Φ _j ssi

0 < z ₁ < . . . < z _j < 1 < ∞.

(22)

MZV, éclatements et M 0,n I. Soudères

Introduction Stuffle et intégrales

Stuffle et MZV

Double mélange et M 0,n

Stuffle motivique

Stratégie

En cours de rédaction et projets

Espaces de modules de courbes et MZV

Le travail de Goncharov et Manin

Théorème ([GM04])

Soit k un uplet d’entiers de poids n (k ₁ > 2). On a ζ (k ₁ , · · · , k _p ) =

Z

Φ _n ω f _k avec ω f _k = β _n ^∗ (ω _k ) et Φ _n = β _n ⁻¹ (∆ _n ).

De plus, le diviseur A _k des singularités de f ω _k n’intersecte pas le bord de Φ _n .

Théorème ([GM04])

Il existe un motif de Tate mixte encadré dont la période vaut ζ (k ₁ , · · · , k _p ) :

ζ _M ^fr ^.M _0,n+3 (k ₁ , · · · , k _p ) =

H ⁿ M _0,n+3 \ A _k ; B _n ^A ^k

; [ ω f _k ], [Φ _n ]

où B _n est la clôture de Zariski du bord de Φ _n .

(23)

MZV, éclatements et M 0,n I. Soudères

Introduction Stuffle et intégrales

Stuffle et MZV

Double mélange et M 0,n

Stuffle motivique

Stratégie

En cours de rédaction et projets

Espaces de modules de courbes et MZV

Le travail de Goncharov et Manin

Théorème ([GM04])

Soit k un uplet d’entiers de poids n (k ₁ > 2). On a ζ (k ₁ , · · · , k _p ) =

Z

Φ _n ω f _k avec ω f _k = β _n ^∗ (ω _k ) et Φ _n = β _n ⁻¹ (∆ _n ).

De plus, le diviseur A _k des singularités de f ω _k n’intersecte pas le bord de Φ _n .

Théorème ([GM04])

Il existe un motif de Tate mixte encadré dont la période vaut ζ(k ₁ , · · · , k _p ) :

ζ _M ^fr ^.M

0,n+3 (k ₁ , · · · , k _p ) =

H ⁿ M _0,n+3 \ A _k ; B _n ^A ^k

; [ f ω _k ], [Φ _n ]

où B _n est la clôture de Zariski du bord de Φ _n .

(24)

M 0,n I. Soudères

Introduction Stuffle et intégrales

Stuffle et MZV

Double mélange et M 0,n

Stuffle motivique

Stratégie

En cours de rédaction et projets

Applications d’oubli et double mélange sur M _0,n

Produit shuffle

Soit β : M _0,n+m+3 → M _0,n+3 × M _0,m+3 l’application définie par (0, z ₁ , . . . , z _n+m , 1, ∞) 7→ (0, z ₁ , . . . , z _n , 1, ∞)×

(0, z _n+1 , . . . , z _n+m , 1, ∞).

Proposition

Le produit de mélange shuffle peut être déduit du changement de variables :

Z

Φ _n ×Φ m

ω f _k ∧ ω e _l = Z

β ⁻¹ (Φ _n ×Φ m )

β ^∗ ( ω f _k ∧ ω e _l ).

(25)

MZV, éclatements et M 0,n I. Soudères

Introduction Stuffle et intégrales

Stuffle et MZV

Double mélange et M 0,n

Stuffle motivique

Stratégie

En cours de rédaction et projets

Applications d’oubli et double mélange sur M _0,n

Produit stuffle

Coordonnées cubiques

Les coordonnées cubiques sur M _0,r ₊₃ sont définies par u ₁ = t _r , u ₁ u ₂ = t _r ₋₁ , . . . , u ₁ · · · u _r = t ₁ .

Soit δ : M _0,n+m+3 → M _0,n+3 × M _0,m+3 l’application définie par : (0, z ₁ , . . . , z _n+m , 1, ∞) 7−→ (0, z _m+1 , . . . , z _m+n , 1, ∞)×

(0, z ₁ , . . . , z _m , z _m+1 , ∞).

