Éclatements à la McPherson-Procesi Une application aux valeurs zêta multiples

(1)

Éclatements et MZV

Éclatements Étude deζ(2) Définition Applications Suites d’éclatements Rappel sur les MZV

Définition générale Produit stuffle Stuffle et intégrales : ex.

Stuffle et intégrales Applications

Les espaces M0,n Éclatements et stuffle : les espacesXn Présentation motivique du mélange contractant

Éclatements à la McPherson-Procesi

Une application aux valeurs zêta multiples

Ismaël Soudères

Le 13 janvier 2009

(2)

Éclatements et MZV

1 Éclatements

Éclatements et intégrales : étude de cas Définition

Exemples d’applications Suites d’éclatements

2 Rappels sur les valeurs zêta multiples Définition générale

Produit stuffle

Produit stuffle et intégrales : ζ(2)ζ(2) Produit stuffle et intégrales

3 Applications

Espaces de modules de courbes et MZV Éclatements et stuffle : les espaces X n

Présentation motivique du mélange contractant

(3)

Éclatements et MZV

L’exemple simple de ζ (2)

Le nombre ζ(2) défini par la série

+∞

X

n=1

1 n ²

admet l’écriture suivante sous forme d’intégrale ζ(2) =

Z

0<t

1

<t

2

<1

1 t 2

1 1 − t 1

dt 1 dt 2 .

En effet, Z

0<t

₁

<t

₂

<1

1 t 2

1 1 − t 1

dt 1 dt 2 = Z 1

0 1 t 2

Z t

₂

0 1 1 − t 1

dt 1

dt 2

= Z 1

0 1 t 2

Z t

2

0 +∞

X

n=0

t ₁ ⁿ dt 1

! dt 2

= Z 1

0 1 t 2

+∞

X

n=1

1 n t ₂ ⁿ⁺¹

! dt 2 =

+∞

X

n=1

1 n ² .

(4)

Éclatements et MZV

L’exemple simple de ζ (2)

Le nombre ζ(2) défini par la série

+∞

X

n=1

1 n ²

admet l’écriture suivante sous forme d’intégrale ζ(2) =

Z

0<t

1

<t

2

<1

1 t 2

1 1 − t 1

dt 1 dt 2 .

En effet, Z

0<t

₁

<t

₂

<1

1 t 2

1 1 − t 1

dt 1 dt 2 = Z 1

0 1 t 2

Z t

₂

0 1 1 − t 1

dt 1

dt 2

= Z 1

0 1 t 2

Z t

2

0 +∞

X

n=0

t ₁ ⁿ dt 1

! dt 2

= Z 1

0 1 t 2

+∞

X

n=1

1 n t ₂ ⁿ⁺¹

! dt 2 =

+∞

X

n=1

1 n ² .

(5)

Éclatements et MZV

Représentation simpliciale de ζ(2)

On note dans la suite ∆ _n = {0 < t 1 < · · · < t n < 1}. La situation géométrique correspondant à ζ(2) se décrit ainsi :

singularités de la forme intégrée : t 2 = 0 , t 1 = 1.

bord du domaine d’intégration : t 1 = 0, t 1 = t 2 , t 2 = 1.

Z

∆

₂

1 t 2

1 1 − t 1

dt 1 dt 2

Divergence a priori en (0, 0) et (1, 1). Pour résoudre le problème en (0, 0) :

Passage en coordonnées polaires

Intégrer sur un cube

(6)

Éclatements et MZV

Passage en coordonnées polaires

Le changement de variables

t 1 = r cos(θ) t 2 = r sin(θ) donne

ζ(2) = Z

∆

₂

1 t 2

1 1 − t 1

dt 1 dt 2

= Z π/2

π/4

Z 1/ sin(θ) r=0

1 r sin(θ)(1 − r cos(θ)) r dr dθ.

C’est tronquer le simplexe en un sens

"remplacer" (0, 0) par un

petit arc de cercle "à ε près".

(7)

Éclatements et MZV

Intégrer sur un cube

Le changement de variables

t 2 = x 1 , t 1 = x 1 x 2

donne ζ(2) =

Z

∆

2

1 t 2

1 1 − t 1

dt 1 dt 2 = Z 1

0 Z 1 0

1 x 1 (1 − x 1 x 2 ) x 1 dx 1 dx 2 . La transformation géométrique correspondante est

t1=1

t1=0 t1=t2

t2=1 t1=t2=0

// /o /o /o /o /o /o /o

(8)

Éclatements et MZV

Interprétation géométrique de ces changements de variables

Remplacement de (0, 0) par l’ensemble des directions arrivant sur (0, 0) :

Coordonnées polaires :

changement de variables : t 2 = x 1 , t 1 = x 1 x 2 .

t 1

t 2

t 2 = x 1 = 1

C’est l’éclatement de (0, 0) dans R ² .

(9)

Éclatements et MZV

Interprétation géométrique de ces changements de variables

Remplacement de (0, 0) par l’ensemble des directions arrivant sur (0, 0) :

Coordonnées polaires :

changement de variables : t 2 = x 1 , t 1 = x 1 x 2 .

t 1

t 2

t 2 = x 1 = 1

C’est l’éclatement de (0, 0) dans R ² .

(10)

Éclatements et MZV

Interprétation géométrique de ces changements de variables

Remplacement de (0, 0) par l’ensemble des directions arrivant sur (0, 0) :

Coordonnées polaires :

changement de variables : t 2 = x 1 , t 1 = x 1 x 2 .

t 1

t 2

t 2 = x 1 = 1

C’est l’éclatement de (0, 0) dans R ² .

(11)

Éclatements et MZV

Définition d’un éclatement

Description abstraite

Soit X une variété lisse et Y une sous-variété lisse fermée, on note N X Y le fibré normal de Y . L’éclatement de X le long de Y est la donnée d’une variété lisse Bl Y X et d’un morphisme

p : Bl Y X −→ X tel que

p induit un isomorphisme Bl Y X \ p ⁻¹ (Y ) ' X \ Y , on a un isomorphisme p ⁻¹ (Y ) ' P (N X Y ).

