Appendice : Symboles de Manin et valeurs de fonctions L

(1)

Appendice :

Symboles de Manin et valeurs de fonctions L

Lo¨ıc Merel

Ce texte est un complément à la thèse de F. Brunault, qui fait usage des théorèmes A, C et D ci-dessous et de leurs corollaires. Nous espérons donner un compte-rendu plus complet, incluant une généralisation du théorème A qui ne se limite pas au poids 2, et qui tire avantage du langage adélique dans une publication ultérieure.

1. L’interpr´etation arithm´etique des symboles de Manin

1.a. SoitNun entier>0. Soitf une forme modulaire primitive (c’est-à-dire propre pour l’algèbre de Hecke, nouvelle et normalisée) de poidsk= 2 pour le groupe de congruence Γ₁(N).

Pour tout entierm≥1, on note Σ_m le support demdans l’ensemble des nombres premiers. Soitχun caractère de Dirichlet de conducteur à support dans Σ_N. Notons f ⊗χ la forme primitive dont le p-ième coefficient de Fourier esta_p(f)χ(p) (pnombre premier ne divisant pas N). NotonsN_χ le niveau def⊗χ.

NotonsL(f⊗χ, s) la fonctionLdef⊗χ. Elle admet un d´eveloppement en s´erie de DirichletP∞

n=1an(f⊗ χ)/n^set en produit eulerienQ

pLp(f⊗χ, p^−s), oùLp(f⊗χ, X) = 1/(1−ap(f⊗χ)X+ap,p(f⊗χ)p^k−1X²) (pnombre premier) ; on complète ce produit pour former Λ(f⊗χ, s) = (2π)^−sΓ(s)Nχ^s/2L(f⊗χ, s). On pose ap=ap(f) etap,p=ap,p(f). Notonsψle caractère de nebentypus def; il vérifieψ(p) =ap,p(f) (pnombre premier ne divisant pasN). On pose ¯f =f⊗ψ, et on a¯ an( ¯f) = ¯an(f) (nentier≥1).

LorsqueT⁺etT⁻sont des ensembles finis de nombres premiers, on prive Λ(f⊗χ, s) de certains facteurs d’Euler en posant

Λ^[T⁺^,T⁻^](f⊗χ, s) = Λ(f⊗χ, s)/( Y

p∈T⁺

Lp(f⊗χ, p^−s) Y

p∈T⁻

Lp( ¯f ⊗χ, p¯ ^s−k)).

LorsqueR⁺ etR⁻ sont des sous-ensembles deT⁺ et T⁻ respectivement, on pose Λ^[^T

+ R+,^T⁻

R−]

(f ⊗χ, s) = Λ^[T⁺^,T⁻^](f⊗χ, s) Y

p∈R⁺

L_p(f ⊗χ, p^−s) Lp(f⊗χ, p^−s−1)

Y

p∈R⁻

L_p( ¯f ⊗χ, p¯ ^s−k) Lp( ¯f⊗χ, p¯ ^s−k+1).

Nous dirons que les nombres premierspqui vérifientvp(N) = 1 etψnon ramifié enpsontspéciauxpourf (ils correspondent aux représentation spéciales de GL2(Qp)). Notons Σf l’ensemble des nombres premiers spéciaux pour f. Le cas qui nous intéressera est le cas où R⁺ et R⁻ sont composés de nombres premiers spéciaux pour f.

SoitS un sous-ensemble de Σ_N. Posons ¯S= Σ_N −S. PourM nombre entier≥1 à support dans Σ_N, posonsM =M_SMS¯ où M_S et MS¯ sont à supports dansS et ¯S respectivement. On poseS(M) = Σ_M∩S et ¯S(M) = Σ_M ∩S. On note¯ w_S( ¯f ⊗χ) la pseudo-valeur propre de ¯f ⊗χpour l’opérateur d’Atkin-Lehner associé à S(voir [A-L] ou la mise au point de la section2.b.). On note de plusw(f⊗χ) =w_Σ_N(f⊗χ) ; on a Λ^[T⁺^,T⁻^](f⊗χ, s) =−w(f⊗χ)Λ^[T⁻^,T⁺^]( ¯f⊗χ, k¯ −s). Pourαcaractère de niveau à support dans Σ_N, on convient de décomposerαsous la formeα=α_SαS¯, oùα_S et αS¯ sont des caractères de Dirichlet de niveaux

`

a supports dansS et ¯S respectivement.

Soit (u, v)∈(Z/NZ)². NotonsN⁰ l’ordre deuv dansZ/NZ. Pourp∈ΣN etχ caractère de Dirichlet primitif de conducteur mχ divisant N, notons Qp,f,χ(X) la fraction rationnelle suivante : Qp,f,χ(X) = (¯app^1−k/2)^v^p^(N⁰^/m^χ⁾ sauf siap= 0,vp(N⁰) = 1 etvp(mχ) = 0, auquel cas on aQp,f,χ(X) =−¯χ(p)X⁻¹.Cet objet désagréable dépend dep,ap,χ(p),vp(mχ),ketvp(N⁰) ; c’est donc un objet local.

(2)

1.b. Les notations qui précèdent sont valables même lorsque k > 2. Supposons, jusqu’à la fin de cette section, quek= 2.

On poseξf(u, v) = 0 si (u, v) n’est pas d’ordre N dans le groupe additif (Z/NZ)². Sinon on consid`ere une matriceg=

a b c d

∈SL₂(Z) telle que (c, d)∈(u, v) et on pose

ξf(u, v) =−i Z g∞

g0

f(z)dz,

où l’intégrale est prise le long d’un chemin continu du demi-plan de Poincaré. On dispose donc de ξf : (Z/NZ)²−→C.

