Version motivique des relations de double mélange Le cas des mots "convergents"

(1)

Double mélange motivique I. Soudères

Introduction Intégrales et double mélange

Shuffle et MZV Stuffle et MZV Stuffle et intégrales : ex.

Stuffle et intégrales Double mélange et M0,n

Les espaces M0,n

Double mélange surM0,n Stuffle motivique

Une stratégie d’évitement Éclatement et motifs de Tate Les espacesXn Stuffle et motifs de Tate mixtes

Version motivique des relations de double mélange

Le cas des mots "convergents"

Ismaël Soudères

12 Janvier 2009

Les espaces M0,n

1 Introduction

2 Représentation intégrale du double mélange

Shuffle et représentation "simpliciale" des MZV Mélange contractant et séries

Produit stuffle et intégrales : ζ (2)ζ(2) Produit stuffle et intégrales

3 Le point de vue des espaces de module de courbes en genre 0 Espaces de modules de courbes et MZV

Applications d’oubli et produits de mélanges sur M _0,n

4 Mélange contractant et motifs de Goncharov-Manin Une stratégie d’évitement

Stratification, éclatements et motifs de Tate mixtes Les espaces X _n

Le mélange contractant est motivique

(2)

Les espaces M0,n

Introduction

Définition des MZV

Pour tout p-uplet k = (k ₁ , . . . , k _p ) d’entiers avec k ₁ > 2, la valeur zêta multiple (MZV) ζ(k) est définie par

ζ(k) = X

n

1

>...>n

p

>0

1 n ^k ₁

¹

· · · n _p ^k

^p

.

Relations de doubles mélanges

Ces nombres réels satisfont deux familles de relations

quadratiques, appelées double mélange ou shuffle et stuffle. Le stuffle ou mélange contractant vient de la représentation en termes de séries ci dessus,

le shuffle ou mélange vient d’une représentation en termes d’intégrales des valeurs zêta multiples.

Les espaces M0,n

Introduction

Définition des MZV

Pour tout p-uplet k = (k ₁ , . . . , k _p ) d’entiers avec k ₁ > 2, la valeur zêta multiple (MZV) ζ(k) est définie par

ζ(k) = X

n

1

>...>n

p

>0

1 n ^k ₁

¹

· · · n _p ^k

^p

.

Relations de doubles mélanges

Ces nombres réels satisfont deux familles de relations

quadratiques, appelées double mélange ou shuffle et stuffle.

Le stuffle ou mélange contractant vient de la représentation en termes de séries ci dessus,

le shuffle ou mélange vient d’une représentation en termes

d’intégrales des valeurs zêta multiples.

(3)

Les espaces M0,n

Le produit shuffle et les MZV

MZV et intégrales simpliciales

À un p-uplet k, de poids n = k ₁ + · · · + k _p , on associe le n-uplet k = ( 0, . . . , 0

| {z }

k

1

−1 fois

, 1, . . . , 0, . . . , 0

| {z }

k

p

−1 fois

, 1) = (ε _n , . . . , ε ₁ ).

En posant ∆ _n = {0 < t ₁ < . . . < t _n < 1}, on a ζ(k) =

Z

∆

n

(−1) ^p dt ₁

t ₁ − ε ₁ ∧ · · · ∧ dt _n t _n − ε _n

| {z }

=ω

_k

=ω

_k

.

Le produit shuffle

Le produit shuffle d’un n-uplet e et d’un m-uplet f de symboles est la somme formelle des n + m-uplets composés des n + m symboles et préservant l’ordre de e et f.

Exemple

XY _X AB = XYAB + XAYB + XABY + AXYB + AXBY + ABXY

Les espaces M0,n

Le produit shuffle et les MZV

MZV et intégrales simpliciales

À un p-uplet k, de poids n = k ₁ + · · · + k _p , on associe le n-uplet k = ( 0, . . . , 0

| {z }

k

1

−1 fois

, 1, . . . , 0, . . . , 0

| {z }

k

p

−1 fois

, 1) = (ε _n , . . . , ε ₁ ).

En posant ∆ _n = {0 < t ₁ < . . . < t _n < 1}, on a ζ(k) =

Z

∆

_n

(−1) ^p dt ₁

t ₁ − ε ₁ ∧ · · · ∧ dt _n t _n − ε _n

| {z }

=ω

_k

=ω

k

.