Proposition

Le produit de mélange stuffle peut être peut être déduit du changement de variables :

Z

Φ _n ×Φ m

ω _k ∧ ω _l = Z

δ ⁻¹ (Φ _n ×Φ m )

δ ^∗ (ω _k ∧ ω _l )

avec ω _k = f _k (u ₁ , . . . , u _n ) d ⁿ u et ω _l = f _l (u _n+1 , . . . , u _n+m ) d ^m u.

(26)

M 0,n I. Soudères

Introduction Stuffle et intégrales

Stuffle et MZV

Double mélange et M 0,n

Stuffle motivique

Stratégie

En cours de rédaction et projets

Applications d’oubli et double mélange sur M _0,n

Produit stuffle

Remarque

La décomposition de Cartier ne reste pas (d’un point de vue algébrique) dans les espaces de module de courbes.

En effet, des formes différentielles qui ne sont pas

holomorphes à l’intérieur de l’espace de modules apparaissent.

Par exemple dans la décomposition du produit f _2,1 (u ₁ , u ₂ , u ₃ )f _2,1 (u ₄ , u ₅ , u ₆ ) on trouve le terme

u ₁ u ₂ u ₄ u ₅ du ₁ du ₂ du ₃ du ₄ du ₅ du ₆ (1 − u ₁ u ₂ u ₄ u ₅ )(1 − u ₁ u ₂ u ₃ u ₄ u ₅ u ₆ )

qui n’est pas holomorphe sur M _0,9 (mais holomorphe sur Φ ₆ ).

Il faut séparer le diviseur des singularités du bord du domaine d’intégration.

Il faut pouvoir permuter les u _i (ou les x _i ).

(27)

MZV, éclatements et M 0,n I. Soudères

Introduction Stuffle et intégrales

Stuffle et MZV

Double mélange et M 0,n

Stuffle motivique

Stratégie

En cours de rédaction et projets

1 Introduction

2 Représentation intégrale du mélange contractant (stuffle) Mélange contractant (stuffle)

Produit stuffle et intégrales : ζ (2)ζ(2) Produit stuffle et intégrales

3 Le point de vue des espaces de modules de courbes en genre 0 Espaces de modules de courbes et MZV

Applications d’oubli et produits de mélanges sur M _0,n

4 Mélange contractant et motifs de Goncharov-Manin Stratégie

Construction des espaces X _n

Le mélange contractant est motivique

5 En cours de rédaction et projets

En cours de rédaction : Associateurs et relations explicites entre valeurs zêta multiples

Projets : Géométrie de la régularisation stuffle des MVZs

(28)

M 0,n I. Soudères

Introduction Stuffle et intégrales

Stuffle et MZV

Double mélange et M 0,n

Stuffle motivique

Stratégie

En cours de rédaction et projets

Stratégie : le cas de n = 3

Dans notre situation on a les faces du cube, les diviseurs x _i = 1,

les 3 diviseurs 1 − x _i x _j = 0, le diviseur 1 − x ₁ x ₂ x ₃ = 0.

L’union de ces diviseurs n’est pas à croisements normaux.

Figure : A ³

(29)

MZV, éclatements et M 0,n I. Soudères

Introduction Stuffle et intégrales

Stuffle et MZV

Double mélange et M 0,n

Stuffle motivique

Stratégie

En cours de rédaction et projets

Stratégie : le cas de n = 3

Dans notre situation on a les faces du cube, les diviseurs x _i = 1,

les 3 diviseurs 1 − x _i x _j = 0, le diviseur 1 − x ₁ x ₂ x ₃ = 0.

L’union de ces diviseurs n’est pas à croisements normaux.

Figure : A ³

On doit donc éclater un point,

3 lignes,

3 courbes hyperboles.

(30)

M 0,n I. Soudères

Introduction Stuffle et intégrales

Stuffle et MZV

Double mélange et M 0,n

Stuffle motivique

Stratégie

En cours de rédaction et projets

Stratégie : ce que l’on veut

On cherche à obtenir pour chaque uplet k (k ₁ > 2) et pour toute permutation s un motif de Tate mixte encadré

h

H ⁿ (X _n \ A b ^s _k ; B b _n \ ( A b ^s _k ∩ B b _n )); [ω _k,s ]; [ C b _n ] i

où l’on note B ^A pour B \ (A ∩ B).

X _n est une variété issue d’une suite d’éclatements p _n : X _n −→ A ⁿ .