L’application f 7→ ξf est injective. On peut même être plus précis. Si on pose ξ⁺_f(u, v) = (ξf(u, v) + ξ_f(−u, v))/2 etξ_f⁻(u, v) = (ξ_f(u, v)−ξ_f(−u, v))/2. Les applicationsf 7→ξ_f⁺ etf 7→ξ_f⁻ sont injectives [M].

Notre nous proposons de donner un sens à ξ_f en terme des invariants arithmétiques de f. Supposons (u, v) d’ordre N. Pour cela nous calculons la transformée de Fourier multiplicative de cette fonction. En effet, on identifie (Z/NZ) à ∪_d|N(Z/dZ)^∗ (par w 7→ wN_w⁰/N (mod N_w⁰), où N_w⁰ est l’ordre de w dans (Z/NZ)). SoitS un sous-ensemble de Σ_N contenant le support deumais disjoint du support dev. Posons S¯= ΣN−S. Les entiersN_S⁰ etN_S⁰_¯expriment les composantes associées àuetv via cette identification ; les entiersNS/N_S⁰ etNS¯/N_S⁰_¯ ne dépendent pas du choix deS. Toute fonctionξ: (Z/NZ)²→Cs’écrit sous la formeξ(u, v) = P

α,βcα,βα(N_S⁰_¯v/NS¯)β(N_S⁰u/NS), où cα,β dépend seulement deξ,α, β et N⁰ et où αet β parcourent les caractères de Dirichlet primitifs de niveau divisant N⁰. L’intérêt du théorème A réside dans une telle écriture pourξ=ξf, qui met en évidence le sens arithmétique des coefficientscα,β.

Pourωcaractère de Dirichlet, notonsτ⁰(ω) la somme de Gauss etmωle conducteur du caractère primitif associé àω. Notonsφla fonction indicatrice d’Euler.

Th´eor`emeA. —On a

ξ_f(u, v) = w(f)

φ(N⁰) X

χ

χS¯(m_χ,S)( ¯ψ_Sχ¯_S)(mψ¯¯χ,S¯)χ_S(−1)τ⁰(χ_S)τ⁰( ¯ψS¯χ¯S¯) pNχ

( Y

p∈S(N⁰)

Q_p,f,¯_χ(1))( Y

p∈S(N¯ ⁰)

Q_p,f,χψ(1))

( ¯ψS¯χ¯²_S_¯)(N_χ,S)( ¯ψχ)(¯ N_S⁰_¯v NS¯

)χ(N_S⁰u NS

)w_S(f⊗χ)Λ^[

ΣN0 −S(mχ)

(S(N0)−S(mχ))∩Σf, ^Σ^N^{0 −}

S(m¯ ψ¯χ¯) ( ¯S(N0)−S(m¯ ψ¯χ¯))∩Σf]

(f ⊗χ,1), o`uχ parcourt les caract`eres de Dirichlet primitifs tels quem_χ,Sm_ψχ,S¯|N⁰.

On déduit du théorème A une formule analogue pourξ⁺_f (resp. ξ⁻_f) qui fait disparaˆıtre les termes faisant intervenir les expressions Λ(f⊗χ,1) pourχ impair (resp. pair).

Corollaire. — La forme modulaire f primitive de poids 2 pour Γ1(N) est caractérisée par les données suivantes, où on fait parcourir à χ les caractères de Dirichlet pairs (resp. impairs) de conducteur divisant N :

(i) le caract`ere def,

(ii) les niveaux des formes primitivesf⊗χ, (iii) les pseudo-valeurs propreswS(f⊗χ),

(iv) les facteurs d’Euler Lp(f ⊗χ, s), pourp∈ΣN et (v) les nombres Λ(f⊗χ,1).

On peut voir la fonctionξf comme une fa¸con commode de comprimer les données (i), (ii), (iii), (iv) et (v). Il résulte du théorème A un énoncé de théorie analytique des nombres.

(3)

Corollaire 2. — Il existe un caract`ere de Dirichlet primitif χ, qu’on peut choisir pair ou impair, de conducteur divisantN et tel que L(f⊗χ,1)6= 0.

2. Formulaire pr´eliminaire

Cette section consiste en des mises au points concernant des questions essentiellement d´ej`a connues.

Elles concernent en2.a. la suppression des facteurs d’Euler des fonctionsL, en2.b. les opérateurs d’Atkin- Lehner, en2.c. et2.d. la torsion des formes modulaires par des caractères non nécessairement primitifs, en 2.e. la translation des formes modulaires par des nombres rationnels.

2.a. On note GL2(Q)⁺ le sous-groupe de GL2(Q) form´e par les matrices de d´eterminant > 0. On pose, pour

A B C D

∈GL₂(Q)⁺, etF forme primitive de poidsket de niveauM :

F

|

A B C D

(z) = (AD−BC)^k/2

(Cz+D)^k F(Az+B Cz+D).

Cette opération s’étendC-linéairement àC[GL2(Q)⁺] ; elle se factorise parC[PGL2(Q)⁺]. Gardons à l’esprit la formule suivante

(2π)^−sΓ(s)L(F, s) = Z ∞

0

F(iy)y^sd y y .

On a, pourh=

A 0

0 D

∈GL2(Q)⁺, Z ∞

0

F_|h(iy)y^sd y y = (A

D)^k/2−s Z ∞

0

F(iy)y^sd y y = (A

D)^k/2−s(2π)^−sΓ(s)L(F, s).