Le produit shuffle

Le produit shuffle d’un n-uplet e et d’un m-uplet f de symboles est la somme formelle des n + m-uplets composés des n + m symboles et préservant l’ordre de e et f.

Exemple

XY _X AB = XYAB + XAYB + XABY + AXYB + AXBY + ABXY

(4)

Les espaces M0,n

Le produit shuffle et les MZV

Représentation intégrale du produit shuffle

Proposition (Relations de shuffle)

Soit k = (k ₁ , . . . , k _p ) et l = (l ₁ , . . . , l _q ) avec k ₁ , l ₁ > 2. Alors Z

∆

n

ω _k Z

∆

m

ω _l = X

σ∈sh(k,l)

Z

∆

n+m

ω σ . (1)

Démonstration.

Z

∆

n

ω _k Z

∆

m

ω _l = Z

∆

dt ₁

1 − t ₁ · · · dt _n t _n

dt _n+1

1 − t _n+1 · · · dt _n+m t _n+m . avec

∆ = {0 < t ₁ < . . . < t _n < 1} × {0 < t _n+1 < . . . < t _n+m < 1}

= a

σ∈sh([[1,n]],[[n+1,m]])

{0 < t _σ(1) < t _σ(2) < ... < t _σ(n+m) < 1}

| {z }

∆

σ

a ∆ _C .

Les espaces M0,n

Produit stuffle ou mélange contractant

Combinatoire du mélange contractant

Soit k = (k ₀ , k _p ) (k ₀ = (k ₁ , . . . , k _p−1 )) et l = (l ₀ , l _q ) (l ₀ = (l ₁ , . . . , l _q−1 )) deux uplets d’entiers.

Définition (Stuffle)

Le produit stuffle de k et l est défini de façon inductive par la formule

(k) ∗ (l) = (k ∗ l ₀ ) · l _q + (k ₀ ∗ l) · k _p + (k ₀ ∗ l ₀ ) · (k _p + l _q ) (2) et k ∗ () = () ∗ k = k.

On écrira σ ∈ st(k, l) pour désigner un élément σ de la somme formelle k ∗ l.

Exemple

(n) ∗ (m) = (n, m) + (m, n) + (n + m)

(u)∗(v , w ) = (u, v , w )+(v , u, w )+(v , w, u )+(u+v , w)+(v , u +w ).

(5)

Les espaces M0,n

Produit stuffle ou mélange contractant

Stuffle et valeurs zêta multiple

Proposition (Relations de stuffle)

Soit k = (k ₁ , . . . , k _p ) et l = (l ₁ , . . . , l _q ) deux uplets d’entiers avec k ₁ , l ₁ > 2. On a alors l’égalité

ζ(k)ζ(l) =





X

n

1

>...>n

p

>0

1 n ₁ ^k

¹

· · · n ^k _p

^p









X

m

1

>...>m

q

>0

1 m ^l ₁

¹

· · · m _q ^l

^q





= X

σ∈st(k,l)

ζ(σ).

Exemple

ζ (k)ζ(l ) =

+∞

X

n=1 +∞

X

m=1

1 n ^k m ^l = X

n>m>0

1 n ^k m ^l + X

m>n>0

1 m ^l n ^k + X

n=m

1 n ^k+l

= ζ(k, l ) + ζ (l , k ) + ζ(k + l ).

Les espaces M0,n

Produit stuffle et intégrales : ζ (2)ζ (2)

MZV comme intégrale sur un cube

On a vu que ζ(2) = R

∆

2

dt

2

t

2

dt

1

1−t

1

. Le changement de variables t _n = x ₁ , t _n−1 = x ₁ x ₂ , . . . , t ₁ = x ₁ ...x _n , (3) correspondant à une suite d’éclatements à l’origine, donne pour n = 2

ζ(2) = Z

[0,1]

²

dx ₁ x ₁

x ₁ dx ₂ 1 − x ₁ x ₂ =

Z

[0,1]

²

dx ₁ dx ₂ 1 − x ₁ x ₂ ,

et pour n = 4 ζ (4) =

Z

[0,1]

⁴

d ⁴ x

1 − x ₁ x ₂ x ₃ x ₄ ζ(2, 2) = Z

[0,1]

⁴

x ₁ x ₂ d ⁴ x

(1 − x ₁ x ₂ )(1 − x ₁ x ₂ x ₃ x ₄ ) et ζ(2)ζ (2) =

Z

[0,1]

⁴

1 1 − x ₁ x ₂

1 1 − x ₃ x ₄ d ⁴ x .

