Espace de Modules Marqués des Surfaces Projectives Convexes de Volume Fini

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Convexes de Volume Fini

Ludovic Marquis

To cite this version:

Ludovic Marquis.

Espace de Modules Marqués des Surfaces Projectives Convexes de Volume

Fini.

Geometry and Topology, Mathematical Sciences Publishers, 2010, 14, p.

2103-2149.

�10.2140/gt.2010.14.2103�. �hal-00428899�

PROJECTIVES CONVEXES DE VOLUME FINI

par

Ludovi Marquis

Résumé.  Cet arti leest lasuitede l'arti le[Mar 1℄danslequel l'auteur ara térisaitlefait d'êtredevolumenipourune surfa eproje tive onvexe.Onmontrei iquel'espa edesmodules

β

g,p

des stru turesproje tives onvexesdevolumeni surla surfa e

Σ

g,p

de genre

g

à

p

pointes esthoméomorpheà

R

16g−16+6p

. Enn, onmontre que

β

g,p

s'identieàune omposante onnexedel'espa edesreprésentations dugroupefondamentalde

Σ

g,p

dans

SL

3

(R)

qui onserventlesparaboliquesà onjugaisonprès.

Abstra t. Thisarti lefollowthearti le[Mar1℄in whi htheauthor hara terizethe fa tof beingofnitevolumefora onvexproje tivesurfa e.Weshowherethatthemodulispa e ofthe onvexproje tivesurfa e

Σ

g,p

ofgenius

g

with

p

pun turesishomeomorphi to

R

16g−16+6p

. Finally,weshowthat

β

g,p

anbeidentifywitha onne ted omponentofthespa eof represen-tationofthefundamental groupof

Σ

g,p

in

SL

3

(R)

whi hkeeptheparaboli modulo onjugaison.

1. Introdu tion

1.1. Présentationdes résultats.  Soit

C

unepartiede l'espa eproje tifréel

P

n

_{= P}

n

_(R)

, on dira que

C

est onvexe lorsque l'interse tion de

C

ave toute droite de

P

n

est onnexe. Une partie onvexe

C

est dite proprement onvexe lorsqu'ilexiste un ouvert ane ontenant l'adhé-ren e

C

de

C

.

Unestru tureproje tiveproprement onvexesurune variétésansbord

M

estun homéomor-phisme entre

M

et le quotient d'un ouvert proprement onvexe

Ω

de

P

n

par un sous-groupe dis ret de

SL

n+1

(R)

qui préserve

Ω

. De tels stru tures sur les variétés ompa tes ont été étu-diées es dernières annéespar Benoist,Choi,Goldman,LabourieetLoftin[Ben06b , Ben06a, Ben00 , Ben05, Gol90, CG93, Lab07 , Lof01 ℄.

L'ensemble des stru turesproje tivesproprement onvexes de volumeni àisotopieprèssur une surfa e à bord

S

possède une topologie naturelle (on fera une hypothèse te hnique sur la géométriedubordpoursimplifernotreétude).Nousallonsétudierl'espa edesmodulesmarqués desstru turesproje tivesproprement onvexes àbordgéodésiqueprin ipaletdevolumenisur

S

,on notera et espa e

β

f

(S)

. Goldmanamontré quesi

S

est unesurfa e sans bord, ompa t et de genre

g > 2

alors l'espa e

β

f

(S)

est homéomorphe à une boule de dimension

16g − 16

. On notera

Σ

g,p

lasurfa e de genre

g

à

p

pointes. Nous allonsmontrer le théorème suivant: Théorème (3.6).  Supposons quelasurfa e

Σ

g,p

soitde ara téristiqued'Eulerstri tement négativealors l'espa e des modules des stru tures proje tives proprement onvexes de volume ni sur lasurfa e

Σ

g,p

est homéomorphe à une boulede dimension

16g − 16 + 6p

.

Si

S

est une surfa eàbordave un bordnon trivialalorsl'espa e

β

f

(S)

n'est pasune variété mais une variété à bord topologique dont nous dé omposerons le bord en strates. Le système de oordonnées introduit sur l'espa e

β

f

(S)

est une généralisationdu système de oordonnées utilisé par Goldman pour étudier et espa e dans le as où la surfa e

S

est ompa te sans bord. Le système de oordonnées de Goldman étant lui-même une généralisation du système de oordonnées utilisé par Fen hel et Nielsen pour étudierl'espa e des modules des stru tures hyperboliques sur une surfa e.

Dansl'arti le[Mar 1℄,l'auteura donnédes ara térisations du faitqu'unestru ture proje -tiveproprement onvexeestdevolumeni.Onanotammentmontréqu'unestru tureproje tive proprement onvexe àbord géodésique sur une surfa e àbord de type ni

S

est de volume ni sietseulementsil'holonomiedes la etsélémentairesnonhomotopesàune omposante onnexe du bord de

S

est parabolique.

Ainsi,[Mar 1℄permet de fairelelienentre l'espa e

β

f

(Σ

g,p

)

etun espa ede représentations du groupefondamentalde

Σ

g,p

étudiéparFo ketGon harov. Eneet,l'holonomiefournitune appli ationdel'espa e

β

f

(Σ

g,p

)

vers l'espa edesreprésentationsdugroupefondamentalde

Σ

g,p

suivant :

β

′

g,p

=











































ρ

est dèle etdis rète,

ρ ∈

Hom

(π

1

(Σ

g,p

), SL

3

(R))

Im

(ρ)

préserve un ouvert propre-ment onvexe

Ω

ρ

,

le quotient

Ω

ρ

/

Γ

est homéo-morpheà

Σ

g,p

,

l'holonomie des la ets élémen-tairesde

π

1

(Σ

g,p

)

estparabolique.











































On verra que le groupe

SL

3

(R)

agit librement et proprement sur

β

′

g,p

, on note

β

g,p

l'espa e quotient. L'auteur a montré dans [Mar 1℄, que l'appli ation naturelle donnée par l'holonomie de l'espa e

β

f

(Σ

g,p

)

vers l'espa e

β

g,p

est inje tive. Nous montrerons que 'est en fait un ho-méomorphisme. Fo h et Gon harov ont montré dans [?℄ que l'espa e

β

g,p

est homéomorphe à

R

16g−16+6p

. Nousdonnons i iun systèmede oordonnées"àlaFen hel-Nielsen"sur

β

f

(Σ

g,p

)

et nous gérons aussi le as d'une surfa e àbord.

Nousallons aussi montrerque lesstru tures proje tivesproprement onvexes de volume ni sont des objets naturels. Pour ela, nous montrerons lethéorème suivant :

Théorème (4.7).  On sedonne une surfa e sans bord

S

de ara téristique d'Euler stri te-mentnégative.L'espa e des modules des stru turesproje tivesproprement onvexe de volume ni sur la surfa e

S

s'identie à l'une des omposantes onnexes de l'espa e des représenta-tions du groupe fondamental de

S

dans

SL

3

(R)

dont l'holonomie des la ets élémentaires est parabolique, à onjugaison près.

Terminons ette introdu tionen donnant le plan de e texte. La partie 2 est un rappel des dénitions de surfa es proje tives, proje tives proprement onvexes, marquées, à bord géodé-sique,àbordgéodésiqueprin ipal.Ondénitensuitelatopologiedel'espa e

β

f

(S)

.Ontermine ette partie en donnant des onséquen es fa iles de la lassi ation des automorphismes des ouverts proprement onvexes (paragraphe2.3) quinous seront utiles.