SoientT⁺ etT⁻ deux ensembles de nombres premiers. On pose F^[T⁺^,T⁻^]=F

|Q

p∈T+L_p(F,p^−k/2

p 0 0 1

)⁻¹Q

p∈T−L_p( ¯F ,p^−k/2

1 0 0 p

)⁻¹

,

de telle sorte que Z ∞

0

F^[T⁺^,T⁻^](iy)y^sd y

y = (2π)^−sΓ(s)L(F, s) Q

p∈T⁺Lp(F, p^−s)Q

p∈T⁻Lp( ¯F , p^s−k) =M^−s/2Λ^[T⁺^,T⁻^](F, s).

On pose, lorsqueR⁺ et R⁻ sont des sous-ensembles deT⁺ etT⁻ respectivement, F^[^T

+ R+,^T⁻

R−]

=F^[T⁺^−R⁺^,T⁻^−R⁻^]

|Q

p∈R+L_p(F,p^1−k/2

p 0 0 1

)⁻¹Q

p∈R−L_p( ¯F ,p^1−k/2

1 0 0 p

)⁻¹

si bien que

Z ∞

0

F^[^T

+ R+,^T⁻

R−]

(iy)y^sd y

y =M^−s/2Λ^[^T

+ R+,^T⁻

R−]

(F, s).

2.b. Mettons au point les normalisations pour les opérateurs d’Atkin-Lehner. Notons ψ⁰ le caractère de nebentypus deF. Notons M⁰ le conducteur de ψ⁰. Supposons que M soit à support dans ΣN. Soit S un sous-ensemble de ΣM. Notons ¯S = ΣM −S. Posons M =MSMS¯ et M⁰ =M_S⁰M_S⁰_¯ et ψ⁰ =ψ_S⁰ψ_S⁰_¯. Soit A B

C D

∈M2(Z) telle queMS|A,MS|D,M|C, MS¯|B,AD−BC =MS, A≡MS (modM⁰) etB ≡1

(4)

(modM_S⁰) ; on pose alors, comme Atkin et Li dans [Atkin-Li],WSF =F

|

A B C D

et il existe un nombre complexew_S(F) de module 1 tel queW_SF =w_S(F)F⊗ψ¯_S⁰. Lorsque

A B C D

∈M₂(Z) avecM_S|A,M_S|D, M|C,MS¯|B etAD−BC=M_S, on a de plus [A-L]

F

|

A B C D

=ψ_S⁰(B)ψS⁰¯(A/MS)WSF.

Lorsque M|N N⁰, M⁰|N et lorsque

A B C D

∈ M2(Z) v´erifie les conditions NSN_S⁰|A, NSN_S⁰|D, N N⁰|C, NS¯N_S⁰_¯|B etAD−BC=NSN_S⁰, on a

F

|

A B C D

=wS(F) ¯ψ_S⁰(B) ¯ψS⁰¯(A/(NSN_S⁰))F

|

N_SN_S⁰/M_S 0

0 1

.

LorsqueS est ´egal au support deM, on posewS(F) =w(F).

On a de plus [A-L, proposition 1.1],

wS(F)wS(F⊗ψ¯_S⁰) =ψ_S⁰(−1) ¯ψ⁰S¯(MS).

Mentionnons enfin la formule, pourS₁et S₂ deux sous-ensembles disjoints de Σ_M, WS₂(WS₁F) =ψ⁰_S₂(MS₁)WS₁∪S2F.

Cela permet de ramener le calcul dewS(F) aux cas o`uS est un singleton.

Ajoutons la formule suivante. Soitpun nombre premier tel quea_p(F)6= 0 (c’est le cas si et seulement siv_p(M) =v_p(m_ψ) ou siv_p(M)≤1). On a

w_{p}(F) = p^v^p^(N^)(k/2−1)τ(ψ_S⁰) ap(F)^v^p^(N⁾

où τ(ψ_S⁰) est la somme de Gauss du caractère (non nécessairement primitif)ψ⁰_S. Sipest spécial pour F, on aap(F)¯ap(F) =p^k−2.

2.c. Revenons maintenant sur la torsion des formes modulaires par des caractères. Soit αun caractère de Dirichlet de niveaum, de caractère de Dirichlet primitif associéω, lui-même de conducteurm_ω. Notons ¯f_α la forme modulaire (non nécessairement primitive) donnée par le développement

f¯α(z) =

∞

X

n=1

¯

anα(n)qⁿ.

Elle est li´ee `a la forme primitive ¯f⊗ω par la formule

f¯α= ( ¯f ⊗ω)^[Σ^m^,∅]. Posons de plus

Sαf¯= X

amodm

¯ α(a) ¯f

|

1 a/m

0 1

.

On a, lorsqueαest primitif (et donc ´egal `aω),

Sωf¯=τ(¯ω) ¯fω.

(5)

Soitp un nombre premier divisantm/mω. Notons β le caract`ere de Dirichlet de niveau m/p qui co¨ıncide avecαsur les entiers premiers `ap. On a

Sαf¯= ¯app^1−k/2(Sβf¯)

|

p 0 0 1

−β(p)S¯ βf .¯

Posons, dansC[X], R_p(X) = (¯a_pp^1−k/2X)^v^p^(m/m^ω⁾⁻¹(¯a_pp^1−k/2X−ω(p)).¯ Par une application répétée de la formule ci-dessus, on obtient

S_αf¯=τ(¯ω)( ¯f_ω)

|Q

pRp(

p 0 0 1

)

,

o`u le produit porte sur les nombres premiers divisantm/mω.