(6)

Les espaces M0,n

Produit stuffle et intégrales : ζ (2)ζ (2)

MZV comme intégrale sur un cube

On a vu que ζ(2) = R

∆

2

dt

2

t

2

dt

1

1−t

1

. Le changement de variables t _n = x ₁ , t _n−1 = x ₁ x ₂ , . . . , t ₁ = x ₁ ...x _n , (3) correspondant à une suite d’éclatements à l’origine, donne pour n = 2

ζ(2) = Z

[0,1]

²

dx ₁ x ₁

x ₁ dx ₂ 1 − x ₁ x ₂ =

Z

[0,1]

²

dx ₁ dx ₂ 1 − x ₁ x ₂ , et pour n = 4

ζ (4) = Z

[0,1]

⁴

d ⁴ x

1 − x ₁ x ₂ x ₃ x ₄ ζ(2, 2) = Z

[0,1]

⁴

x ₁ x ₂ d ⁴ x

(1 − x ₁ x ₂ )(1 − x ₁ x ₂ x ₃ x ₄ ) et ζ(2)ζ(2) =

Z

[0,1]

⁴

1 1 − x ₁ x ₂

1 1 − x ₃ x ₄ d ⁴ x .

Les espaces M0,n

Produit stuffle et intégrales : ζ (2)ζ (2)

ζ (2)ζ (2) par les intégrales

Pour toute variable α et β on a l’égalité 1

(1 − α)(1 − β) = α

(1 − α)(1 − αβ) + β

(1 − β )(1 − βα)

+ 1

1 − αβ . (4) En posant α = x ₁ x ₂ et β = x ₃ x ₄ dans (4), on retrouve la relation de stuffle

ζ (2)ζ (2) = Z

[0,1]

⁴

x ₁ x ₂

(1 − x ₁ x ₂ )(1 − x ₁ x ₂ x ₃ x ₄ )

+ x ₃ x ₄

(1 − x ₃ x ₄ )(1 − x ₃ x ₄ x ₁ x ₂ ) + 1 1 − x ₁ x ₂ x ₃ x ₄

d ⁴ x (5) c’est à dire,

ζ(2)ζ (2) = ζ(2, 2) + ζ(2, 2) + ζ(4).

(7)

Les espaces M0,n

Produit stuffle et intégrales

MZV comme intégrale sur un cube : cas général

Soit k = (k ₁ , . . . , k _p ) un p-uplet d’entiers et n = k ₁ + · · · + k _p . On définit la fonction f _k

₁

_,...,k

_p

de n variables sur [0, 1] ⁿ comme

f _k

₁

_,...,k

_p

(x ₁ , . . . , x _n ) = 1 1 − x ₁ · · · x _k

₁

x ₁ · · · x _k

₁

1 − x ₁ · · · x _k

₁

x _k

₁

₊₁ · · · x _k

₁

_+k

₂

x ₁ · · · x _k

₁

_+k

₂

1 − x ₁ · · · x _k

₁

_+k

₂

_+k

₃

· · · x ₁ · · · x _k

₁

_+...+k

_p−1

1 − x ₁ · · · x _k

₁

_+···+k

_p

. (6)

Proposition

Pour tout p-uplet d’entiers (k ₁ , . . . , k _p ) avec k ₁ > 2, on a (n = k ₁ + · · · + k _p )

ζ(k ₁ , . . . , k _p ) = Z

[0,1]

ⁿ

f _k

₁

_,...,k

_p

(x ₁ , . . . , x _n ) d ⁿ x . (7)

Les espaces M0,n

Produit stuffle et intégrales

MZV comme intégrale sur un cube : cas général

Soit k = (k ₁ , . . . , k _p ) un p-uplet d’entiers et n = k ₁ + · · · + k _p . On définit la fonction f _k

₁

_,...,k

_p

de n variables sur [0, 1] ⁿ comme

f _k

₁

_,...,k

_p

(x ₁ , . . . , x _n ) = 1 1 − x ₁ · · · x _k

₁

x ₁ · · · x _k

₁

1 − x ₁ · · · x _k

₁

x _k

₁

₊₁ · · · x _k

₁

_+k

₂

x ₁ · · · x _k

₁

_+k

₂

1 − x ₁ · · · x _k

₁

_+k

₂

_+k

₃

· · · x ₁ · · · x _k

₁

_+...+k

_p−1

1 − x ₁ · · · x _k

₁

_+···+k

_p

. (6)