X _n admet une action du groupe symétrique correspondant « à la permutation des variables x _i . »

A b ^s _k est le diviseur des singularités de ω _k,s pull-back sur X _n de f _k (x _s ) d ⁿ x .

B b _n est la clôture de Zariski du bord de C b _n préimage du cube [0, 1] ⁿ .

A b ^s _k n’intersecte pas le bord de C b _n .

A b ^s _k ∪ B b _n est un diviseur à croisements normaux (d.c.n).

(31)

MZV, éclatements et M 0,n I. Soudères

Introduction Stuffle et intégrales

Stuffle et MZV

Double mélange et M 0,n

Stuffle motivique

Stratégie

En cours de rédaction et projets

Stratégie : obtenir un motif de Tate mixte

Considérons :

M une variété quasi-projective (dim. n, def. sur Q ).

D = A ∪ B un diviseur à croisements normaux à composantes irréductibles lisses, A et B sans composantes irréductibles

communes.

M ainsi que chaque composante irréductible de A _I ∩ B _J est une variété de Tate (leur motif est ⊕ _i Q (m _i )[n _i ]).

Sous ces hypothèses, on a :

Théorème (Goncharov [Gon02])

On a un motif de Tate mixte

H ⁿ (M \ A; B \ (B ∩ A))

dont la réalisation de Hodge est le groupe de cohomologie relative

correspondant.

(32)

M 0,n I. Soudères

Introduction Stuffle et intégrales

Stuffle et MZV

Double mélange et M 0,n

Stuffle motivique

Stratégie

En cours de rédaction et projets

Construction des espaces X _n

Théorème (Hu [Hu03])

Soit X ₀ ouvert de X lisse avec X \ X ₀ = ∪ _i∈I D _i tel que D _i fermée, lisse irréductible ;

D _i et D _j se rencontrent proprement avec D _i ∩ D _j = ∅ ou ∪D _r . En posant D = {D _i } _i∈I , il existe alors une suite d’éclatements

Bl _D X → Bl _D ₆ _k ₋₁ X → · · · → Bl _D ₆ ₀ X → X telle que Bl _D X soit lisse et (Bl _D X ) \ X ₀ = S

i∈I f D _i soit un diviseur à croisements normaux ;

Il faut adapter le théorème au cadre des motifs de Tate mixtes.

Proposition ([Sou09])

Soit X et D = ∪D _i comme précédemment. Supposons de plus que X ainsi que tous les D _i soient des variétés de Tate.

Alors Bl _D X ainsi que toutes les intersections des f D _i sont des

variétés de Tate.

(33)

MZV, éclatements et M 0,n I. Soudères

Introduction Stuffle et intégrales

Stuffle et MZV

Double mélange et M 0,n

Stuffle motivique

Stratégie

En cours de rédaction et projets

Construction des espaces X _n

Lemme

Soit I ₁ , . . . , I _k des sous-ensembles des [[1, n]] (n > 2) et A _I _i ⊂ A ⁿ défini par Q

k ∈I i x _k = 1 .

L’intersection A _I ₁ ∩ · · · ∩ A _I _k est isomorphe à A ^r × G ^m ^s × Y

{x ^e ⁱ = 1}.

Construction de X _n

La variété X _n −→ ^p ⁿ A ⁿ est définie comme le résultat de l’application du théorème de Hu à la situation X = A ⁿ et

D = {composantes irréductibles des intersections A _I ₁ ∩ · · · ∩ A _I _k }.

En particulier A ⁿ \ (∪ _I _⊂[[1,n]] A _I ) ' X _n \ D b _n ¹ où D b _n ¹ est un d.c.n.

(34)

M 0,n I. Soudères

Introduction Stuffle et intégrales

Stuffle et MZV

Double mélange et M 0,n

Stuffle motivique

Stratégie

En cours de rédaction et projets

Construction des espaces X _n

Lemme

Soit I ₁ , . . . , I _k des sous-ensembles des [[1, n]] (n > 2) et A _I _i ⊂ A ⁿ défini par Q

k ∈I i x _k = 1 .

L’intersection A _I ₁ ∩ · · · ∩ A _I _k est isomorphe à A ^r × G ^m ^s × Y

{x ^e ⁱ = 1}.