Il est n´ecessaire maintenant de distinguer plusieurs cas. Sivp(m/mω) = 0, on aRp= 1. Sivp(m/mω) = 1 eta_p= 0, on aR_p= 0. Siv_p(m/m_ω)>1 eta_p= 0, on aR_p=−¯ω(p).

Or on a, lorsquea_p6= 0 etp|N non sp´ecial pour ¯f,a_p¯a_p=p^k−1et donc, lorsque de plusp|mon a, dans C[PGL₂(Q)⁺],

R_p( p 0

0 1

) = (¯a_pp^1−k/2 p 0

0 1

)^v^p^(m/m^ω⁾(1−ω(p)a¯ _pp^−k/2 1 0

0 p

).

Cette derni`ere formule est encore valable lorsqueap= 0 etvp(m)>1.

Lorsquep|(m/mω) etpest sp´ecial pour ¯f, on aap¯ap=p^k−2 (et doncap6= 0). On a donc R_p(

p 0 0 1

) = (¯a_pp^1−k/2 p 0

0 1

)^v^p^(m/m^ω⁾(1−ω(p)a¯ _pp^1−k/2 1 0

0 p

).

Lorsquea_p= 0, v_p(m) = 1 etv_p(m_ω) = 0, on a Rp(

p 0 0 1

) =−¯ω(p).

On a donc

Sαf¯=τ(¯ω)( ¯f⊗ω)

[Σm,_Σ^Σ^m/mω

m/mω∩Σf]

|Q

pP_p(

p 0 0 1

)

,

o`u le monˆomePp(X) vaut (¯app^1−k/2X)^v^p^(m/m^ω⁾sauf siap = 0, vp(m) = 1 etvp(mχ) = 0, auquel cas on a Pp(

p 0 0 1

) =−¯ω(p).

2.d. Reprenons la situation laiss´ee en2.cen nous pla¸cant dans le cas o`uN⁰=mest un diviseur deN. Lemme. —Soitpun nombre premier tel quep|mω etp|(N⁰/m_ω). On a

( ¯f⊗ω)^[∅,p]

|Pp(

p 0 0 1

)

= ( ¯f⊗ω)

|Pp(

p 0 0 1

)

.

D´emonstration. — Il suffit de montrer queP_p = 0 ou quea_p( ¯f⊗ω) = 0 =a_p,p( ¯f ⊗ω). SupposonsP_p6= 0.

Si ap = 0, on a vp(mω) = 0 et vp(N⁰) = 1, ce qui entraˆıne ap( ¯f ⊗ω) = 0 = ap,p( ¯f ⊗ω). Restreignons maintenant notre attention au cas où ap 6= 0. Rappelons d’abord que cela entraˆıne que le conducteur de ψ a pour valuation p-adique vp(N) (ce qui entraˆıne ap,p( ¯f ⊗ω) = 0) ou que vp(N) = 1. Les hypothèses excluent le casvp(N) = 1. On a de plusap( ¯f⊗ω)6= 0 si et seulement siω est de conducteur premier àp (impossible par hypothèse) ou ¯ψ/ω est de conducteur premier àp; ce dernier cas est impossible, en effet on

(6)

ap|(N⁰/mω), et doncp|(N/mω) et les valuationsp-adiques des conducteurs deψet ¯ψ/ωsont ´egales et donc non nulles. On a bienap( ¯f⊗ω) = 0.

On a donc

S_αf¯=τ(¯ω)( ¯f⊗ω)

[Σ_N0,_(Σ^Σ^N^{0 −Σ}^mω

N0 −Σmω)∩Σf]

|Q

pP_p(

p 0 0 1

)

,

2.e. Soitn∈Z. R´ecrivons la forme modulaire ¯f

|

1 n/N

0 1

comme combinaison lin´eaire deFd 0 0 1

oùd parcourt les diviseurs deN et oùF parcourt les formes primitives de niveau divisantN²/d. Nous ne savons pas si un pareil calcul a déjà été rédigé. Notonsn⁰ le nombre entier etN⁰ le diviseur>0 deN qui vérifient n⁰/N⁰ =n/N. On a, par inversion de Fourier,

f¯

|

1 n⁰/N⁰

0 1

=X

α

α(n⁰) φ(N⁰)Sαf ,¯

où αparcourt les caractères de Dirichlet de niveauN⁰. En combinant avec la formule trouvée en 2.d., on obtient

f¯

|

1 n/N

0 1

=X

ω

ω(n⁰)

φ(N⁰)τ(¯ω)( ¯f⊗ω)

[Σ_N0,_(Σ^Σ^N^{0 −Σ}^mω

N0 −Σmω)∩Σf]

|Q

pPp(

p 0 0 1

)

o`u ω parcourt les caract`eres de Dirichlet primitifs de conducteurm_ω divisantN⁰, le produit portant sur les nombres premiers divisantN⁰/m_ω.

3. La démonstration du théorème A Soitg=

a b c d

∈SL2(Z) telle que la classe moduloN de (c, d) soit ´egale `a (u, v).

On peut comprendre notre d´emarche ainsi. La fonction f_|g est une forme modulaire pour le groupe de congruence Γ(N), si bien que la fonction f

|g

N 0 0 1

est modulaire pour le groupe de congruence Γ₁(N)∩Γ₀(N²). Cette dernière forme modulaire s’écrit donc comme combinaison linéaire de fonctions du typeF

|

d 0 0 1

, oùF parcourt les formes primitives de niveau M divisantN² et dles entiers divisant N²/M. Nous allons montrer que les formes primitives qui interviennent dans cette écriture sont de la forme f⊗χ, oùχparcourt les caractères de Dirichlet de niveau divisantN et donner explicitement les coefficients de cette combinaison linéaire.