Dans latroisièmepartie, ondémontre lesthéorèmes 3.6 et 3.7. La démonstrationsedéroule en deux parties.On ommen e dans lapartie 3.1 par étudier le re ollement d'unesurfa e pro-je tive proprement onvexe le long d'un la et. Ce résultat a été montré par Goldman, mais nous reproduisons une preuve pour la ommodité du le teur. Enn, nous al ulons l'espa es des modules des pantalons dont les lasses de onjugaison de l'holonomie des bords est xée. L'idéede départ est dûà Goldman,ils'agit de dé ouperun pantalonàl'aide dedeux triangles "en spirales". Cette idée permet de onstruire une bije tionentre les pantalons proje tifs pro-prement onvexesetunobjet ombinatoire.LadémonstrationdeGoldmande epointné essite de nouveaux argumentspour passerau as non ompa t. Enn,ontermine ettepartie en al- ulant, l'espa e des modules de l'objet ombinatoire. Cette partie est une généralisationfa ile de la preuvede Goldman.

Danslaquatrième partie,ondémontre lethéorème 4.7. Ladémonstrationde e théorème se faiten deux parties.Il faut montrer la fermetureetl'ouverture de l'espa e

β

f

(S)

dans l'espa e des représentations du groupe fondamental de

S

dont l'holonomie d'un la et élémentaire est parabolique. La démonstrationde la fermetureest très pro he du travail de Choi etGoldman qui montre dans [CG93℄, la fermeture de

β

f

(S)

dans l'espa e des représentations du groupe fondamental de

S

, lorsque

S

est une surfa e ompa te de genre supérieure ou égale à 2. Pour obtenir l'ouverture de

β

f

(S)

dans l'espa e des représentations paraboliques, nous utiliserons le théorème d'invarian e du domaine de Brouwer (le théorème 3.6 montre que

β

f

(S)

est une variété).

2. Préliminaires 2.1. Géométrie de Hilbert. 

2.1.1. Distan ede Hilbert.  Cettepartie onstitue unrappeldefaits onnusen géométriede Hilbert. Un exposé plus ompletpeut être trouvédans les arti les [CVV04, CVV08, Ben℄.

Soit

Ω

un ouvert proprement onvexe de

P

n

. Hilbert a introduit sur de tels ouverts une distan e, la distan e de Hilbert, déniede lafaçon suivante:

Soient

x 6= y ∈ Ω

, onnote

p, q

lespointsd'interse tion de ladroite

(xy)

et du bord

∂Ω

de

Ω

tels que

x

est entre

p

et

y

, et

y

est entre

x

et

q

(Voirgure 1). On pose :





Figure 1. La distan ede Hilbert

d

Ω

(x, y) = ln([p : x : y : q]) = ln



kp−yk·kq−xk

kp−xk·kq−yk



et

d

Ω

(x, x) = 0

• [p : x : y : q]

désignele birapport des points

p, x, y, q

.

Remarque.  Il est lair que

d

Ω

ne dépend ni du hoix de

A

, ni du hoix de la norme eu li-dienne sur

A

.

Fait 1.  Soit

Ω

un ouvert proprement onvexe de

P

n

.

• d

Ω

est une distan e sur

Ω

.

• (Ω, d

Ω

)

est un espa e métrique omplet.

•

La topologie induite par

d

Ω

oïn ide ave elle induite par

P

n

.

•

Le groupe Aut

(Ω)

des transformations proje tives de

SL

n+1

(R)

qui préservent

Ω

est un sous-groupe fermé de

SL

n+1

(R)

quiagit par isométriesur

(Ω, d

Ω

)

. Il agit don proprement sur

Ω

.

On peut trouver une démonstrationde et énon é dans [Ben℄.

2.1.2. La stru ture nslérienne d'un ouvert proprement onvexe.  Soit

Ω

un ouvert propre-ment onvexe de

P

n

. La métrique de Hilbert

d

Ω

est induite par une stru ture nslérienne sur l'ouvert

Ω

. On identie lebré tangent

T Ω

de

Ω

à

Ω × A

.

Soient

x ∈ Ω

et

v ∈ A

.On note

p

+

(resp

p

−

) lepoint d'interse tion de la demi-droitedénie par

x

et

v

(resp

−v

)ave

∂Ω

.

On pose :

kvk

x

=



1

kx−p

−

k

+

1

kx−p

+

_k



kvk

.







Figure 2. Lamétrique deHilbert

Fait 2.  Soient

Ω

un ouvert proprement onvexe de

P

2

et

A

un ouvertane qui ontient

Ω

.

•

La distan e induite par la métrique nslérienne

k · k

·

est la distan e

d

Ω

.

•

Autrement dit on a les formules suivantes :

• kvk

x

=

d

dt









t=0

d

Ω

(x, x + tv)

, où

v ∈ A

,

t ∈ R

assez petit.

• d

Ω

(x, y) = inf

Z

1

0

kσ

′

(t)k

σ(t)

dt

, où

l

′

_inf

est pris sur les hemins

σ

de lasse

C

1

tel que

σ(0) = x

et

σ(1) = y

.

Remarque. 

kvk

x

est don indépendantedu hoixde

A

etde

k · k

A

.

2.1.3. Mesuresur un ouvertproprement onvexe( dite mesure deBusemann ).  Nousallons onstruire une mesure borélienne

µ

Ω

sur

Ω

, de la même façon que l'on onstruit une mesure borélienne sur une variété riemanienne.

Soit

Ω

un ouvert proprement onvexe de

P

n

. On note :

• B

x

(1) = {v ∈ T

x

Ω | kvk

x

< 1}

On peut àprésent dénir la mesure

µ

Ω

.Pour tout borélien

A ⊂ Ω ⊂ A

, onpose :

µ

Ω

(A) =

Z

A

dV ol(x)

Vol

(B

x

(1))

La mesure

µ

Ω

est indépendante du hoix de

A

etde

k · k

, ar 'est la mesure de Haussdor de

(Ω, d

Ω

)

(Exemple 5.5.13 [BBI01℄). ( Pour une introdu tion aux mesures de Haussdor, on pourra regarder [BBI01℄).La mesure

µ

Ω

est don Aut

(Ω)

-invariante.

2.2. Dynamique des éléments de Aut

(Ω)

.  Dans e paragraphe nous allons rappel-ler ertaines propositions né essaires pour la suite de e texte. Toutes ses propositions sont démontrés dans l'arti le[Mar 1℄.

Proposition 2.1.  Soit

Ω

un ouvert proprement onvexe. Soit

γ ∈

Aut

(Ω)

,

γ

fait partie de l'une des six famillessuivantes :

•

La famille des éléments dits

hyperboliques

qui sont onjugués à une matri e de la forme suivante :





λ

+

₀

₀

0

λ

0

₀

0

0

λ

−





où,

λ

+

_{> λ}

0

_{> λ}

−

_{> 0}

et

λ

+

_λ

0

_λ

−

_{= 1}

.

•

La famille des éléments dits

planaires

qui sont onjugués à une matri e de la forme suivante :





α 0 0

0 α 0

0 0 β





où,

α, β > 0

,

α

2

_{β = 1}

et

α, β 6= 1

.

•

La famille des éléments dits

quasi − hyperboliques

qui sont onjugués à une matri e de la forme suivante :





α 1 0

0 α 0

0 0 β





où,

α, β > 0

,

α

2

_{β = 1}

et

α, β 6= 1

.

•

La famille des eléments dits

paraboliques

qui sont onjugués à la matri e suivante :





1 1 0

0 1 1

0 0 1





•

La famille des eléments dits elliptiques qui sont onjugués à une matri e de la forme suivante :





1

0

0

0 cos(θ) − sin(θ)

0 sin(θ)

cos(θ)





Où,

0 < θ < 2π

.