Construction de X _n

La variété X _n −→ ^p ⁿ A ⁿ est définie comme le résultat de l’application du théorème de Hu à la situation X = A ⁿ et

D = {composantes irréductibles des intersections A _I ₁ ∩ · · · ∩ A _I _k }.

En particulier A ⁿ \ (∪ _I _⊂[[1,n]] A _I ) ' X _n \ D b _n ¹ où D b _n ¹ est un d.c.n.

(35)

MZV, éclatements et M 0,n I. Soudères

Introduction Stuffle et intégrales

Stuffle et MZV

Double mélange et M 0,n

Stuffle motivique

Stratégie

En cours de rédaction et projets

MZV motiviques alternatives

Proposition ([Sou09])

Soit M une variété (q.-p., lisse, dim. n > 2) et D = A ∪ B un d.c.n. à composantes irréductibles lisses avec A et B sans

composantes irréductibles communes. On a alors :

Gr ^W _2n (H ⁿ (M \ A, B ^A )) ' Gr ^W _2n (H ⁿ (M \ A)) Gr ^W ₀ (H ⁿ (M \ A, B ^A )) ' Gr ^W ₀ (H ⁿ (M, B )).

Théorème ([Sou09])

Soit k un uplet d’entiers avec k ₁ > 2 et s une permutation de [[1, n]]. Alors il existe un motif de Tate mixte encadré

ζ _X ^fr ^.,M

n (k, s ) =

H ⁿ (X _n \ A b ^s _k ; B b b ^A

s

n k ); [ω _k,s ]; [ C b _n ]

ayant pour période ζ (k ₁ , . . . , k _n ).

De même on a un motif de Tate mixte encadré ζ _X ^fr ^.,M

n+m (k, s ₁ |l, s ₂ )

( ; ω k,s ₁ ∧ ω l,s ₂ ) .

(36)

M 0,n I. Soudères

Introduction Stuffle et intégrales

Stuffle et MZV

Double mélange et M 0,n

Stuffle motivique

Stratégie

En cours de rédaction et projets

Produit stuffle et motifs de Tate mixtes

Conclusion

Théorème

Soit k et l avec k ₁ , l ₁ > 2 on a ζ _M ^fr ^.M

0,n+3 (k)ζ _M ^fr ^.M

0,m+3 (l) = X

σ ∈st(k,l)

ζ _M ^fr ^.M

0,n+m+3 (σ).

Idée

ζ _M ^fr.M

0,n+3 (k)ζ _M ^fr ^.M

0,m+3 (l) = ζ _M ^fr.M

0,n+m+3 (k|l) = ζ ^fr ^.M

Xn+m (k,id |l,id)

M _0,n+3 × M _0,m+3 oo M _0,n+m+3 oo X _n+m

décom- position

~~ X _n+m permutation des x _i // X _n+m // M _0,n+m+3

P

σ∈st(k,l)

ζ ^fr ^.M

Xn+m (σ,s _σ )

=

P

σ∈st(k,l)

ζ ^fr.M

Xn+m (σ,id)

=

P

σ∈st(k,l)

ζ _M ^fr ^.M

0,n+m+3 (σ)

(37)

MZV, éclatements et M 0,n I. Soudères

Introduction Stuffle et intégrales

Stuffle et MZV

Double mélange et M 0,n

Stuffle motivique

Stratégie

En cours de rédaction et projets

1 Introduction

2 Représentation intégrale du mélange contractant (stuffle) Mélange contractant (stuffle)

Produit stuffle et intégrales : ζ (2)ζ(2) Produit stuffle et intégrales

3 Le point de vue des espaces de modules de courbes en genre 0 Espaces de modules de courbes et MZV

Applications d’oubli et produits de mélanges sur M _0,n

4 Mélange contractant et motifs de Goncharov-Manin Stratégie

Construction des espaces X _n

Le mélange contractant est motivique

5 En cours de rédaction et projets

En cours de rédaction : Associateurs et relations explicites entre valeurs zêta multiples

Projets : Géométrie de la régularisation stuffle des MVZs

(38)

M 0,n I. Soudères

Introduction Stuffle et intégrales

Stuffle et MZV

Double mélange et M 0,n

Stuffle motivique

Stratégie

En cours de rédaction et projets

En cours de rédaction : Associateurs et relations explicites entre MZVs

Drinfel’d définit un élément Φ _KZ de C hhX ₀ , X ₁ ii associé à une équation différentielle KZ.