En termes d’équations

Supposons Y donnée dans A ⁿ par

x 1 = · · · = x k = 0. Alors Bl Y X ⊂ A ⁿ × P ^k−1 est donné par

x i X j = x j X i .

Bl Y X //

p L L L L L L L &&

L L

L L A ⁿ × P ^k−1

p

₁

A ⁿ

(12)

Éclatements et MZV

Définition d’un éclatement

Description abstraite

Soit X une variété lisse et Y une sous-variété lisse fermée, on note N X Y le fibré normal de Y . L’éclatement de X le long de Y est la donnée d’une variété lisse Bl Y X et d’un morphisme

p : Bl Y X −→ X tel que

p induit un isomorphisme Bl Y X \ p ⁻¹ (Y ) ' X \ Y , on a un isomorphisme p ⁻¹ (Y ) ' P (N X Y ).

En termes d’équations

Supposons Y donnée dans A ⁿ par

x 1 = · · · = x k = 0.

Alors Bl Y X ⊂ A ⁿ × P ^k−1 est donné par

x i X j = x j X i .

Bl Y X //

p L L L L L L L &&

L L

L L A ⁿ × P ^k−1

p

₁

A ⁿ

(13)

Éclatements et MZV

Des éclatements pour quoi faire ?

Supprimer des singularités

Éclatement de la courbe C : y ² − x ² (x + 1) vue par Hartshorne

Les équations de C dans Bl 0,0 A ² :

y ² = x ² (x + 1), xu = ty , [u, t] ⊂ P ¹ . Pour t 6= 0, y = xu et x ² u ² = x ² (x + 1)

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

(14)

Éclatements et MZV

Des éclatements pour quoi faire ?

"Bonnes compactifications"

Il s’agit à partir d’une variété ouverte X , d’obtenir une variété compacte X ¯ contenant X et telle que D = ¯ X \ X ait de bonnes propriétés (à croisements normaux par exemple).

Exemples

Espaces de configurations. Soit X une variété (projective), et C n (X ) ⊂ X ⁿ l’ouvert défini par x i 6= x j . [FM94] (1994, Fulton, MacPherson)

Espaces de modules de courbes M 0,n . M 0,n est en un sens l’espace de configuration de C _n−3 ( P ¹ \ {0, 1, ∞}).

Les arrangements de sous-espaces ; par exemple A ⁿ \ S H i . [DCP95] (1995,Concini, Procesi)

En partant de X ⊂ X 1 une variété compacte munie d’une

stratification par des fermés S de X 1 \ X , on cherche à

obtenir une compactification X ¯ à partir de la stratification.

[MP98] (1998, MacPherson, Procesi)

(15)

Éclatements et MZV

Des éclatements pour quoi faire ?

"Bonnes compactifications"

Il s’agit à partir d’une variété ouverte X , d’obtenir une variété compacte X ¯ contenant X et telle que D = ¯ X \ X ait de bonnes propriétés (à croisements normaux par exemple).

Exemples

Espaces de configurations. Soit X une variété (projective), et C n (X ) ⊂ X ⁿ l’ouvert défini par x i 6= x j . [FM94] (1994, Fulton, MacPherson)

Espaces de modules de courbes M 0,n . M 0,n est en un sens l’espace de configuration de C _n−3 ( P ¹ \ {0, 1, ∞}).

Les arrangements de sous-espaces ; par exemple A ⁿ \ S H i . [DCP95] (1995,Concini, Procesi)

En partant de X ⊂ X 1 une variété compacte munie d’une

stratification par des fermés S de X 1 \ X , on cherche à

obtenir une compactification X ¯ à partir de la stratification.

[MP98] (1998, MacPherson, Procesi)

(16)

Éclatements et MZV

Des éclatements pour quoi faire ?

"Bonnes compactifications"

Il s’agit à partir d’une variété ouverte X , d’obtenir une variété compacte X ¯ contenant X et telle que D = ¯ X \ X ait de bonnes propriétés (à croisements normaux par exemple).

Exemples

Espaces de configurations. Soit X une variété (projective), et C n (X ) ⊂ X ⁿ l’ouvert défini par x i 6= x j . [FM94] (1994, Fulton, MacPherson)

Espaces de modules de courbes M 0,n . M 0,n est en un sens l’espace de configuration de C _n−3 ( P ¹ \ {0, 1, ∞}).

Les arrangements de sous-espaces ; par exemple A ⁿ \ S H i . [DCP95] (1995,Concini, Procesi)

En partant de X ⊂ X 1 une variété compacte munie d’une stratification par des fermés S de X 1 \ X , on cherche à obtenir une compactification X ¯ à partir de la stratification.

[MP98] (1998, MacPherson, Procesi)

(17)

Éclatements et MZV

Suites d’éclatements

Philosophie

Soit X 1 une variété lisse et S = {S i } un ensemble partiellement ordonné (pour ⊂) de sous-variétés lisses fermées.

Supposons que l’on veuille éclater le long de chaque S i . Alors avant d’éclater une strate S i , il faut avoir éclaté le long de toutes les strates S j ⊂ S i .

Exemple dans A ³

On veut éclater le long de (0, 0, 0), (t, t, t) et (0, 0, t ) :

On veut éclater le long de

(0, 0, 0), (1, 1, 1), (t, t , t ), (0, 0, t)

et (t , 1, 1) :

(18)

Éclatements et MZV

Suites d’éclatements

Philosophie

Soit X 1 une variété lisse et S = {S i } un ensemble partiellement ordonné (pour ⊂) de sous-variétés lisses fermées.

Supposons que l’on veuille éclater le long de chaque S i . Alors avant d’éclater une strate S i , il faut avoir éclaté le long de toutes les strates S j ⊂ S i .