2.2.1. Dynamique hyperbolique.  Soit

γ

un élément hyperbolique de

SL

3

(R)

,

γ

est onjugué à lamatri e





λ

+

₀

₀

0

λ

0

₀

0

0

λ

−





Où,

λ

+

_{> λ}

0

_{> λ}

−

_{> 0}

et

λ

+

_λ

0

_λ

−

_{= 1}

. On note :

• p

+

γ

le point proprede

P

2

asso ié à lavaleur propre

λ

+

.

• p

0

γ

lepointpropre de

P

2

asso iéà lavaleur propre

λ

0

.

• p

−

γ

le point proprede

P

2

asso ié à lavaleur propre

λ

−

.

• D

+,−

γ

la droitestable de

P

2

asso iée aux valeurs propres

λ

+

_{, λ}

−

.

• D

+,0

γ

ladroite stable de

P

2

asso iée aux valeurs propres

λ

+

_{, λ}

0

.

• D

−,0

γ

ladroite stable de

P

2

asso iée aux valeurs propres

λ

−

_{, λ}

0

.

Remarque.  Tout au long de e texte, l'indi e

γ

pour désigner un espa e stable de

γ

sera omis si le ontexte est lair.

Proposition 2.2.  Soient

Ω

un ouvert proprement onvexe et

γ ∈

Aut

(Ω)

un élément hy-perbolique. Alors, on a

p

+

_{, p}

−

_{∈ ∂Ω}

et

p

0

_{∈ Ω}

_/

.

On peut àprésent dénirl'axed'unélémenthyperboliquequi agitsur un ouvert proprement onvexe.

Dénition 2.3.  Soient

Ω

un ouvert proprement onvexe et

γ ∈

Aut

(Ω)

un élément hyper-bolique. L'axe de

γ

que l'on notera Axe

(γ)

est le segment ouvert de la droite

(p

−

_p

+

₎

qui est in lus dans

Ω

et dontles extrémitéssont

p

−

et

p

+

.

La gure2.2.1 illustre ladynamique d'un élément hyperbolique.



Figure 3. Dynamique d'un élément hyperbolique

Proposition 2.4.  Soient

Ω

un ouvert proprement onvexe et

γ ∈

Aut

(Ω)

un élément hy-perbolique.

•

Si

p

0

_{∈ Ω}

_/

et Axe

(γ) ⊂ Ω

alors

• ∂Ω

est

C

1

en

p

+

et en

p

−

.

• p

0

_{= T}

p

+

∂Ω ∩ T

_p

−

∂Ω

.

•

Si

p

0

_{∈ Ω}

_/

et Axe

(γ) ⊂ ∂Ω

alors

• ∂Ω

n'est pas

C

1

en

p

+

et en

p

−

.

•

Les demi-tangentes à

∂Ω

en

p

+

sont

(p

+

_p

−

₎

et

(p

+

_p

0

₎

.

•

Les demi-tangentes à

∂Ω

en

p

−

sont

(p

+

_p

−

₎

et

(p

−

_p

0

₎

.

•

Si

p

0

_{∈ Ω}

et Axe

(γ) ⊂ Ω

alors

• [p

+

_{, p}

0

_]

et

[p

−

_{, p}

0

_{] ⊂ ∂Ω}

.

• ∂Ω

est

C

1

en

p

+

,

p

−

et

p

0

_{= T}

p

+

∂Ω ∩ T

_p

−

∂Ω

.

•

Si

p

0

_{∈ Ω}

et Axe

(γ) ⊂ ∂Ω

alors

• [p

+

_{, p}

0

_]

et

[p

−

_{, p}

0

_{] ⊂ ∂Ω}

.

• Ω

est un triangle dont les sommets sont

p

+

_{, p}

0

_{, p}

−

.

2.2.2. Dynamique planaire.  Soit

γ

un élément planaire de

SL

3

(R)

,

γ

est onjugué à la matri e





α 0 0

0 α 0

0 0 β





où,

α, β > 0

,

α

2

_{β = 1}

et

α, β 6= 1

. On note :

• p

γ

lepointpropre de

P

2

asso iéà lavaleur propre

β

.

• D

γ

la droite proprede

P

2

asso iée àla valeur propre

α

.

La dynamique des éléments planairesétant extrément simple, on obtient fa ilement la pro-postion suivante.

Proposition 2.5.  Soit

Ω

un ouvert proprement onvexe. Soit

γ ∈

Aut

(Ω)

un élément pla-naire. Alors,

Ω

est un triangle dont l'un des sommets est

p

γ

et le té de

Ω

opposé à

p

γ

est in lus dans la droite

D

γ

.

Commelestabilisateurd'untriangledans

P

2

estlegroupedesmatri esdiagonalesàdiagonale stri tementpositive.On obtientle orollairesuivant :

Corollaire 2.6.  Soient

Ω

un ouvert proprement onvexe et

Γ

un sous-groupe dis ret sans torsion de Aut

(Ω)

. Si la surfa e

Ω/

Γ

est de ara téristique d'Euler stri tement négative alors

Ω

n'est pas un triangle. En parti ulier, au un élément du groupe

Γ

n'est planaire.

2.2.3. Dynamique quasi-hyperbolique.  Soit

γ

un élément quasi-hyperbolique de

SL

3

(R)

,

γ

est onjugué à lamatri e





α 1 0

0 α 0

0 0 β





Où,

α, β > 0

,

α

2

_{β = 1}

et

α, β 6= 1

. On note :

• p

1

γ

lepointpropre de

P

2

asso iéà lavaleur propre

β

.

• p

2

γ

lepointpropre de

P

2

asso iéà lavaleur propre

α

.

• D

γ

la droite stable de

P

2

asso iée à lavaleur propre

α

.

On peut dénir l'axe d'un élément quasi-hyperbolique qui agit sur un ouvert proprement onvexe de la même façon que pour un élément hyperbolique. La même démonstration que dans le as hyperboliquedonnela propositionsuivante :

Proposition 2.7.  Soient

Ω

un ouvertproprement onvexeet

γ ∈

Aut

(Ω)

unélément quasi-hyperbolique. Alors, on a

p

1

_{, p}

2

_{∈ ∂Ω}

Dénition 2.8.  Soient

Ω

un ouvert proprement onvexe et

γ ∈

Aut

(Ω)

un élément quasi-hyperbolique. L'axe de

γ

que l'on notera Axe

(γ)

est le segment ouvert de la droite

(p

1

_p

2

₎

qui est in lus dans

Ω

etdont lesextrémités sont

p

1

et

p

2

.

Figure 4. Dynamique d'un élément quasi-hyperbolique

Proposition 2.9.  Soit

Ω

un ouvertproprement onvexe.Soit

γ ∈

Aut

(Ω)

un élément quasi-hyperbolique. Alors,

•

Axe

(γ) ⊂ ∂Ω

.

• ∂Ω

n'est pas

C

1

en

p

2

et les demi-tangentes à

∂Ω

en

p

2

sont

(p

1

_p

2

₎

et

D

.

• ∂Ω

est

C

1

en

p

1

et

T

p

1

∂Ω = (p

1

_p

2

₎

.

2.2.4. Dynamique parabolique.  Soit

γ

un élément parabolique de

SL

3

(R)

,

γ

est onjugué à la matri e





1 1 0

0 1 1

0 0 1





On note :

• p

γ

l'uniquepointxe de

γ

sur

P

2

.

• D

γ

l'unique droite xe de

γ

sur

P

2

.

La gure2.2.4 illustre ladynamique d'un élément parabolique.