Théorème ([Dri91])

L’élément Φ _KZ est « group-like »(∆(Φ) = Φ ⊗ Φ) et

Φ KZ (X ₀ , X ₁ )Φ KZ (X ₁ , X ₀ ) = 1 (I) e ⁱ ^πX ⁰ Φ _KZ (X _∞ , X ₀ )e ^iπX ^∞ Φ _KZ (X ₁ , X _∞ )e ^iπX ¹ Φ _KZ (X ₀ , X ₁ ) = 1 (II) Φ _KZ (X ₁₂ , X ₂₃ ), Φ _KZ (X ₃₄ , X ₄₅ )Φ _KZ (X ₅₁ , X ₁₂ )Φ _KZ (X ₂₃ , X ₃₄ )

Φ KZ (X ₄₅ , X ₅₁ ) = 1 (III) où (III) a lieu dans U B ₅ = C hhX _ij ii ₁ ₆ _i,j ₆ ₅ /R.

Théorème ([LM96], [Fur03])

Φ KZ (X ₀ , X ₁ ) = X

W ∈{X 0 ,X ₁ } ^∗

(−1) ^wt(W ⁾ ζ ^x (W )W

où ζ ^x (W ) est une extension de la définition des MZV.

(39)

MZV, éclatements et M 0,n I. Soudères

Introduction Stuffle et intégrales

Stuffle et MZV

Double mélange et M 0,n

Stuffle motivique

Stratégie

En cours de rédaction et projets

En cours de rédaction : Associateurs et relations explicites entre MZVs

Les relations (I), (II) et (III) induisent des relations entre les coefficicients de la série Φ _KZ (X ₀ , X ₁ ), c’est-à-dire entre les MZV ζ ^x (W ).

Proposition

La relation (I) est équivalente à la famille de relations :

∀W ∈ {X ₀ , X ₁ } ^∗ , X

U ₁ U ₂ =W

(−1) ^|U ² ^| ζ ^x (U ₁ )ζ ^x (θ(U ₂ )) = 0

où θ(X ₀ ) = X ₁ et θ(X ₁ ) = X ₀ .

On a de même une famille de relations explicites equivalente à (II).

L’identification

U B ₅ ' C hhX ₂₄ , X ₃₄ , X ₄₅ ii o C hhX ₁₂ , X ₂₃ ii donne une base, B ₄ de U B ₅ . Cette base est formée des monômes de la forme U _24,34,45 V _12,23 .

Pour un mot W en les X _ij , on a donc W = P

b ₄ l _b ₄ _,W b ₄ .

Valeurs zêta multiples et Géométrie : Éclatements et espaces de modules

MZV, éclatements et M 0,n I. Soudères

Introduction Stuffle et intégrales

Double mélange et M 0,n

Stuffle motivique

En cours de rédaction et projets

Valeurs zêta multiples et Géométrie : Éclatements et espaces de modules

Double mélange, relations d’associateurs, régularisation

Ismaël Soudères

Université Paris Diderot - Paris 7 Institut de Mathématiques de Jussieu

Séminaire Quantique de l’IRMA (Strasbourg)

08 mars 2010

M 0,n I. Soudères

Introduction Stuffle et intégrales

Double mélange et M 0,n

Stuffle motivique

En cours de rédaction et projets

1 Introduction

2 Représentation intégrale du mélange contractant (stuffle)

3 Le point de vue des espaces de modules de courbes en genre 0

4 Mélange contractant et motifs de Goncharov-Manin

5 En cours de rédaction et projets

MZV, éclatements et M 0,n I. Soudères

Introduction Stuffle et intégrales

Double mélange et M 0,n

Stuffle motivique

En cours de rédaction et projets

Introduction

Valeurs zêta multiples

Définition des MZV

Pour tout p-uplet k = (k 1 , . . . , k p ) d’entiers avec k 1 > 2, la valeur zêta multiple (MZV) ζ (k) est définie par

ζ(k) = X

n 1 >...>n p >0

1

n 1 k 1 · · · n k p p

.

Relations de doubles mélanges

Ces nombres réels satisfont deux familles de relations

quadratiques, appelées double mélange ou shuffle et stuffle.

Le stuffle ou mélange contractant vient de la représentation en termes de séries ci dessus,

le shuffle ou mélange vient d’une représentation en termes

d’intégrales des valeurs zêta multiples.