Exemple dans A ³

On veut éclater le long de (0, 0, 0), (t, t, t) et (0, 0, t ) :

On veut éclater le long de

(0, 0, 0), (1, 1, 1), (t, t , t ), (0, 0, t)

et (t , 1, 1) :

(19)

Éclatements et MZV

Suites d’éclatements

Philosophie

Soit X 1 une variété lisse et S = {S i } un ensemble partiellement ordonné (pour ⊂) de sous-variétés lisses fermées.

Supposons que l’on veuille éclater le long de chaque S i . Alors avant d’éclater une strate S i , il faut avoir éclaté le long de toutes les strates S j ⊂ S i .

Exemple dans A ³

On veut éclater le long de (0, 0, 0), (t, t, t) et (0, 0, t ) :

On veut éclater le long de

(0, 0, 0), (1, 1, 1), (t, t , t ), (0, 0, t)

et (t , 1, 1) :

(20)

Éclatements et MZV

Suites d’éclatements

Théorème (2003, Hu [Hu03])

Soit X 0 un ouvert d’une variété lisse X . On suppose que X \ X 0 = ∪ i∈I D i avec D i lisses fermées irréductibles et

1

∀i, j ∈ I , D i et D j sont d’intersection lisse et T X (D i ) ∩ T X (D j ) = T X (D i ∩ D j ) ;

2

pour tout i , j ∈ I , D i ∩ D j = ∅ ou ` D l .

En posant D = {D i } i∈I , il existe alors une suite d’éclatements Bl D X → Bl D 6 k−1 X → · · · → Bl D 6 0 X → X telle que

1

Bl D X est lisse ; (Bl D X ) \ X 0 = S

i∈I f D i est un diviseur à croisements normaux ;

2

Pour tout entier k, D f i

₁

∩ · · · ∩ D f i

_k

est non vide si et

seulement si D i

1

, . . . , D i

_k

sont comparables.

(21)

Éclatements et MZV

Suites d’éclatements

Théorème (2003, Hu [Hu03])

Soit X 0 un ouvert d’une variété lisse X . On suppose que X \ X 0 = ∪ i∈I D i avec D i lisses fermées irréductibles et

1

∀i, j ∈ I , D i et D j sont d’intersection lisse et T X (D i ) ∩ T X (D j ) = T X (D i ∩ D j ) ;

2

pour tout i , j ∈ I , D i ∩ D j = ∅ ou ` D l .

En posant D = {D i } i∈I , il existe alors une suite d’éclatements Bl D X → Bl D 6 k−1 X → · · · → Bl D 6 0 X → X telle que

1

Bl D X est lisse ; (Bl D X ) \ X 0 = S

i∈I f D i est un diviseur à croisements normaux ;

2

Pour tout entier k, D f i

₁

∩ · · · ∩ D f i

_k

est non vide si et

seulement si D i

1

, . . . , D i

_k

sont comparables.

(22)

Éclatements et MZV

Rappels sur les valeurs zêta multiples

Définition des MZV

Pour tout p-uplet k = (k 1 , . . . , k p ) d’entier avec k 1 > 2, la valeur zêta multiple (MZV) ζ(k) est définie par

ζ(k) = X

n

1

>...>n

p

>0

1 n ^k ₁

¹

· · · n ^k p

^p

.

Relations de doubles mélanges

Ces nombres réels satisfont deux familles de relations quadratiques, appelées double mélange ou shuffle et stuffle.

Le stuffle ou mélange contractant vient de la représentation en termes de séries ci dessus,

le shuffle ou mélange vient d’une représentation en termes

d’intégrales des valeurs zêta multiples.

(23)

Éclatements et MZV

Rappels sur les valeurs zêta multiples

Définition des MZV

Pour tout p-uplet k = (k 1 , . . . , k p ) d’entier avec k 1 > 2, la valeur zêta multiple (MZV) ζ(k) est définie par

ζ(k) = X

n

1

>...>n

p

>0

1 n ^k ₁

¹

· · · n ^k p

^p

.

Relations de doubles mélanges

Ces nombres réels satisfont deux familles de relations quadratiques, appelées double mélange ou shuffle et stuffle.

Le stuffle ou mélange contractant vient de la représentation en termes de séries ci dessus,

le shuffle ou mélange vient d’une représentation en termes

d’intégrales des valeurs zêta multiples.

(24)

Éclatements et MZV

Rappels sur les valeurs zêta multiples

Représentation intégrale sur un simplexe

Soit k un p-uplet de poids n = k 1 + · · · + k p (k 1 > 2). On associe à k

k = (0, . . . , 0

| {z }

k

₁

−1 fois

, 1, . . . , 0, . . . , 0

| {z }

k

_p

−1 fois

, 1) = (ε n , . . . , ε ₁ ).

En notant ∆ n = {0 < t 1 < . . . < t n < 1}, on a ζ(k) =

Z

∆

n

(−1) ^p 1

t 1 − ε ₁ · · · 1 t n − ε _n d ⁿ t .

Dans le cas n = 3 : C 3 ( P ¹ \ {0, 1, ∞}) = M 0,6

hyperplan au bord de ∆ ₃ : t 1 = 0, t 1 = t 2 , t 2 = t 3 , t 3 = 1

lieu des singularités : t 1 = 1, t 2 = 0, t 2 = 1, t 3 = 0

et t 1 = t 3 pour la symétrie.

(25)

Éclatements et MZV

Rappels sur les valeurs zêta multiples

Représentation intégrale sur un simplexe

Soit k un p-uplet de poids n = k 1 + · · · + k p (k 1 > 2). On associe à k

k = (0, . . . , 0

| {z }

k

₁

−1 fois

, 1, . . . , 0, . . . , 0

| {z }

k

_p

−1 fois

, 1) = (ε n , . . . , ε ₁ ).

En notant ∆ n = {0 < t 1 < . . . < t n < 1}, on a ζ(k) =

Z

∆

n

(−1) ^p 1

t 1 − ε ₁ · · · 1 t n − ε _n d ⁿ t .