Proposition 2.10.  Soit

Ω

un ouvert proprement onvexe. Soit

γ ∈

Aut

(Ω)

un élément parabolique. Alors,

• p ∈ ∂Ω

.

• ∂Ω

est

C

1

en

p

.

• T

p

∂Ω = D

.

• p

n'appartient pas à un segment non trivial du bord de

Ω

.

2.2.5. Dynamique elliptique.  On onsidère

Γ

unsous-groupedis retde

SL

3

(R)

quipréserve un ouvert proprement onvexe de

P

2

eton suppose que

Γ

est un groupe de surfa e.

Commelegroupe

Γ

estun sous-groupedis retde

SL

3

(R)

,toutéventuel élémentelliptiquede

Γ

est d'ordreni. Maislegroupe

Γ

est un groupede surfa e don sans torsion.Au un élément du groupe

Γ

n'est don elliptique.

2.3. Conséquen e fa ile de la lassi ation des automorphismes des ouverts pro-prement onvexes.  Les propositionssuivantes sont des onséquen es évidentes des pro-positions du paragraphe 2.2.

Proposition 2.11.  Soient

Ω

un ouvert proprement onvexe et

γ ∈

Aut

(Ω)

d'ordre inni, alors, la tra e de

γ

est supérieure ou égale à 3 ave égalité si et seulement si

γ

est parabolique ou l'élémentidentité.

On introduitles sous-ensembles de

R

2

suivants :

R

_{= {(λ, τ ) ∈ R}

2

_{| 0 < λ < 1,}

√

2

λ

< τ < λ + λ

−2

_}

R

_{QH non C}

1

= {(λ, τ ) ∈ R

2

| 0 < λ < 1, τ = λ + λ

−2

}

R

_{QH C}

1

= {(λ, τ ) ∈ R

2

| 0 < λ < 1, τ =

√

2

λ

}

R

_P

_{= {(1, 2)}}

b

R

_{= R ∪ R}

_{QH non C}

1

∪ R

_{QH C}

1

On pourra remarquer que

R

est un ouvert de

R

2

homéomorphe à

R

2

dont le bord est la réuniondes 2sous-variétés

R

QH non C

1

et

R

QH C

1

homéomorphes à

R

et du point

R

P

.

Enn, l'espa e

R

b

est une variété àbord homéomorphe à

[0, 1] × R

.

Dénition 2.12.  Soit

γ ∈ SL

3

(R)

dont le spe tre est réel et stri tement positif, on note

λ

1

6

λ

2

6

λ

3

lesvaleurspropresde

γ

.On notera

λ(γ) = λ

1

lapluspetitevaleur proprede

γ

et

τ (γ) = λ

2

+ λ

3

la sommedes deux autres.

La proposition suivante est alors une simple onséquen e de la lassi ation des automor-phismes des ouverts proprement onvexes.

Proposition 2.13.  Soient

Ω

unouvertproprement onvexede

P

2

et

γ ∈

Aut

(Ω)

,onsuppose que

γ

possède un point xe

p ∈ ∂Ω

. On suppose de plus que si

γ

est quasi-hyperbolique ou hyperbolique alors

p

est un point xe répulsif. Alors le spe tre de

γ

est réel, stri tement positif et on a :

•

L'élément

γ

est hyperbolique si et seulement si

(λ(γ), τ (γ)) ∈ R

•

L'élément

γ

est quasi-hyperbolique et

p

n'est pas un point

C

1

de

∂Ω

si et seulement si

(λ(γ), τ (γ)) ∈ R

QH non C

1

•

L'élément

γ

estquasi-hyperboliqueet

p

estunpoint

C

1

de

∂Ω

sietseulementsi

(λ(γ), τ (γ)) ∈

R

_{QH C}

1

2.4. Dénitiondes surfa es proje tives proprement onvexes.  Tout aulong de e texte une surfa e sera une variété onnexe orientable de dimension 2 à bord. On note

E

un demi-espa e anefermé de

P

2

.

Une stru ture proje tive réelle à bord géodésique sur une surfa e

S

est la donnée d'un atlas maximal

ϕ

U

: U → E

sur

S

tel que les fon tions de transitions

ϕ

U

◦ ϕ

−1

V

sont des éléments de

SL

3

(R)

, pour tous ouverts

U

et

V

de l'atlas de

S

tel que

U ∩ V 6= ∅

.

Remarque.  Poursimplierlaréda tionondirastru tureproje tive àlapla ede stru -ture proje tive réelleà bord géodésique.

Un isomorphisme entre deux surfa es munies de stru tures proje tives est un homéomor-phisme qui,lu dans les artes, est donné par des élémentsde

SL

3

(R)

.

La donnée d'une stru ture proje tivesur une surfa e

S

est équivalenteà la donnée : 1. d'un homéomorphisme lo al

dev : e

S → P

2

appelée développante, où

S

e

est le revêtement universel de

S

,

2. d'une représentation

hol : π

1

(S) → SL

3

(R)

appelée holonomie tel que la développante est

π

1

(S)

-équivariante ( i.e pour tout

x ∈ e

S

, et pour tout

γ ∈ π

1

(S)

on a

dev(γ x) =

hol(γ)dev(x)

).

De plus, deux stru tures proje tives données par les ouples

(dev, hol)

et

(dev

′

_{, hol}

′

₎

sont isomorphes si et seulement si il existe un élément

g ∈ SL

3

(R)

tel que

dev

′

_{= g ◦ dev}

et

hol

′

_{= g ◦ hol ◦ g}

−1

.

Lorsqu'on s'intéresse à l'ensemble des stru tures sur une surfa e à équivalen e près, il faut faire attention à introduire la bonne relation d'équivalen e sur l'ensemble des stru tures en question. A première vue, on pourrait penser que la bonne relation d'équivalen e est tout simplement l'existen e d'un isomorphisme. Mais, si on introduit ette relation, alors l'espa e quotient n'est en général pas une variété. C'est pourquoi on introduit la notion de surfa e marquée etla notiond'isotopie.

Dénition 2.14.  Soit

S

une surfa e, une stru ture proje tive marquée sur

S

est ladonnée d'un homéomorphisme

ϕ : S → S

′

où

S

′

est une surfa e proje tive. On note

P

′

_(S)

l'ensemble des stru tures proje tivesmarquées sur

S

.

Deuxstru turesproje tivesmarquéessur

S

,

ϕ

1

: S → S

1

et

ϕ

2

: S → S

2

sontditesisotopiques lorsqu'ilexisteunisomorphisme

h : S

1

→ S

2

telque

ϕ

−1

2

◦h◦ϕ

1

: S → S

estunhoméomorphisme isotopeàl'identité. On note

P(S)

l'ensemble des stru tures proje tives marquées sur

S

modulo isotopie.

On peut à présent dénir une topologie sur l'ensemble des stru tures proje tives marquées sur la surfa e

S

. On introduit l'espa e :

D

′

(S) =







dev : e

S → P

2

est un homéomorphisme lo al

(dev, hol) hol : π

1

(S) → SL

3

(R)

dev

est

π

1

(S) −

équivariante







Les espa es

S

e

,

P

2

,

π

1

(S)

et

SL

3

(R)

sont des espa es topologiques lo alement ompa ts. On munit l'ensemble des appli ations ontinues entre deux espa es lo alement ompa ts de la to-pologie ompa t-ouvert.Ainsi,l'espa e

D

′

_(S)

estmunied'unetopologie.Legroupe

Homeo

0

(S)

deshoméomorphismesisotopesàl'identitéagitnaturellementsur

D

′

_(S)

aussinaturellementsur

D

′

_(S)

.Cesdeux a tions ommutent.L'espa equotientestl'espa e

P(S)

des stru turesproje tivesmarquéessur

S

àisotopieprès.On lemunitde latopologiequotient.