M 0,n I. Soudères

Introduction Stuffle et intégrales

Double mélange et M 0,n

Stuffle motivique

En cours de rédaction et projets

Introduction

Valeurs zêta multiples

Définition des MZV

Pour tout p-uplet k = (k 1 , . . . , k p ) d’entiers avec k 1 > 2, la valeur zêta multiple (MZV) ζ (k) est définie par

ζ(k) = X

n 1 >...>n p >0

1

n 1 k 1 · · · n k p p

.

Relations de doubles mélanges

Ces nombres réels satisfont deux familles de relations

quadratiques, appelées double mélange ou shuffle et stuffle.

Le stuffle ou mélange contractant vient de la représentation en termes de séries ci dessus,

le shuffle ou mélange vient d’une représentation en termes

d’intégrales des valeurs zêta multiples.

MZV, éclatements et M 0,n I. Soudères

Introduction Stuffle et intégrales

Double mélange et M 0,n

Stuffle motivique

En cours de rédaction et projets

Introduction

Motifs et MZVs

Motifs

On cherche à obtenir des objets motiviques qui ont le même comportement que les MZV (valeurs zêta multiples motiviques) car :

On espère que des idées géométriques ainsi qu’une forte

contrainte de structure permettront d’expliquer les propriétés des MZV.

C’est avec la théorie des motifs qu’on obtient la borne supérieure de la conjecture de la dimension.

Motifs et espaces de modules de courbes [GM04]

D’une part ζ(k 1 , . . . , k p ) = Z

Φ n

ω k et, il existe un motif de Tate mixte encadré dont la période vaut ζ (k 1 , . . . , k p ) :

ζ M fr .M 0,n+3 (k 1 , . . . , k p ) =

H n M 0,n+3 \ A k ; B n A k

Pour tout p-uplet k = (k ₁ , . . . , k _p ) d’entiers avec k ₁ > 2, la valeur zêta multiple (MZV) ζ (k) est définie par

n ₁ >...>n _p >0

n ₁ ^k ¹ · · · n ^k p ^p

Pour tout p-uplet k = (k ₁ , . . . , k _p ) d’entiers avec k ₁ > 2, la valeur zêta multiple (MZV) ζ (k) est définie par

n ₁ >...>n _p >0

n ₁ ^k ¹ · · · n ^k p ^p

D’une part ζ(k ₁ , . . . , k _p ) = Z

Φ _n

ω _k et, il existe un motif de Tate mixte encadré dont la période vaut ζ (k ₁ , . . . , k _p ) :

ζ _M ^fr ^.M _0,n+3 (k ₁ , . . . , k _p ) =

H ⁿ M _0,n+3 \ A _k ; B _n ^A ^k

; [ω _k ], [Φ _n ] .

on notera B ^A pour B \ (A ∩ B)

Soit k, l deux uplets d’entiers de poids n et m avec k ₁ , l ₁ > 2 alors ζ _M ^fr ^.M _0,n+3 (k)ζ _M ^fr ^.M _0,m+3 (l) = X

ζ _M ^fr ^.M _0,n+m+3 (σ)

et ζ _M ^fr ^.M

0,n+3 (k)ζ _M ^fr ^.M

ζ _M ^fr ^.M

Observer les similitudes de stuffle et shuffle sur M _0,n+m+3 . Problèmes pour passer aux motifs dans le cas du stuffle.

Construire une famille de variétés X _n compatible aux symétries du stuffle et simple d’un point vue des motifs.

Applications d’oubli et produits de mélanges sur M _0,n

Construction des espaces X _n

Soit k = (k ₀ , k _p ) (k ₀ = (k ₁ , . . . , k _p−1 )) et l = (l ₀ , l _q ) (l ₀ = (l ₁ , . . . , l _q−1 )) deux uplets d’entiers.

(k) ∗ (l) = (k ∗ l ₀ ) · l _q + (k ₀ ∗ l) · k _p + (k ₀ ∗ l ₀ ) · (k _p + l _q ) (1) et k ∗ () = () ∗ k = k.

À un p -uplet k, de poids n = k ₁ + · · · + k _p , on associe le n-uplet k = ( 0, . . . , 0

k ₁ −1 fois

k _p −1 fois