Dans le cas n = 3 : C ₃ ( P ¹ \ {0, 1, ∞}) = M _0,6

hyperplan au bord de ∆ ₃ : t 1 = 0, t 1 = t 2 , t 2 = t 3 , t 3 = 1

lieu des singularités : t 1 = 1, t 2 = 0, t 2 = 1, t 3 = 0

et t 1 = t 3 pour la symétrie.

(26)

Éclatements et MZV

Produit stuffle ou mélange contractant

Combinatoire du mélange contractant

Soit k = (k 0 , k p ) (k 0 = (k 1 , . . . , k p−1 )) et l = (l 0 , l q ) (l 0 = (l 1 , . . . , l q−1 )) deux uplets d’entiers.

Définition (Stuffle)

Le produit stuffle de k et l est défini de façon inductive par la formule

(k) ∗ (l) = (k ∗ l 0 ) · l q + (k 0 ∗ l) · k p + (k 0 ∗ l 0 ) · (k p + l q ) (1) et k ∗ () = () ∗ k = k.

On écrira σ ∈ st(k, l) pour désigner un élément σ de la somme formelle k ∗ l.

Exemple

(n) ∗ (m) = (n, m) + (m, n) + (n + m)

(u)∗(v, w ) = (u, v , w )+(v, u, w )+(v , w, u)+(u+v , w )+(v, u+w ).

(27)

Éclatements et MZV

Produit stuffle ou mélange contractant

Stuffle et valeurs zêta multiple

Proposition (Relations de stuffle)

Soit k = (k 1 , . . . , k p ) et l = (l 1 , . . . , l q ) deux uplets d’entiers avec k 1 , l 1 > 2. On a alors l’égalité

ζ(k)ζ(l) =



 X

n

1

>...>n

p

>0

1 n ^k ₁

¹

· · · n p ^k

^p







 X

m

1

>...>m

q

>0

1 m ^l ₁

¹

· · · m ^l q

^q





= X

σ∈st(k,l)

ζ(σ).

Exemple

ζ(k)ζ(l) =

+∞

X

n=1 +∞

X

m=1

1 n ^k m ^l = X

n>m>0

1 n ^k m ^l + X

m>n>0

1 m ^l n ^k + X

n=m

1 n ^k+l

= ζ(k, l) + ζ(l, k ) + ζ(k + l).

(28)

Éclatements et MZV

Produit stuffle et intégrales : ζ (2)ζ(2)

MZV comme intégrale sur un cube

On a vu que ζ(2) = R

∆

₂

dt

2

t

₂

dt

1

1−t

1

. Le changement de variables t n = x 1 , t n−1 = x 1 x 2 , . . . , t 1 = x 1 ...x n , (2) correspondant à une suite d’éclatements à l’origine, donne pour n=2

ζ(2) = Z

[0,1]

²

dx 1

x 1

x 1 dx 2

1 − x 1 x 2

= Z

[0,1]

²

dx 1 dx 2

1 − x 1 x 2

,

et pour n = 4 ζ(4) =

Z

[0,1]

⁴

d ⁴ x 1 − x 1 x 2 x 3 x 4

ζ(2, 2) = Z

[0,1]

⁴

x 1 x 2 d ⁴ x

(1 − x 1 x 2 )(1 − x 1 x 2 x 3 x 4 ) et ζ(2)ζ(2) =

Z

[0,1]

⁴

1 1 − x 1 x 2

1 1 − x 3 x 4

d ⁴ x.

(29)

Éclatements et MZV

Produit stuffle et intégrales : ζ (2)ζ(2)

MZV comme intégrale sur un cube

On a vu que ζ(2) = R

∆

₂

dt

2

t

₂

dt

1

1−t

1

. Le changement de variables t n = x 1 , t n−1 = x 1 x 2 , . . . , t 1 = x 1 ...x n , (2) correspondant à une suite d’éclatements à l’origine, donne pour n=2

ζ(2) = Z

[0,1]

²

dx 1

x 1

x 1 dx 2

1 − x 1 x 2

= Z

[0,1]

²

dx 1 dx 2

1 − x 1 x 2

,

et pour n = 4 ζ(4) =

Z

[0,1]

⁴

d ⁴ x 1 − x 1 x 2 x 3 x 4

ζ(2, 2) = Z

[0,1]

⁴

x 1 x 2 d ⁴ x

(1 − x 1 x 2 )(1 − x 1 x 2 x 3 x 4 ) et ζ(2)ζ(2) =

Z

[0,1]

⁴

1 1 − x 1 x 2

1 1 − x 3 x 4

d ⁴ x.

(30)

Éclatements et MZV

Produit stuffle et intégrales : ζ (2)ζ(2)

ζ(2)ζ(2) par les intégrales

Pour toute variable α et β on a l’égalité 1

(1 − α)(1 − β) = α

(1 − α)(1 − αβ) + β (1 − β)(1 − βα)

+ 1

1 − αβ . (3) En posant α = x 1 x 2 et β = x 3 x 4 dans (3), on retrouve la relation de stuffle

ζ(2)ζ(2) = Z

[0,1]

⁴

x 1 x 2

(1 − x 1 x 2 )(1 − x 1 x 2 x 3 x 4 ) + x 3 x 4

(1 − x 3 x 4 )(1 − x 3 x 4 x 1 x 2 ) + 1 1 − x 1 x 2 x 3 x 4

d ⁴ x (4) c’est à dire,

ζ(2)ζ(2) = ζ(2, 2) + ζ(2, 2) + ζ(4).