Lorsquek= 2, on aξ_f(u, v) =R∞

0 f_|g(iy)dy. Lorsque, de plus,s= 1 ethest une matrice diagonale de PGL₂(Q)⁺, etχest un caract`ere de Dirichlet de conducteur divisant N, on a

Z ∞

0

(f⊗χ)_|h(iy)d y= 1

2πL(f⊗χ,1) = 1 pNχ

Λ(f ⊗χ,1).

C’est pourquoi le théorème A se déduit de la proposition B suivante, par intégration de chaque membre de l’égalité ci-dessous le long de la géodésique reliant 0 à∞dans le demi-plan de Poincaré.

Remarquons que la proposition B permet de démontrer des analogues du théorème A pour les formes modulaires de poids6= 2.

PropositionB. —On a f_|g= w(f)

φ(N⁰) X

χ

χS¯(mχ,S)( ¯ψSχ¯S)(m_ψχ,S¯)(ψSχS)(−1)τ⁰(χS)τ⁰( ¯ψS¯χ¯S¯)( ¯ψχ)(¯ N_S⁰_¯v NS¯

)χ(N_S⁰u

N_S )( ¯ψS¯χ¯²S¯)(Nχ,S)

(7)

wS(f⊗χ)(f⊗χ)

[_(S(N^Σ₀^N^{0 −}^S(mχ)

)−S(mχ))∩Σf, ^Σ^N^{0 −}

S(m¯ ψ¯¯χ) ( ¯S(N0)−S(m¯ ψ¯¯χ))∩Σf]

|

N_S⁰_¯

N_χ,SNS¯m_ψχ,S¯ 0

0 ^N

0 S

N_Sm_χ,S_¯

! Q

p∈S(N0)Q_p,f,¯_χ(

1 0 0 p

)Q

p∈S(N¯ 0)Q_p,f,χψ(

p 0 0 1

)

,

oùχ parcourt les caractères de Dirichlet primitifs tel quem_χ,Sm_ψχ,S¯|N⁰. Démonstration. — Considérons

A B C D

∈ M2(Z) telle que NSN_S⁰|A, NSN_S⁰|D, N N⁰|C, NS¯N_S⁰_¯|B, AD−BC=NSN_S⁰,A≡uN_S⁰ (modNS¯) etB≡v/NS¯ (modNS). Soitk∈Ztel quen≡uv (mod NS¯) etn≡ −uv (mod NS). Notre point de départ réside dans l’identité

Γ1(N)g= Γ1(N)

0 −1

N 0

1 n/N

0 1

A B C D

N N_S⁰ 0

0 NS

−1

,

que le lecteur v´erifiera grˆace au lemme chinois. Commew(f) ¯f =f

|

0 1

−N 0

, on a la formule

f_|g=w(f) ¯f

|

1 n/N

0 1

A B C D

N N_S⁰ 0

0 NS

⁻¹,

et donc, d’apr`es la formule trouv´ee en2.e., f_|g=w(f)X

ω

ω(n⁰)

φ(N⁰)τ(¯ω)( ¯f⊗ω)

[Σ_N0,_(Σ^Σ^N^{0 −Σ}^mω

N0 −Σmω)∩Σf]

|Q

pP_p(

p 0 0 1

)

A B C D

N N_S⁰ 0

0 NS

⁻¹

où ω parcourt les caractères de Dirichlet primitifs de conducteurm_ω divisantN⁰, le produit portant sur les nombres premiers divisantN⁰. Appliquons les formules de2.b. à F = ¯f ⊗ω; on aM =N_ω, ψ⁰ = ¯ψω² et F⊗ψ¯⁰_S= ¯f ⊗ωψSω¯_S² = ¯f⊗ψSω¯SωS¯=f⊗ψ¯S¯ω¯SωS¯.

Soitp∈ΣN. Soitrun entier≥0. On a ( ¯f⊗ω)

|

p^r 0 0 1

A B C D

= ( ¯f⊗ω)

|

p^rA B C D/p^r

1 0 0 p^r

sip∈S et

( ¯f ⊗ω)

|

p^r 0 0 1

A B C D

= ( ¯f ⊗ω)

|

A p^rB C/p^r D

p^r 0 0 1

sip∈S. On a de plus les formules¯ ( ¯f ⊗ω)

|

p^rA B C D/p^r

= (ψ_Sω¯²_S)(B)(ψS¯ω¯_S²_¯)(p^rA/(N_SN_S⁰))w_S( ¯f⊗ω)( ¯f⊗ωS¯ω¯_Sψ_S)

|

NSN_S⁰/Nω,S¯ 0

0 1

lorsquep^r|(NSN_S⁰/Nω,S) et ( ¯f⊗ω)

|

A p^rB C/p^r D

= (ψSω¯²_S)(p^rB)(ψS¯ω¯S²¯)(A/(NSN_S⁰))wS( ¯f⊗ω)( ¯f⊗ωS¯ω¯SψS)

|

NSN_S⁰/Nω,S¯ 0

0 1

lorsquep^r|(NS¯N_S⁰_¯/N_ω,S¯). Soit P ∈C[X]. On a alors ( ¯f⊗ω)

|P(

p 0 0 1

)

A B C D

=

(ψSω¯_S²)(B)(ψS¯ω¯²S¯)(A/(NSN_S⁰))wS( ¯f⊗ω)( ¯f⊗ωS¯ω¯SψS)

|P((ψS¯ω¯²_¯

S)(p)

1 0 0 p

)

NSN_S⁰/Nω,S¯ 0

0 1

.