On ne s'intéresse qu'à un ertain type de stru ture proje tive : les stru tures proje tives proprement onvexes.

Dénition 2.15.  Soit

S

une surfa e, une stru ture proje tiveest dite proprement onvexe sur

S

lorsque la développante est un homéomorphisme sur une partie

C

proprement onvexe de

P

2

. On note

β(S)

l'ensemble des stru tures proje tives proprement onvexes sur

S

modulo isotopie.

Ilestimportantderemarquerqueladénitionquel'ona hoisidesurfa esproje tivesfournit une ontrainte sur la géométrie du bord d'une surfa e proje tive. En eet, on a supposé que l'atlas d'une surfa e proje tive était à valeur dans un demi-espa e ane fermée

E

. Par onsé-quent, pour tout ouvert

U

de l'atlas tel que

U ∩ ∂S 6= ∅

et pour toute omposante onnexe

B

de

U ∩ ∂S

,

ϕ

U

(B)

est in lus dans une droite de

P

2

. Ainsi, tout relevé d'une omposante onnexe

B

du bord de

S

est un segment ouvert

s

de

P

2

préservé par un élément

γ ∈ SL

3

(R)

, qui est l'holonomie d'un la et librement homotope à la omposante onnexe

B

du bord de

S

. Ce i explique la terminologie de stru ture proje tive à bord géodésique. Nous étudierons une lasselégèrementplusrestri tivedestru tureproje tive,ondiraquelebord

B

estprin ipal lorsque

γ

est unélémenthyperboliqueouquasi-hyperboliquede

SL

3

(R)

etl'une desextrémités de

s

est un point attra tif de

γ

et l'autre un point répulsif. Une stru ture proje tive sera dite à bord géodésique prin ipal lorsque tout es bords sont prin ipaux.

Soit

S

unesurfa e proje tive proprement onvexe, l'appli ationdéveloppantepermet d'iden-tier le revêtement universel

S

e

de

S

à une partie

C

proprement onvexe de

P

2

. On notera

π : C → S

le revêtement universel de

S

. L'intérieur

Ω

de

C

est naturellement muni d'une me-sure

µ

Ω

invariante sous l'a tion du groupe fondamental

π

1

(S)

de

S

. Par onséquent, il existe une unique mesure

µ

S

sur l'intérieur

◦

S

de

S

telle quepour tout borélien

A

de

Ω

,si

π : Ω →

◦

S

restreinte à

A

est inje tive alors

µ

S

(π(A)) = µ

Ω

(A)

.

Dénition 2.16.  Soit

S

unesurfa e,onditqu'unestru tureproje tiveproprement onvexe sur

S

est de volume ni lorsque pour tout fermé

F

de l'intérieur

◦

S

de

S

, on a

µ

S

(F ) < ∞

. On note

β

f

(S)

l'espa e des modules des stru tures proje tives marquées proprement onvexes à bord géodésique prin ipalde volume ni sur

S

.

3. Paramétrisation de l'espa e des modules

Dans eparagraphe,nousallonsexpliquer laméthodequenousallonssuivre pourmontrerle théorème 1.1,ainsiquesa versiondans le adredes surfa esàbord.On termineen donnantles théorèmes de paramétrisation de l'espa e des modules des stru tures proje tives proprement onvexes de volume ni sur une surfa e sans bord et à bord. Nous allons à présent rappeler quelques dénitions élémentaires de topologiedes surfa es.

Dénition 3.1.  Soit

S

une surfa e, on dit qu'un la et tra é sur

S

,

c : S

1

_{→ S}

est simple s'il est inje tif. On dit qu'un la et simple

c

tra é sur

S

est élémentaire si

S − c

possède deux omposantes onnexes et l'une d'elles est un ylindre. Lorsque

S

n'est pas un ylindre, on appelleral'adhéren e de la omposantehoméomorphe àun ylindrela omposanteélémentaire asso iée à

c

.

Remarque.  Soient

S

unesurfa eet

c

unla etélémentairetra ésur

S

,alorsonal'alternative suivante:

•

La omposante élémentaire asso iée à

c

est un ylindre ave un seul bord. On dira alors que

c

fait le tour d'un bout.

•

La omposanteélémentaire asso iéeà

c

est un ylindreave deux bords. Dans e as

c

est librement homotopeà une omposante onnexe du bord de

S

.

Tout au long de e texte, on notera

Σ

g,b,p

la surfa e obtenue en retirant

b

disques ouverts disjoints et

p

pointsdistin ts à lasurfa e de genre

g

(on suppose bien sûr aussi que les points n'appartiennent pas àl'adhéren e des disques que l'on retirent).

Lethéorèmesuivantestlepointdedépartdenotreétude.Il ara tériselefaitqu'unestru ture proje tive est de volume ni en terme d'holonomie. Ce théorème est le resultat prin ipal de l'arti le[Mar 1℄.

Théorème 3.2 (M).  Une stru ture proje tive proprement onvexe à bord géodésique prin- ipal sur la surfa e

Σ

g,b,p

est de volume ni si et seulement si l'holonomiedes la ets qui font le tour d'un bout est parabolique et l'holonomie des la ets élémentaires homotopes à une ompo-sante onnexe du bord est hyperbolique ou quasi-hyperbolique.

On rappellela proposition suivantequi est démontré dans [Mar 1℄.

Proposition 3.3 (M).  Soit

S

unesurfa e,onmunit

S

d'unestru tureproje tive onvexeet on note

Ω

l'intérieur dela partieproprement onvexe donnépar la développantede la stru ture proje tive de

S

. L'holonomie de tout la et non élémentaire est un élément hyperbolique qui vérie que

p

0

γ

∈ ∂Ω

/

.

On rappellebrièvement la dénition d'une dé ompositionen pantalon.

Dénition 3.4.  Soit

S

une surfa e, une famille de la ets

(c

i

)

i

∈I

de

S

est une dé omposi-tion en pantalon de

S

lorsque les

(c

i

)

i

∈I

sont des la ets simples, deux à deux disjoints et les omposantes onnexes de

S

privée de laréuniondes

(c

i

)

i

∈I

sontdes pantalonsouverts.

Pour paramétrer l'espa e des modulesdes stru tures proje tives de volumeni sur une sur-fa e

S

, nous allons utiliserune dé omposition en pantalonde lasurfa e àl'aide d'un ensemble ni de la ets

(c

i

)

i

∈I

. Dans le as d'une surfa e de Riemann, on voit apparaître deux types de paramètres: la lasse de onjugaison de l'holonomiedes la ets

(c

i

)

i

∈I

et un paramètrede twist lelong de ha un des

(c

i

)

i

∈I

. Dansle as proje tive onvexe,les hoses se ompliquentun peu. Tout d'abord la lasse de onjugaison de l'holonomiedes la ets

(c

i

)

i

∈I

etleparamètre de twist le long de ha un des

(c

i

)

i

∈I

ne sont plus mesurés àl'aide d'un nombre réel mais à l'aide d'un élément de

R

2

. Et aussi, alors qu'il existe un et un seul pantalon hyperboliquedont les bords sontde longueurxée, l'espa e des modulesdes pantalons proje tifsproprement onvexes dont les lassesde onjugaison de l'holonomie des bords est xée est homéomorphe à

R

2

.

Lorsque qu'ondé oupeune surfa e àbord

S

en pantalon, onobtienttroistypesd'holonomie pour lesla ets élémentaires des pantalons :

•

Les la ets qui viennent d'un la et non élémentaire dans

S

, l'holonomie de es la ets est hyperbolique.