(31)

Éclatements et MZV

Produit stuffle et intégrales

MZV comme intégrale sur un cube : cas général

Soit k = (k 1 , . . . , k p ) un p-uplet d’entiers et n = k 1 + · · · + k p . On définit la fonction f k

₁

,...,k

_p

de n variables sur [0, 1] ⁿ comme

f k

₁

,...,k

_p

(x 1 , . . . , x n ) = 1 1 − x 1 · · · x k

1

x 1 · · · x k

1

1 − x 1 · · · x k

₁

x k

₁

+1 · · · x k

₁

+k

₂

x 1 · · · x k

1

+k

2

1 − x 1 · · · x k

₁

+k

₂

+k

₃

· · · x 1 · · · x k

1

+...+k

p−1

1 − x 1 · · · x k

1

+···+k

p

. (5)

Proposition

Pour tout p-uplet d’entiers (k 1 , . . . , k p ) avec k 1 > 2, on a (n = k 1 + · · · + k p )

ζ(k 1 , . . . , k p ) = Z

[0,1]

ⁿ

f k

1

,...,k

p

(x 1 , . . . , x n ) d ⁿ x. (6)

(32)

Éclatements et MZV

Produit stuffle et intégrales

MZV comme intégrale sur un cube : cas général

Soit k = (k 1 , . . . , k p ) un p-uplet d’entiers et n = k 1 + · · · + k p . On définit la fonction f k

₁

,...,k

_p

de n variables sur [0, 1] ⁿ comme

f k

₁

,...,k

_p

(x 1 , . . . , x n ) = 1 1 − x 1 · · · x k

1

x 1 · · · x k

1

1 − x 1 · · · x k

₁

x k

₁

+1 · · · x k

₁

+k

₂

x 1 · · · x k

1

+k

2

1 − x 1 · · · x k

₁

+k

₂

+k

₃

· · · x 1 · · · x k

1

+...+k

p−1

1 − x 1 · · · x k

1

+···+k

p

. (5)

Proposition

Pour tout p-uplet d’entiers (k 1 , . . . , k p ) avec k 1 > 2, on a (n = k 1 + · · · + k p )

ζ(k 1 , . . . , k p ) = Z

[0,1]

ⁿ

f k

1

,...,k

p

(x 1 , . . . , x n ) d ⁿ x. (6)

(33)

Éclatements et MZV

Produit stuffle et intégrales

Préliminaires : notations

Soit k = (k 1 , . . . , k p ) = (k 0 , k p ) un p-uplet d’entiers et n = k 1 + · · · + k p . On se donne n variables x 1 , . . . , x n .

Notation

Pour tout uplet a = (a 1 , . . . , a r ), on écrira ^Q a = a 1 · · · a r . On écrira x pour (x 1 , . . . , x n ) et x 0 pour (x 1 , . . . , x n−k

p

).

Si l est un q-uplet avec l 1 + · · · + l q = m, on introduira m variables x ⁰ = (x ₁ ⁰ , . . . , x _m ⁰ ).

Si σ ∈ st(k, l) alors y σ est la suite en les x i et x _j ⁰ telle que : certaines sous suites sont à leurs places respectives par rapport à la position des k i et des l j .

Remarque

Soit (k 1 , . . . , k p ) = (k ₀ , k p ) comme précédemment, f k

1

,...,k

p

(x) = f k

1

,...,k

p−1

(x 0 )

Q x 0

1 − ^Q x . (7)

(34)

Éclatements et MZV

Produit stuffle et intégrales

Représentation intégrale du Stuffle

Proposition

Soit k = (k 1 , . . . , k p ) et l = (l 1 , . . . , l q ) deux uplets avec n = k 1 + · · · + k p et m = l 1 + · · · + l q . On a alors

f k

₁

,...,k

_p

(x) · f l

₁

,...,l

_q

(x ⁰ ) = X

σ∈st(k,l)

f σ (y σ ). (8)

Idée

On utilise une récurrence sur la longueur des suites. L’objectif est de retrouver la formule de récurrence (1) du produit stuffle pour les fonctions f k

₁

,...,k

_p

.

Si p = q = 1 ,

f n (x)f m (x ⁰ ) = 1 1 − ^Q x

1 1 − ^Q x ⁰

(3) =

Q x

(1 − ^Q x)(1 − ^Q x ^Q x ⁰ ) + Q x ⁰

(1 − ^Q x ⁰ )(1 − ^Q x ⁰ ^Q x) + 1

1 − ^Q x ^Q x ⁰ . (9)

(35)

Éclatements et MZV

Produit stuffle et intégrales

Représentation intégrale du Stuffle

Proposition

Soit k = (k 1 , . . . , k p ) et l = (l 1 , . . . , l q ) deux uplets avec n = k 1 + · · · + k p et m = l 1 + · · · + l q . On a alors

f k

₁

,...,k

_p

(x) · f l

₁

,...,l

_q

(x ⁰ ) = X

σ∈st(k,l)

f σ (y σ ). (8)

Idée

On utilise une récurrence sur la longueur des suites. L’objectif est de retrouver la formule de récurrence (1) du produit stuffle pour les fonctions f k

₁

,...,k

_p

.

Si p = q = 1,

f n (x)f m (x ⁰ ) = 1 1 − ^Q x

1 1 − ^Q x ⁰

(3) =

Q x

(1 − ^Q x)(1 − ^Q x ^Q x ⁰ ) + Q x ⁰

(1 − ^Q x ⁰ )(1 − ^Q x ⁰ ^Q x) + 1

1 − ^Q x ^Q x ⁰ . (9)

(36)

Éclatements et MZV

Produit stuffle et intégrales

Représentation intégrale du Stuffle : preuve

Pas de la récurrence

Soit (k 1 , . . . , k p ) = (k ₀ , k p ) et (l 1 , . . . , l q ) = (l ₀ , l q ) deux uplets. La remarque (7) donne

f k

0

,k

p

(x 0 , x(k, p))f l

0

,l

q

(x 0 0 , x ⁰ (l, q)) = f k

0

(x 0 ) Q x 0

1 − ^Q x f l

0

(x 0 0 ) Q x ⁰ 0

1 − ^Q x ⁰ . En appliquant la formule (3) à α = ^Q x et β = ^Q x ⁰ , on trouve que le membre de droite de l’équation précédente est égal à

f k

0

(x 0 )f l

0

(x 0 0 ) · ( ^Q x 0 · ^Q x ⁰ 0 )

Q x

(1 − ^Q x)(1 − ^Q x ^Q x ⁰ )

+

Q x ⁰

(1 − ^Q x ⁰ )(1 − ^Q x ⁰ ^Q x) + 1 (1 − ^Q x ^Q x ⁰ )

.