(8)

sip∈S etP de degr´e≤vp(NSN_S⁰/Nω,S) et on a ( ¯f⊗ω)

|P(

p 0 0 1

)

A B C D

=

(ψSω¯_S²)(B)(ψS¯ω¯²S¯)(A/(NSN_S⁰))wS( ¯f⊗ω)( ¯f⊗ωS¯ω¯SψS)

|P((ψSω¯²_S)(p)

p 0 0 1

)

NSN_S⁰/Nω,S¯ 0

0 1

.

sip∈S¯ etP de degr´e≤vp(NS¯N_S⁰_¯/N_ω,S¯).

On en d´eduit que ( ¯f⊗ω)^[{p},∅]

|

A B C D

= (ψ_Sω¯_S²)(B)(ψS¯ω¯²_S_¯)(A/(N_SN_S⁰))w_S( ¯f⊗ω)( ¯f ⊗ωS¯ω¯_Sψ_S)^[∅,{p}]

|

N_SN_S⁰/N_ω,S_¯ 0

0 1

si etp∈S et ( ¯f⊗ω)^[{p},∅]|

A B C D

= (ψ_Sω¯²_S)(B)(ψS¯ω¯_S²_¯)(A/(N_SN_S⁰))w_S( ¯f⊗ω)( ¯f⊗ωS¯ω¯_Sψ_S)^[{p},∅]

|

N_SN_S⁰/N_ω,S_¯ 0

0 1

sip∈S. Un calcul analogue donne les formules¯ ( ¯f⊗ω)^[∅,{p}]

|

A B C D

= (ψSω¯_S²)(B)(ψS¯ω¯²S¯)(A/(NSN_S⁰))wS( ¯f⊗ω)( ¯f ⊗ωS¯ω¯SψS)^[{p},∅]

|

NSN_S⁰/Nω,S¯ 0

0 1

si etp∈S et ( ¯f⊗ω)^[∅,{p}]|

A B C D

= (ψSω¯²_S)(B)(ψS¯ω¯S²¯)(A/(NSN_S⁰))wS( ¯f⊗ω)( ¯f⊗ωS¯ω¯SψS)^[∅,{p}]

|

NSN_S⁰/Nω,S¯ 0

0 1

sip∈S.¯

Dans les quatre formules qui précèdent, on peut remplacer, partout où il intervient, le symbole{p}par

{p}

{p}∩Σf.

Remarquons qu’on a, dansC(X),Qp,f,ω(X) =X^−v^p^(N⁰^/m^χ⁾Pp(X). On a Y

p∈S(N⁰)

Pp((ψS¯ω¯S²¯)(p) 1 0

0 p

) Y

p∈S(N¯ ⁰)

Pp((ψSω¯²_S)(p) p 0

0 1

) = (ψS¯ω¯S²¯)(N_S⁰/mω,S)(ψSω¯²_S)(NS⁰¯/m_ω,S¯)

N_S⁰_¯/mω,S 0 0 N_S⁰/m_ω,S¯

Y

p∈S(N⁰)

Qp,f,ω((ψS¯ω¯S²¯)(p) 1 0

0 p

) Y

p∈S(N¯ ⁰)

Qp,f,ω((ψSω¯²_S)(p) p 0

0 1

).

Revenons `a notre calcul principal. On a ( ¯f ⊗ω)

[Σ_N0,_(Σ^Σ^N^{0 −Σ}^mω

N0 −Σmω)∩Σf]

|Q

pP_p(

p 0 0 1

)

A B C D

N N_S⁰ 0

0 NS

⁻¹ = (ψSω¯_S²)(NS⁰¯B/m_ω,S¯)(ψS¯ω¯S²¯)(A/(NSmω,S)wS( ¯f⊗ω)

( ¯f⊗ωS¯ω¯SψS)

[ ^Σ^N^{0 −S(mχ)}

(S(N0)−S(mχ))∩Σf, ^Σ^N^{0 −}

S(m¯ ψ¯¯χ) ( ¯S(N0)−¯S(mψ¯¯χ))∩Σf]

|

N_S⁰_¯

N_ω,S_¯ NS¯m_ω,S¯ 0 0 _N^N^S⁰

Sm_ω,S

! Q

p∈S(N0)Qp,f,ω((ψS¯ω¯²_¯

S)(p)

1 0 0 p

)Q

p∈¯S(N0)Qp,f,ω((ψSω¯_S²)(p)

p 0 0 1

)

.

(9)

Par ailleurs, on a (ψSω¯²_S)(N_S⁰_¯B) = (ψSω¯²_S)(N_S⁰_¯v/NS¯), (ψS¯ω¯_S²_¯)(A/NS) = (ψS¯ω¯_S²_¯)(uN_S⁰/NS) et ω(n⁰) = ω(nN⁰/N) =ωS(nN⁰/N)ωS¯(nN⁰/N) =ωS(−uvN⁰/N)ωS¯(uvN⁰/N) et donc

ω(n⁰) =ω_S(−1)ω(uN_S⁰/N_S)ω(vN_S⁰_¯/NS¯).

On a donc la simplification

ω(n⁰)(ψSω¯_S²)(NS⁰¯B)(ψS¯ω¯S²¯)(A/NS) =ωS(−1)ψSω¯SωS¯(NS⁰¯v/NS¯)ψS¯ω¯S¯ωS(N_S⁰u/NS).