•

Les la etsqui fontle tour d'un bout de

S

,l'holonomie de es la ets est parabolique.

Dénition 3.5.  Un pantalon ave mémoire est une surfa e

Σ

0,b,p

,ave

b + p = 3

,ainsi que la donnée pour ha un des bords d'une orientation et de l'un des mots suivants :

{

oupure, bord

}

.On note

P

∗

i,j,k

lepantalonave mémoirequipossède

i

bordsmarqués" oupure",

j

bords marqués "bord" et

k

pointes. On a une dénition naturelle de

β

f

(P

∗

i,j,k

)

: il s'agit de l'espa e des modules des stru tures proje tives onvexes marquées de volumeni sur la surfa e

Σ

0,i+j,k

telle que l'holonomiedes bords marqués " oupure" est hyperbolique.

Soient

Σ

g,b,p

une surfa e de ara téristique d'Euler stri tement négative et une famille de la ets

(c

i

)

i

∈I

de

S

qui dénit une dé omposition en pantalon de

S

, onnote

(P

j

)

j

∈J

l'ensemble des pantalons obtenus. On se donneune famille

(b

k

)

k=1,...,b

de la ets élémentaires homotopesà une omposante onnexe du bord de

S

telle quetoutes les omposantes onnexes du bord sont représentées une et une seule fois. On notera

P

∗

j

le pantalon ave mémoire asso ié à

P

j

de la façon suivante :

•

Les bords de

P

j

qui viennent d'un la et non élémentaire de

S

sont marqués " oupures".

•

Les bords de

P

j

qui viennent d'un la et élémentaire de

S

sont marqués "bords".

L'orientation des bords de

P

j

est l'orientationdonnée par les la ets

(c

i

)

i

∈I

et

(b

k

)

k=1,...,b

. On peut à présent énon er notreparamétrisation de l'espa e des modules.Commençonspar énon er le théorème dans le as sans bord.

Théorème 3.6.  Soient

Σ

g,0,p

une surfa e sans bord de ara téristique d'Euler stri tement négative et une famille de la ets

(c

i

)

i

∈I

de

S

qui dénit une dé omposition en pantalon de

S

, on note

(P

∗

j

)

j

_∈J

l'ensemble des pantalons ave mémoire obtenus. Alors, 1. Les la ets

(c

i

)

i

∈I

ne sont pas élémentaires.

2.

|I| = 3g − 3 + p

et

|J| = −χ(Σ

g,b,p

) = 2g − 2 + p

. 3. L'holonomie des

c

i

pour

i ∈ I

est hyperbolique. 4. L'appli ation naturelle

β

f

(Σ

g,0,p

) →

Q

j

∈J

β

f

(P

j

∗

)

est une bration qui admet une a tion

simplement transitive préservantles bres du groupe

(R

2

₎

I

. 5. On note

(c

r

j

)

r=1...l

j

la sous-famille de

(c

i

)

i

∈I

des

l

j

la ets élémentaires du pantalon

P

j

homotopes à une omposante onnexe du bord du pantalon

P

j

. L'appli ation :

β

f

(P

j

∗

) →

R

l

j

P

7→ (λ(Hol(c

r

j

)), τ (Hol(c

r

j

)))

r=1...l

j

est une bration dont les bres sont homéomorphes à

R

2

. 6. En parti ulier,

β

f

(Σ

g,0,p

)

est homéomorphe à

R

16g−16+6p

.

On donne à présent l'énon é dans le as àbord.

Théorème 3.7.  Soient

Σ

g,b,p

une surfa e à bord de ara téristique d'Euler stri tement né-gative et une famille de la ets

(c

i

)

i

∈I

de

S

qui dénit une dé omposition en pantalon de

S

, on note

(b

k

)

k=1,...,b

une familledela etsélémentaireshomotopes àune omposante onnexe dubord de

S

telle que toutes les omposantes onnexes du bord sont représentées une et une seule fois. On note

(P

∗

j

)

j

_∈J

l'ensemble des pantalons ave mémoire obtenus. Alors, 1. Les la ets

(c

i

)

i

∈I

ne sont pas élémentaires.

2.

|I| = 3g − 3 + p + b

et

|J| = −χ(Σ

g,b,p

) = 2g − 2 + p + b

. 3. L'holonomie des

c

i

pour

i ∈ I

est hyperbolique.

4. L'appli ation naturelle

β

f

(Σ

g,b,p

) →

Q

j

_∈J

β

f

(P

j

∗

)

est une bration qui admet une a tion

simplement transitive préservantles bres du groupe

(R

2

₎

I

5. On note

(c

r

j

)

r=1...l

j

la sous-famille de

(c

i

)

i

∈I

des

l

j

la ets élémentaires du pantalon

P

j

qui sont homotopes à une omposante onnexe du borddu pantalon

P

j

marqué " oupure". On note

(b

s

j

)

s=1...m

j

la sous-famille de

(b

k

)

k=1,...,b

des

m

j

la ets élémentaires du pantalon

P

j

qui sont homotopes à une omposante onnexe du bord du pantalon

P

j

marqué "bord". L'appli ation :

β

f

(P

j

∗

) →

R

l

j

× b

R

m

j

P

7→ (λ(Hol(c

r

j

)), τ (Hol(c

r

j

)))

r=1...l

j

× (λ(Hol(b

s

j

)), τ (Hol(b

s

j

)))

s=1...m

j

est une bration dont les bres sont homéomorphes à

R

2

.

6. Enparti ulier,

β

f

(Σ

g,b,p

)

est unevariététopologiqueàborddedimension

16g −16 + 6p + 8b

homéomorpheà

R

16g−16+6p+7b

_{× [0, 1]}

b

.

La démonstration de e théorème va né essiter plusieurs lemmes. Mais ommençons plutt pardonnerlesétapesdeladémonstration.Lesdeuxpremierspointssontdesrésultats lassiques de topologie des surfa es. Le troisième point est une onséquen e du premier point et de la proposition3.3. Lequatrième point est un résultat de Goldman([Gol90℄) dont nous donnons une démonstrationauparagraphe 3.1 pour la ommoditédu le teur. Le inquièmepointest le pointlepluste hnique,l'idéevientde Goldman([Gol90℄)mais ettefois- i,nousauronsbesoin d'un réel travail pour pouvoirutiliser es idées, onverra ela au paragraphe3.2. Lesixième et dernier pointest une simple onséquen e des points 4.et 5.et du al ul suivant.

•

L'holonomie des

(c

i

)

i

∈I

donne

|I|

éléments de

R

, soit

2(3g − 3 + p)

paramètres.

•

Dans le as ave bord, les bords fournissent

b

élémentsde

R

b

.

•

Les pantalons

(P

j

)

j

∈J

donnent deux paramètres ha un, soit

2(2g − 2 + p)

paramètres.

•

Lere ollementde deuxpantalonslelongd'un

c

i

fournitdeux paramètres,soit

2(3g −3+p)

paramètres.

•

Bilan : l'espa e des modules est homéomorphe à

R

I

_{× b}

_R

b

_{× (R}

2

₎

J

_{× (R}

2

₎

I

qui est une variététopologiqueàbord dedimension

2(3g − 3 + p) + 2b + 2(2g − 2 + p) + 2(3g − 3 + p) =

16g − 16 + 8b + 6p

.

Remarque.  Dé rivons unpeu lastru ture de

β

f

(Σ

g,b,p

)

.L'intérieurde

β

f

(Σ

g,b,p

)

est homéo-morpheà

R

16g−16+8b+6p

. Il s'agitdes stru tures pour lesquels l'holonomie des la etshomotopes à une omposante onnexe du bord est hyperbolique.