(37)

Éclatements et MZV

Produit stuffle et intégrales

Représentation intégrale du Stuffle : preuve

fk0(x0)fl0(x00)(Q x0Q

x0 0)

Qx (1−Qx)(1−QxQx0)

+

Qx0

(1−Qx0)(1−Qx0Qx)+ 1 (1−QxQx0)

! .

Suite et fin

En développant et en utilisant la remarque (7) on obtient, f _k

₀

,k

p

(x)f _l

₀

,l

q

(x ⁰ ) = f _k

₀

,k

p

(x)f _l

₀

(x 0 0 )

· Q x ^Q x ⁰ 0

1 − ^Q x ^Q x ⁰ +

f _k

₀

(x 0 )f _l

₀

,l

_q

(x ⁰ )

· Q x ⁰ ^Q x 0

1 − ^Q x ⁰ ^Q x +

(f k

0

(x 0 )f l

0

(x 0 0 )) ·

Q x 0 Q x ⁰ 0

1 − ^Q x ^Q x ⁰ . On voit donc que le produit des fonctions f k

₁

,...,k

_p

et f l

₁

,...,l

_q

satisfait la relation de récurrence (1) qui définit le produit stuffle.

(38)

Éclatements et MZV

Produit stuffle et intégrales

Représentation intégrale du Stuffle : preuve

fk0(x0)fl0(x00)(Q x0Q

x0 0)

Qx (1−Qx)(1−QxQx0)

+

Qx0

(1−Qx0)(1−Qx0Qx)+ 1 (1−QxQx0)

! .

Suite et fin

En développant et en utilisant la remarque (7) on obtient, f _k

₀

,k

_p

(x)f _l

₀

,l

_q

(x ⁰ ) = f _k

₀

,k

_p

(x)f _l

₀

(x 0 0 )

· Q x ^Q x ⁰ 0

1 − ^Q x ^Q x ⁰ +

f _k

₀

(x 0 )f _l

₀

,l

_q

(x ⁰ )

· Q x ⁰ ^Q x 0

1 − ^Q x ⁰ ^Q x +

(f k

0

(x 0 )f l

0

(x 0 0 )) ·

Q x 0 Q x ⁰ 0

1 − ^Q x ^Q x ⁰ . On voit donc que le produit des fonctions f k

₁

,...,k

_p

et f l

₁

,...,l

_q

satisfait la relation de récurrence (1) qui définit le produit stuffle.

(39)

Éclatements et MZV

Espaces de modules de courbes et MZV

Soit k = (k 1 , . . . , k p ) avec k 1 > 2, n = k 1 + · · · k p .

Objectifs

Il s’agit d’écrire

ζ(k) = Z

Φ

n

ω _k

où le lieu A des singularités de ω _k n’intersecte pas le bord de Φ n . Ce n’est pas le cas dans la représentation

ζ(2) = Z

0<t

₁

<t

₂

<1

1 t 2

1 1 − t 1

dt 1 dt 2 . Par contre après éclatement de (0, 0) (1, 1) (et (∞, ∞))

0 0 1

1

(40)

Éclatements et MZV

Espaces de modules de courbes et MZV

espaces M

_0,n+3

et éclatements

Définition

L’espace de modules de courbes de genre 0 avec n points marqués M 0,n est l’ensemble des sphères de Riemann avec n points marqués modulo les isomorphismes de sphères de Riemann envoyant points marqués sur points marqués.

Concrètement

L’ensemble des isomorphismes de la sphère de Riemann est PSL 2 ( C ) d’où

M 0,n+3 = {(z 0 , . . . , z n+2 ) ∈ P ¹ ( C ) tel que z i 6= z j }/ PSL 2 ( C ). Et PSL 2 ( C ) étant tri-transitif, on peut choisir de fixer 3 des points (z 0 , z n+1 et z n+2 par ex.) sur 0, 1 et ∞ :

M 0,n+3 ' ( P ¹ ( C ) \ {0, 1, ∞}) ⁿ \ {grande diagonale}.

(41)

Éclatements et MZV

Espaces de modules de courbes et MZV

espaces M

_0,n+3

et éclatements

Définition

L’espace de modules de courbes de genre 0 avec n points marqués M 0,n est l’ensemble des sphères de Riemann avec n points marqués modulo les isomorphismes de sphères de Riemann envoyant points marqués sur points marqués.

Concrètement

L’ensemble des isomorphismes de la sphère de Riemann est PSL 2 ( C ) d’où

M 0,n+3 = {(z 0 , . . . , z n+2 ) ∈ P ¹ ( C ) tel que z i 6= z j }/ PSL 2 ( C ).

Et PSL 2 ( C ) étant tri-transitif, on peut choisir de fixer 3 des points (z 0 , z n+1 et z n+2 par ex.) sur 0, 1 et ∞ :

M _0,n+3 ' ( P ¹ ( C ) \ {0, 1, ∞}) ⁿ \ {grande diagonale}.

(42)

Éclatements et MZV

Espaces de modules de courbes et MZV

espaces M

_0,n+3

et éclatements

Exemples

pour n = 1 on a

M 0,4 ' P ¹ ( C ) \ {0, 1, ∞}.

Pour n = 2 on a

M 0,5 ( C ) ' ( P ¹ ( C )\{0, 1, ∞}) ² \{t 1 6= t 2 }.

0 0 1

1

Fig.: M

0,5

in P

¹

( R )

²

Il existe une compactification M 0,n qui

continue à être un espace de modules.