De plus on a

Qp,f,ω((ψS¯ω¯S²¯)(p) 1 0

0 p

) =Qp,f,¯ωS¯ω_SψS¯( 1 0

0 p

) sip∈S et

Qp,f,ω((ψSω¯_S²)(p) p 0

0 1

) =Qp,f,ωS¯ω¯_Sψ_S( p 0

0 1

) sip∈S.¯

En combinant ces formules, on obtient f_|g= w(f)

φ(N⁰) X

ω

τ(¯ω)ωS(−1)(ψSω¯SωS¯)(N_S⁰_¯v NS¯

)(ψS¯ω¯S¯ωS)(N_S⁰u

N_S )wS( ¯f⊗ω)( ¯ψS¯ω²S¯)(mω,S)( ¯ψSω²_S)(m_ω,S¯)

( ¯f⊗ωS¯ω¯SψS)

[ ^Σ^N^{0 −S(mχ)}

(S(N0)−S(mχ))∩Σf

, ^Σ^N^{0 −}

S(m¯ ψ¯χ¯) ( ¯S(N0)−S(m¯ ψ¯χ¯))∩Σf

]

|

N_S⁰_¯

N¯ω,SNS¯m_ω,S¯ 0 0 _N ^N^S⁰

Smω,S

! Q

p∈S(N0)Qp,f,¯ωS¯ωS ψS¯(

1 0 0 p

)Q

p∈¯S(N0)Qp,f,ωS¯ωS ψS¯ (

p 0 0 1

)

,

o`u ω parcourt les caract`eres de Dirichlet primitifs de conducteur divisant N⁰. Simplifions encore cette formule.

On a la relation entre sommes de Gauss

τ(¯ω) = ¯ωS(m_ω,_¯S¯)¯ωS¯(mω,S¯ )τ(¯ωS)τ(¯ωS¯).

Cela donne

τ(¯ω)( ¯ψS¯ω²S¯)(mω,S)( ¯ψSω²_S)(m_ω,S¯) =τ(¯ωS)τ(¯ωS¯)( ¯ψS¯ωS¯)(mω,S)( ¯ψSωS)(m_ω,S¯).

Récrivons notre formule en notant χ le caractère de Dirichlet primitif associé à ωS¯ω¯Sψ¯S¯. On a donc χS = ¯ωS etχS¯=ωS¯ψ¯S¯,S(mω) =S(mχ), ¯S(mω) = ¯S(mψχ),Nω,S¯ =Nχ,S etωS(−1) =χS(−1).

On obtient f_|g= w(f)

φ(N⁰) X

χ

τ⁰(χS)τ⁰( ¯ψS¯χ¯S¯)χS(−1)( ¯ψχ)(¯ N_S⁰_¯v NS¯

)χ(N_S⁰u

N_S )wS(f ⊗ψ¯Sχ¯SχS¯)χS¯(mχ,S)( ¯ψSχ¯S)(m_ψχ,S¯)

(f⊗χ)

[ ^Σ^N^{0 −S(mχ)}

(S(N0)−S(mχ))∩Σf

, ^Σ^N^{0 −}

S(m¯ ψ¯¯χ) ( ¯S(N0)−S(m¯ ψ¯¯χ))∩Σf

]

|

N_S⁰_¯

N_χ,SNS¯m_ψχ,S¯ 0 0 _N^N^S⁰

Sm_χ,S_¯

! Q

p∈S(N0)Qp,f,¯χ(

1 0 0 p

)Q

p∈S(N¯ 0)Qp,f,χψ(

p 0 0 1

)

,

o`u χparcourt les caract`eres de Dirichlet primitifs de conducteur divisantN⁰. Appliquons la relation reliant wS(F) etwS(F⊗ψ¯⁰_S) (voir2.b), pourF =f⊗χ(et doncψ⁰=ψχ²). On obtient

wS(f⊗χ)wS(f ⊗ψ¯Sχ¯SχS¯) =ψS(−1)( ¯ψS¯χ¯²S¯)(Nχ,S).

Cela permet de substituerwS(f⊗ψ¯Sχ¯SχS¯) pour obtenir la proposition B.

(10)

4. Le produit scalaire de Petersson

Soit Γ un sous-groupe d’indice fini de SL2(Z) contenant la matrice

−1 −0

0 −1

. Soient f1 et f2 deux formes modulaires paraboliques de poids 2 pour Γ. Rappelons que le produit scalaire de Petersson def1 et f2 est donn´e par la formule :

< f1, f2>= 1 [SL2(Z) : Γ]

Z

D_Γ

f1(z)f₂(z)dx dy,

o`u D_Γ est un domaine fondamental pour Γ dans le demi-plan de Poincar´e H. Posons τ =

0 −1 1 −1

et σ=

0 0 1 −1

. Posons de plus ρ=e^2iπ/3∈H. SoitRun syst`eme de repr´esentants de Γ\SL2(Z).

Th´eor`emeC. —On a

< f1, f2>= 1 2i[SL₂(Z) : Γ]

X

g∈R

Z g∞

g0

f1(z)dz Z gρ

gi

f2(z)dz,

et

< f₁, f₂>= −i 12[SL₂(Z) : Γ]

X

g∈R

Z gτ∞

gτ0

f₁(z)dz Z g∞

g0

f₂(z)dz− Z g∞

g0

f₁(z)dz Z gτ∞

gτ0

f₂(z)dz.