Plus généralement,on peut dé omposer

β

f

(Σ

g,b,p

)

en une réunionde variétés lisses (strates) touteshoméomorphesàdesboules.Et,si

d 6 b

l'espa e

β

f

(Σ

g,b,p

)

possède

2

d

_×C

d

b

stratesde o-dimension

d

.Eneet,laréuniondes stratesde odimension

d

estl'ensembledesstru turesdont l'holonomie de

d

la ets homotopesà une omposante onnexedu bord est quasi-hyperbolique. Choisir une strate de dimension

d

, 'est don hoisir

d

la ets parmi les la ets

(b

k

)

k=1,...,b

et ensuitepour ha und'eux hoisir silepointxerépulsif de l'holonomieest

C

1

ounon. Il n'ya pas de strate de odimension

d

, si

d > b

.Enn, on peut remarquer que l'adhéren e des strates de odimension

d

est l'ensemble des stratesde odimension

d

′

_>

_d

.

3.1. Démonstrationdu quatrièmepointdu théorème3.7.  Lebut de e paragraphe estdemontrerlequatrièmepointduthéorème3.7.Commençonsparrappelerquelques proposi-tions lassiquesdegéométriehyperboliquequisonten orevraidanspourlessurfa esproje tives proprement onvexes.

Proposition 3.8.  Soit

S

une surfa e, on munit

S

d'une stru ture proje tive proprement onvexe. Alors, tout la et simple non élémentaire tra é sur

S

est librement homotope à une

Proposition 3.9.  Soit

S

une surfa e, on munit

S

d'une stru ture proje tive proprement onvexe. Soient

c

1

et

c

2

deuxla ets simples etnon élémentaires tra és sur

S

, on note

λ

1

(resp.

λ

2

) l'unique géodésique librement homotope à

c

1

(resp.

c

2

). Si

c

1

est simplealors

λ

1

est simple. Si lesla ets

c

1

et

c

2

ne s'interse tent pas, alors les géodésiques

λ

1

et

λ

2

ne s'interse tent pas.

Lesdémonstrationssont identiques à elledu mondehyperbolique.On peut lestrouverdans [Gol90, Mar 1℄.

On onsidère une surfa e

S

et

c

un la et simple etnon élémentaire tra é sur

S

.On note

S|c

lasurfa e topologique obtenue en retirant

c

à

S

et en ajoutant deux bords orrespondants à

c

. C'est possible ar

S

est orientable. On note

β

f

(S|c

∗

₎

l'espa e des modules des stru tures pro-je tives de volume ni sur lasurfa e

S|c

telque lesholonomies des deux bords orrespondants à

c

sont hyperboliques et onjuguées.

Il y a une appli ation naturelle de

ϕ

|c

: β

f

(S) → β

f

(S|c

∗

)

. Expliquons sa onstru tion de façon su inte. On onsidère une surfa e proje tive proprement onvexe

S ∈ β

f

(S)

, elle est donnée par un homéomorphisme de

S

vers le quotient d'une partie proprement onvexe

C

de

P

2

parun sous-groupedis ret

Γ

de

SL

3

(R)

quipréserve

C

.Lela et

c

est librementhomotopeà une géodésique de

S

,onpeut don supposer quetout relevé de

c

à

C

est un segment ouvert de

C

dont les extrémités sont sur le bord de

C

. On hoisit un relevé

λ

de

c

, omme le la et

c

est simple, lesimages de

λ

par

Γ

ne s'interse tent pas.

Pour onstruire

ϕ

|c

, il faut distinguer deux as : la surfa e

S|c

est onnexe ou bien la sur-fa e

S|c

possèdedeux omposantes onnexes. Danslepremier as, onnote

C

′

|c

une omposante onnexede

C −

S

γ

_∈Γ

γλ

.Onnote

Γ

|c

lestabilisateurdans

Γ

de

C

′

|c

.Onnote

C

|c

le onvexeobtenuen ajoutant à

C

′

|c

lesrelevésde

c

qui bordent

C

′

|c

.Le ouple

(C

|c

, Γ

|c

)

fournitlastru turevouluesur

S|c

, elle- iest lairementproprement onvexeetelleestdevolumenid'aprèslethéorème3.2.

Dans le se ond as, on note

C

′1

|c

et

C

′2

|c

les omposantes onnexes de

C −

S

γ

_∈Γ

γλ

qui bordent

λ

. On note

Γ

1

|c

(resp.

Γ

2

|c

) le stabilisateur dans

Γ

de

C

′1

|c

(resp.

C

′2

|c

). On note

C

1

|c

(resp.

C

2

|c

) le onvexe obtenu en ajoutant à

C

′1

|c

(resp.

C

′2

|c

) les relevés de

c

qui bordent

C

′1

|c

(resp.

C

′2

|c

). Les ouples

(C

1

|c

, Γ

1

|c

)

et

(C

2

|c

, Γ

2

|c

)

fournissent la stru ture voulue sur

S|c

, elle- i est lairement pro-prement onvexe et elleest de volume ni d'après lethéorème 3.2.

On peut àprésent énon er laproposition3.10dontle point4.est une onséquen e évidente.

Proposition 3.10.  Soient

S

une surfa e et

c

un la etsimpleetnonélémentairede

S

, l'ap-pli ation naturellede

ϕ

|c

: β

f

(S) → β

f

(S|c

∗

)

est une brationqui admet une a tionsimplement transitive du groupe

R

2

sur es bres.

Dansleparagraphe3.1.1nousallons onstruire ettea tionetdansleparagraphe3.1.2 nous montreronsque ette a tionest simplementtransitive.

3.1.1. Constru tion de l'a tion de

R

2

.  On reprend les notations du paragraphe pré édent. On saitque l'holonomie

γ

de

c

est hyperbolique ave

p

0

γ

∈ C

/

. On peut supposer que l'élément

γ

est donné par une matri ediagonaleàdiagonalestri tementpositiveetque lesentrées de la diagonalede

γ

sont ordonnées par ordre roissant.

Soient

(u, v) ∈ R

2

T

u

₌





e

−u

₀

₀

0

1

0

0

0 e

u



 U

v

₌





e

−v

₀

₀

0

e

2v

₀

0

0

e

−v





La omposante neutre du entralisateur de

γ

dans

SL

3

(R)

est le groupe

D

isomomorphe à

R

2

donné par

D = {T

u

_U

v

_{| (u, v) ∈ R}

2

_}

. Nous allons dénir une a tion de

D

sur

β

f

(S)

qui préserve la bration

ϕ

|c

: β

f

(S) → β

f

(S|c

∗

)

.

On se donne deux réels

u

et

v

et on va onstruire une nouvelle stru ture proje tive propre-ment onvexe sur

S

. Onnote

dev

0

ladéveloppantede

S

et

ρ

0

son holonomie. Ilfaut distinguer deux as:lasurfa e

S|c

est onnexeoubienlasurfa e

S|c

possèdedeux omposantes onnexes.

On ommen e par le se ond as ar il est plus fa ileà visualiser. On note

C

′

1

et

C

′

2

les deux omposantes onnexes de

C −

S

γ

_∈Γ

γλ

qui bordent

λ

. On note

Γ

1

(resp.

Γ

2

)le stabilisateur dans

Γ

de

C

′

1

(resp.

C

′

2

). Legroupe

Γ

est leproduit amalgamédu groupe

Γ

1

et

Γ

2

lelong du groupe engendré par

γ

.La nouvelleholonomie

ρ

u,v

est dénie de la façon suivante :

•

Si

δ ∈ Γ

1

alors onpose

ρ

u,v

(δ) = ρ

0

(δ)

.