Théorème ([DM69],[Knu83])

M 0,n est projectif, irréductible lisse. Le bord de M 0,n est un diviseur à

croisements normaux. _Fig.: _M

0,5

( R )

(43)

Éclatements et MZV

Espaces de modules de courbes et MZV

espaces M

0,n+3

et MZV

L’espace M 0,n+3

Soit β : M 0,n+3 −→ ( P ¹ ) ⁿ définie sur l’ouvert par l’identification M 0,n+3 ' ( P ¹ \ {0, 1, ∞}) ⁿ .

Le morphisme β est la suite d’éclatements à la

MacPherson-Procesi (thm de Hu) le long des sous-variétés de la forme

t i

1

= · · · = t i

_k

= ε, ε = 0, 1, ∞, t i

1

= · · · = t i

_k

.

Théorème ([GM04])

Soit k un uplet d’entiers de poids n. On note f ω _k le pull-back β ^∗ (ω _k ) et Φ n la préimage β ⁻¹ (∆ n ). Le diviseur des singularités de ω f _k n’intersecte pas le bord de Φ n et

ζ(k 1 , · · · , k p ) = Z

Φ

_n

f ω _k .

(44)

Éclatements et MZV

Espaces de modules de courbes et MZV

espaces M

0,n+3

et MZV

L’espace M 0,n+3

Soit β : M 0,n+3 −→ ( P ¹ ) ⁿ définie sur l’ouvert par l’identification M 0,n+3 ' ( P ¹ \ {0, 1, ∞}) ⁿ .

Le morphisme β est la suite d’éclatements à la

MacPherson-Procesi (thm de Hu) le long des sous-variétés de la forme

t i

1

= · · · = t i

_k

= ε, ε = 0, 1, ∞, t i

1

= · · · = t i

_k

.

Théorème ([GM04])

Soit k un uplet d’entiers de poids n. On note f ω _k le pull-back β ^∗ (ω _k ) et Φ n la préimage β ⁻¹ (∆ n ). Le diviseur des singularités de ω f _k n’intersecte pas le bord de Φ n et

ζ(k 1 , · · · , k p ) = Z

Φ

_n

f ω _k .

(45)

Éclatements et MZV

Éclatement et stuffle : les espaces X _n

Problème et stratégie d’évitement

Stuffle et espace de modules

On cherche à transposer le calcul

f k

1

,...,k

p

(x) · f l

1

,...,l

q

(x ⁰ ) = X

σ∈st(k,l)

f σ (y σ )

en une situation du type : δ : M 0,n+m+3 → M 0,n+3 × M 0,m+3

δ ^∗ ( f k

1

^ ,...,k

p

(x) ∧ f l

1

,...,l ^

q

(x ⁰ )) = X

σ∈st(k,l)

f ^ σ (y σ ).

Problème

Dans la décomposition du produit f 2,1 (x 1 , x 2 , x 3 )f 2,1 (x 4 , x 5 , x 6 ) on trouve le terme

x 1 x 2 x 4 x 5 dx 1 dx 2 dx 3 dx 4 dx 5 dx 6

(1 − x 1 x 2 x 4 x 5 )(1 − x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 )

qui n’est pas holomorphe sur M 0,9 .

(46)

Éclatements et MZV

Éclatement et stuffle : les espaces X _n

Problème et stratégie d’évitement

Stuffle et espace de modules

On cherche à transposer le calcul

f k

1

,...,k

p

(x) · f l

1

,...,l

q

(x ⁰ ) = X

σ∈st(k,l)

f σ (y σ )

en une situation du type : δ : M 0,n+m+3 → M 0,n+3 × M 0,m+3

δ ^∗ ( f k

1

^ ,...,k

p

(x) ∧ f l

1

,...,l ^

q

(x ⁰ )) = X

σ∈st(k,l)

f ^ σ (y σ ).

Problème

Dans la décomposition du produit f 2,1 (x 1 , x 2 , x 3 )f 2,1 (x 4 , x 5 , x 6 ) on trouve le terme

x 1 x 2 x 4 x 5 dx 1 dx 2 dx 3 dx 4 dx 5 dx 6

(1 − x 1 x 2 x 4 x 5 )(1 − x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 )

qui n’est pas holomorphe sur M 0,9 .

(47)

Éclatements et MZV

Éclatement et stuffle : les espaces X _n

Problème et stratégie d’évitement

Au vu de l’exemple précédent et de ce que l’on fait avec uniquement des intégrales, il s’agit de pouvoir permuter les x i . Ce n’est pas possible de le faire sur M 0,n+3 car les

coordonnées cubiques sont extrêmement "locales" sur M _0,n+3 .

Ces coordonnées proviennent d’une première suite

d’éclatements de ( P ¹ ) ⁿ et n’ont pas de signification globale sur M 0,n+3 .

Pour n = 2, on a :

Fig.: vers M

0,5

Bl

_(0,0)

A

²

−−−−−→

Fig.: A

²

(48)

Éclatements et MZV

Éclatement et stuffle : les espaces X _n

Stratégie : le cas de n = 3

Description de la situation pour M 0,6

Fig.: vers M

0,6

éclatement de

(0,0,0)

−−−−−−−−−−−→

puis de

(0,0,z)

Fig.: A

³

Le fait que la symétrie soit brisée apparaît nettement sur ces

dessins.

(49)

Éclatements et MZV

Éclatement et stuffle : les espaces X _n

Stratégie : le cas de n = 3

Dans notre situation on a les faces du cube, les diviseurs x i = 1, les 3 diviseurs 1 − x i x j = 0, le diviseur 1 − x 1 x 2 x 3 = 0.

L’union de ces diviseurs n’est pas à croisements normaux.

Fig.: A

³

(50)

Éclatements et MZV

Éclatement et stuffle : les espaces X _n

Stratégie : le cas de n = 3

Dans notre situation on a les faces du cube, les diviseurs x i = 1, les 3 diviseurs 1 − x i x j = 0, le diviseur 1 − x 1 x 2 x 3 = 0.

L’union de ces diviseurs n’est pas à croisements normaux.