Démonstration. — Posons ω₁ = f₁(z)dz et ω₂ = f₂(z)dz. Pour g dans SL₂(Z), posons ω_i|g = f_i|gdz (i∈ {1,2}). Considérons le domaine fondamentalD₀ pour SL₂(Z) constitué par le triangle hyperbolique de sommets∞, 0 etρ. On a

< f1, f2>= 1 2i[SL₂(Z) : Γ]

Z

DΓ

ω1∧ω2= 1 2i[SL₂(Z) : Γ]

X

g∈R

Z

D0

ω1|g∧ω2|g.

PosonsF_g(z) =Rz

ρ f₂_|g(u)du. On a df₁_|gF_g(z)dz=ω₁∧ω₂. Cela donne, par la formule de Stokes, 2i[SL2(Z) : Γ]< f1, f2>=X

g∈R

Z

∂D0

f1|gFg(z)dz

=X

g∈R

Z 0

∞

f1|gFg(z)dz+ Z ρ

0

f1|gFg(z) + Z ρ

0

f1|gFg(z).

Utilisons queσest d’ordre 2 dans PSL2(Z) et qu’on aτ ρ=ρet τ∞= 0. Cela donne 2i[SL2(Z) : Γ]< f1, f2>=

1 2

X

g∈R

Z 0

∞

f1|gFg(z)dz+ Z 0

∞

f1|gσFgσ(z)dz+X

g∈R

Z ρ

∞

f1|gFg(z)dz+ Z i

ρ

nf tyf1|gτFgτ(z)dz.

Utilisons la relationFgh(hz) =Rz

h⁻¹ρf2|g(u)du. On obtient 2i[SL₂(Z) : Γ]< f₁, f₂>= 1

2 X

g∈R

Z 0

∞

ω_1|g Z ρ

σρ

ω_2|g+ Z ∞

ρ

ω_1|gτ Z ρ

τ²ρ

ω_2|g.

(11)

Le dernier terme est nul. D´ecomposons le deuxi`eme facteur du premier terme. On a 2i[SL₂(Z) : Γ]< f₁, f₂>= 1

2 X

g∈R

Z ∞

0

ω_1|g( Z σi

σρ

ω_2|g+ Z ρ

σi

ω_2|g).

Commeσi=i, et commeR∞

0 ω1|g(Rσi

σρω2|g) =R∞

0 ω1|gσ(Rρ

i ω2|gσ), on a la première formule du théorème.

D´emontrons maintenant la deuxi`eme formule. On a 2i[SL2(Z) : Γ]< f1, f2>=X

g∈R

Z ∞

0

ω_1|g Z ∞

i

ω_2|g− Z ∞

0

ω_1|g Z ∞

ρ

ω_2|g.

Calculons séparément les deux séries de termes. On a X

g∈R

Z ∞

0

ω_1|g Z ∞

i

ω_2|g= 1 2

X

g∈R

Z ∞

0

ω_1|g Z ∞

i

ω_2|g+ Z ∞

0

ω_1|gσ Z ∞

i

ω_2|gσ,

et commeσ∞= 0,

X

g∈R

Z ∞

0

ω_1|g Z ∞

i

ω_2|g= 1 2

X

g∈R

Z ∞

0

ω_1|g Z ∞

0

ω_2|g.

Par ailleurs, on a Z ∞

0

ω_1|g Z ∞

ρ

ω_2|g= 1 3

X

g∈R

Z ∞

0

ω_1|g Z ∞

ρ

ω_2|g+ Z ∞

0

ω_1|gτ Z ∞

ρ

ω_2|gτ+ Z ∞

0

ω_1|gτ2

Z ∞

ρ

ω_2|gτ2.

Remarquons qu’on aR∞

0 ω_1|g+R∞

0 ω_1|gτ+R∞

0 ω_1|gτ2 = 0. C’est pourquoi on a Z ∞

0

ω_1|g Z ∞

ρ

ω_2|g= 1 3

X

g∈R

Z ∞

0

ω_1|gτ( Z ∞

ρ

ω_2|gτ− Z ∞

ρ

ω_2|g) + Z ∞

0

ω_1|gτ2( Z ∞

ρ

ω_2|gτ2− Z ∞

ρ

ω_2|g).

Comme (R∞

ρ ω_2|gτ−R∞

ρ ω_2|g) =−R∞

0 ω_2|get commeR∞

ρ ω_2|gτ2−R∞

ρ ω_2|g=R∞

0 ω_2|gτ2, on obtient, en posant λi(g) =R∞

0 ωi (i∈ {1,2}),

Z ∞

0

ω_1|g Z ρ

i

ω_2|g= 1

2 X

g∈R

λ1(g)λ2(g) +1 3

X

g∈R

λ1(gτ)λ2(g)−1 3

X

g∈R

λ1(gτ)λ2(g) =1 6

X

g∈R

λ1(g)λ2(g) +1 3

X

g∈R

λ1(gτ)λ2(g).

En utilisant la relationλ1(g) +λ1(gτ) +λ1(gτ²) = 0, on obtient finalement Z ∞

0

ω_1|g Z ρ

i

ω_2|g =1 6

X

g∈R

λ1(gτ)λ2(g)−1 6

X

g∈R

λ1(gτ)λ2(gτ²).

Cela ach`eve la d´emonstration.

Corollaire. —Supposons qu’on ait Γ = Γ1(N), on a

< f1, f2>= i

12[SL₂(Z) : Γ₁(N)]

X

(u,v)∈(Z/NZ)²

ξf₁(v,−u−v)ξf₂(u, v)−ξf₁(u, v)ξf₂(v,−u−v).