•

Si

δ ∈ Γ

2

alors onpose

ρ

u,v

(δ) = T

u

_U

v

_ρ

0

(δ)U

−v

T

−u

.

•

Cette dénition n'est pas ambiguë ar

T

u

_U

v

ommute ave

γ

.

Lanouvelledéveloppanteest l'uniquehoméomorphisme

ρ

u,v

-équivariantquiprolonge l'appli- ation

dev

u,v

: C

′

1

∪ C

2

′

→ P

2

suivante :

•

Si

x ∈ C

′

1

alors onpose

dev

u,v

(x) = dev

0

(x)

.

•

Si

x ∈ C

′

2

alors onpose

dev

u,v

(x) = T

u

_U

v

_dev

0

(x)

.

•

L'existen e etl'uni itédu prolongement de

dev

u,v

à

C = e

S

est évidente.

Danslepremier as, onnote

C

′

une omposante onnexe de

C −

S

γ

∈Γ

γλ

. On note

Γ

′

le stabili-sateurdans

Γ

de

C

′

. Enn,onnote

α

unélémentde

Γ

qui orrespond àun hemin simpletra é sur

S|c

reliant les deux bords de

S|c

orrespondant à

c

. Nous allons modier la développante

dev

0

de

S

ainsi queson holonomie

ρ

0

. Legroupe

Γ

estl'HNN-extension de

Γ

′

relativementà

α

. La nouvelleholonomie

ρ

u,v

est dénie de la façon suivante :

•

Si

δ ∈ Γ

′

alors onpose

ρ

u,v

(δ) = ρ

0

(δ)

.

•

On pose

ρ

u,v

(α) = T

u

_U

v

_ρ

0

(α)

.

•

Cette dénitionne dépend pas du hoix de l'élément

α

ar

T

u

_U

v

ommute ave l'élément

γ

.

Lanouvelledéveloppanteest l'uniquehoméomorphisme

ρ

u,v

-équivariantquiprolonge l'appli- ation

dev

u,v

|

C

′

= dev

0

|

C

′

.

On a ainsi déni pour tout la et simple non élémentaire

c

tra é sur la surfa e proje tive proprement onvexe

S ∈ β

f

(S)

une a tion du entralisateur

D

de Hol

(c)

sur

S

.

Comme

D

est isomorpheà

R

2

,nousvenonsde onstruire pourtout la etsimplenon élémen-taire

c

tra é sur la surfa e topologique

S

une a tion de

R

2

sur

β

f

(S)

qui préserve labration

ϕ

_|c

: β

f

(S) → β

f

(S|c

∗

)

. Ainsi, pour tout ouple

(u, v) ∈ R

2

, tout la et simple tra é sur

S

et pour tout surfa e proje tive proprement onvexe

S ∈ β

f

(S)

, on notera

S

(u,v)

la surfa e pro-je tive proprement onvexe de volume ni obtenue par l'a tion de

(u, v)

sur

S

que l'on vient

de dénir. Cette a tion de

R

2

sur

β

f

(S)

est libre. En eet, ilest lair que

ρ

u,v

6= ρ

0

pour tout ouple

(u, v) ∈ R

2

(Il sut de distinguer les as

S|c

onnexeet

S|c

non onnexe). 3.1.2. L'a tion de

R

2

est simplement transitive.  Nousallons montrer le lemmesuivant qui on lut ladémonstrationde la proposition3.10.

Lemme 3.11.  Soient

S

une surfa e,

c

un la etsimplenonélémentairede

S

et

S

et

T

deux surfa es proje tivesproprement onvexes de

β

f

(S)

tellesque

ϕ

|c

(S) = ϕ

|c

(T )

, alors il existe un unique ouple

(u, v) ∈ R

2

tel que

T = S

(u,v)

.

Démonstration.  Commel'a tionde

R

2

sur

β

f

(S)

est libre,iln'yaquel'existen eàmontrer. On ne fait quele as où

S|c

possède deux omposantes onnexes, l'autre as est analogue. On note

C

1

S

et

C

2

S

(resp.

C

1

T

et

C

2

T

)lespartiesproprement onvexes asso iéesauxdeux omposantes onnexes de

S

(resp.

T

) données par la développante de sa stru ture proje tive. On suppose bien sûr que

C

1

S

et

C

1

T

(resp.

C

2

S

et

C

2

T

) orrespondent à la même omposante onnexe de

S|c

. L'hypothèse

ϕ

|c

(S) = ϕ

|c

(T )

entrainequelespartiesproprement onvexes

C

1

S

et

C

1

T

(resp.

C

2

S

et

C

2

T

)sont proje tivement équivalentes.

Onpeut supposerquel'holonomie

γ

de

c

pour es 4stru turesproje tivesestdonnéeparune matri ediagonaleàdiagonalestri tementpositive,etque lesentrées de ladiagonalede

γ

sont rangéespar ordre roissant.Les points

p

+

γ

, p

−

γ

, p

0

γ

sontdon lesmêmes pour es4 stru tures,ils dénissent un pavage de

P

2

par 4trianglesfermés.Deux de es trianglesbordentl'axede

γ

,on lesnote

∆

1

et

∆

2

.Ladynamiquedesélémentshyperboliquesmontreque, quitteàrenuméroter, onpeut supposer que

C

1

S

et

C

1

T

(resp.

C

2

S

et

C

2

T

) sont in lus dans

∆

1

(resp.

∆

2

). Les parties proprement onvexes

C

1

S

et

C

1

T

sont proje tivement équivalentes. On peut don supposer que

C

1

S

= C

T

1

.De même,lespartiesproprement onvexes

C

2

S

et

C

2

T

sontproje tivement équivalentes. Par onséquent, il existe une transformation proje tive

f

qui identie

C

2

S

sur

C

2

T

. On peut supposer que elle- i préserve l'axe de

γ

. Par onséquent, elle doit aussi préserver le point

p

0

γ

puisque 'est l'interse tion des demi-tangentes (diérentes de l'axe de

γ

) à

C

2

S

et

C

2

T

aux points

p

+

γ

et

p

−

γ

. Par onséquent, la transformation proje tive

f

xe les points

p

+

γ

,

p

−

γ

et

p

0

γ

, 'est don un élément du entralisateur de

γ

. Par suite, l'élément

f

appartient au groupe

D

, et lastru ture

T

sur la surfa e topologique

S

est obtenue par l'a tion de

f

sur

S

. C'est e qu'il fallaitmontrer.

3.2. Démonstration du inquième point du théorème 3.7. 

3.2.1. Les pantalons et l'objet ombinatoire.  Pour éviter les onfusions sur l'objet désigné par le mot triangle, on utiliserala onvention suivante : un triangle fermé est un fermé d'une arte ane qui est l'interse tion de trois demi-plans fermés en position générique. Un triangle ouvert estl'intérieur(quiest toujoursnonvide)d'untrianglefermé.Untriangle épointé estun triangle fermé sans ses sommets. Un triangle topologique est l'image d'un triangle épointépar un homéomorphisme.

L'idéede Goldmanestlasuivante:nous allonsasso ier àtout pantalonproje tifproprement onvexe

P

un objet ombinatoire, à savoir quatre triangles dont la réunion est un hexagone, muni detroisappli ationsproje tivesquiidentient ertainstrianglesentre eux(Voirgure6). Legroupe

Γ

engendrépar estroisappli ationsestisomorpheaugroupelibreà2générateurs.La réuniondes quatretrianglesépointésetdeleursimagessous

Γ

formentun ouvert

Ω

proprement onvexe. Le quotient

Ω/

Γ

est le pantalon

P

.