Fig.: A

³

On doit donc éclater

un point, 3 lignes,

3 courbes hyperboles.

(51)

Éclatements et MZV

Éclatement et stuffle : les espaces X _n

Construction abstraite

Soit n > 2 un entier. On définit les diviseurs suivants dans A ⁿ : A I = {1 − ^Q _i∈I x i = 0} pour tout I ⊂ [[1, n]], I 6= ∅ ; D _n ¹ = [

I

A I = [

i

{x i = 1} [ ( [

I ,|I| > 2

A I ) ; D _n ⁰ = ∪{x i = 0} et B n = D _n ⁰ S

( S

i {x i = 1}) ; enfin D n = D _n ⁰ S

D _n ¹ .

Lemme

Soit D ¹ _n l’ensemble (ordonné par l’inclusion) des composantes irréductibles de toutes les intersections possibles entre les diviseurs A I . Alors D ¹ _n satisfait les hypothèses du théorème de Hu.

Définition

La variété X n p

_n

−→ A ⁿ est définie comme le résultat de l’application

du théorème de Hu à la situation X = A ⁿ et D = D ¹ _n .

(52)

Éclatements et MZV

Éclatement et stuffle : les espaces X _n

Construction abstraite

Soit n > 2 un entier. On définit les diviseurs suivants dans A ⁿ : A I = {1 − ^Q _i∈I x i = 0} pour tout I ⊂ [[1, n]], I 6= ∅ ; D _n ¹ = [

I

A I = [

i

{x i = 1} [ ( [

I ,|I| > 2

A I ) ; D _n ⁰ = ∪{x i = 0} et B n = D _n ⁰ S

( S

i {x i = 1}) ; enfin D n = D _n ⁰ S

D _n ¹ .

Lemme

Soit D ¹ _n l’ensemble (ordonné par l’inclusion) des composantes irréductibles de toutes les intersections possibles entre les diviseurs A I . Alors D ¹ _n satisfait les hypothèses du théorème de Hu.

Définition

La variété X n p

_n

−→ A ⁿ est définie comme le résultat de l’application

du théorème de Hu à la situation X = A ⁿ et D = D ¹ _n .

(53)

Éclatements et MZV

Éclatement et stuffle : les espaces X _n

Comparaison avec M

0,r+3

Un léger souci

On pourrait vouloir obtenir le stuffle directement avec les espaces X n . Cela impliquerait de savoir relier X n × X m à X n+m .

Lemme

Soit r > 2 un entier. On notera A r une union particulière de composantes irréductibles de ∂M 0,r+3 \ B r . Il existe alors une suite de drapeaux F 1 , . . . , F N , d’éléments de D _r ¹ vérifiant certaines conditions telle que

X r = Bl _F

_N

_,...,F

₁

A ^r −→ M ^α

^r

0,r+3 \ A r = Bl _F

_r

_,...,F

₁

A ^r

δ ˜

_r

−→ A ^r . (10)

La situation cubique (simplexe

après deux éclatements) de

départ est :

(54)

Éclatements et MZV

En éclatant : le point (1, 1, 1) les droites (1, 1, z ) et (x, 1, 1)

on obtient M _0,6 \ A 3 .

Puis l’éclatement de la dernière ligne donne :

On éclate enfin le long des hyperboles (ce qui ne change pas le

dessin).

(55)

Éclatements et MZV

Conclusion

Pour conclure on utilise le diagramme suivant

X n+m

décom-

position // X n+m

permutation des x

i

// X n+m

M 0,n+m+3

M 0,n+3 × M 0,m+3

(56)

Éclatements et MZV

C. De Concini and C. Procesi, Wonderful models of subspace arrangements, Selecta Math. (N.S.) 1 (1995), no. 3, 459–494.

Pierre Deligne and D. Mumford, The irreducibility of the space of curves of given genus, Pub. Math. Institut des Hautes Etudes Scientifiques (1969), no. 36, 75–109.

Éclatements à la McPherson-Procesi Une application aux valeurs zêta multiples

Éclatements à la McPherson-Procesi

Une application aux valeurs zêta multiples

Ismaël Soudères

Le 13 janvier 2009

1 Éclatements

Éclatements et intégrales : étude de cas Définition

Exemples d’applications Suites d’éclatements

2 Rappels sur les valeurs zêta multiples Définition générale

Produit stuffle

Produit stuffle et intégrales : ζ(2)ζ(2) Produit stuffle et intégrales

3 Applications

Espaces de modules de courbes et MZV Éclatements et stuffle : les espaces X n

Présentation motivique du mélange contractant

L’exemple simple de ζ (2)

Le nombre ζ(2) défini par la série

+∞

X

n=1

1 n 2

admet l’écriture suivante sous forme d’intégrale ζ(2) =

Z

0<t

<t

<1

1 t 2

1 1 − t 1

dt 1 dt 2 .

En effet, Z

0<t

<t

<1

1 t 2

1 1 − t 1

dt 1 dt 2 = Z 1

0

1 t 2

Z t

0

1 1 − t 1

dt 1

dt 2

= Z 1

0

1 t 2

Z t

0 +∞

X

n=0

t 1 n dt 1

! dt 2

= Z 1

0

1 t 2

+∞

X

n=1

1 n t 2 n+1

! dt 2 =

+∞

X

n=1

1

n 2 .

L’exemple simple de ζ (2)

Le nombre ζ(2) défini par la série

+∞

X

n=1

1 n 2

admet l’écriture suivante sous forme d’intégrale ζ(2) =

Z

0<t

<t

<1

1 t 2

1 1 − t 1

dt 1 dt 2 .

En effet, Z

0<t

1 n ²

t ₁ ⁿ dt 1

1 n t ₂ ⁿ⁺¹

n ² .

1 n ²

t ₁ ⁿ dt 1

1 n t ₂ ⁿ⁺¹

n ² .

On note dans la suite ∆ _n = {0 < t 1 < · · · < t n < 1}. La situation géométrique correspondant à ζ(2) se décrit ainsi :