Proposition

Pour tout p-uplet d’entiers (k ₁ , . . . , k _p ) avec k ₁ > 2, on a (n = k ₁ + · · · + k _p )

ζ(k ₁ , . . . , k _p ) = Z

[0,1]

ⁿ

f _k

₁

_,...,k

_p

(x ₁ , . . . , x _n ) d ⁿ x . (7)

(8)

Les espaces M0,n

Produit stuffle et intégrales

Préliminaires : notations

Soit k = (k ₁ , . . . , k _p ) = (k ₀ , k _p ) un p-uplet d’entiers et n = k ₁ + · · · + k _p . On se donne n variables x ₁ , . . . , x _n .

Notation

Pour tout uplet a = (a ₁ , . . . , a _r ), on écrira ^Q a = a ₁ · · · a _r . On écrira x pour (x ₁ , . . . , x _n ) et x ₀ pour (x ₁ , . . . , x n−k

p

).

Si l est un q-uplet avec l ₁ + · · · + l _q = m, on introduira m variables x ⁰ = (x ₁ ⁰ , . . . , x _m ⁰ ).

Si σ ∈ st(k, l) alors y σ est la suite en les x _i et x _j ⁰ telle que : certaines sous suites sont à leurs places respectives par rapport à la position des k _i et des l _j .

Remarque

Soit (k ₁ , . . . , k _p ) = (k ₀ , k _p ) comme précédemment, f _k

₁

_,...,k

_p

(x) = f _k

₁

_,...,k

_p−1

(x ₀ )

Q x ₀

1 − ^Q x . (8)

Les espaces M0,n

Produit stuffle et intégrales

Représentation intégrale du Stuffle

Proposition (Décomposition de Cartier)

Soit k = (k ₁ , . . . , k _p ) et l = (l ₁ , . . . , l _q ) deux uplets avec n = k ₁ + · · · + k _p et m = l ₁ + · · · + l _q . On a alors

f _k

₁

_,...,k

_p

(x) · f _l

₁

_,...,l

_q

(x ⁰ ) = X

σ∈st(k,l)

f _σ (y _σ ). (9)

Idée

On utilise une récurrence sur la longueur des suites. L’objectif est de retrouver la formule de récurrence (2) du produit stuffle pour les fonctions f _k

₁

_,...,k

_p

.

Si p = q = 1 ,

f _n (x)f _m (x ⁰ ) = 1 1 − ^Q x

1 1 − ^Q x ⁰

(4) =

Q x

(1 − ^Q x)(1 − ^Q x ^Q x ⁰ ) + Q x ⁰

(1 − ^Q x ⁰ )(1 − ^Q x ⁰ ^Q x) + 1

1 − ^Q x ^Q x ⁰ . (10)

(9)

Les espaces M0,n

Produit stuffle et intégrales

Représentation intégrale du Stuffle

Proposition (Décomposition de Cartier)

Soit k = (k ₁ , . . . , k _p ) et l = (l ₁ , . . . , l _q ) deux uplets avec n = k ₁ + · · · + k _p et m = l ₁ + · · · + l _q . On a alors

f _k

₁

_,...,k

_p

(x) · f _l

₁

_,...,l

_q

(x ⁰ ) = X

σ∈st(k,l)

f _σ (y _σ ). (9)

Idée

On utilise une récurrence sur la longueur des suites. L’objectif est de retrouver la formule de récurrence (2) du produit stuffle pour les fonctions f _k

₁

_,...,k

_p

.

Si p = q = 1 ,

f _n (x)f _m (x ⁰ ) = 1 1 − ^Q x

1 1 − ^Q x ⁰

(4) =

Q x

(1 − ^Q x)(1 − ^Q x ^Q x ⁰ ) + Q x ⁰

(1 − ^Q x ⁰ )(1 − ^Q x ⁰ ^Q x) + 1

1 − ^Q x ^Q x ⁰ . (10)

Les espaces M0,n

Produit stuffle et intégrales

Représentation intégrale du Stuffle : preuve

Pas de la récurrence

Soit (k ₁ , . . . , k _p ) = (k ₀ , k _p ) et (l ₁ , . . . , l _q ) = (l ₀ , l _q ) deux uplets. La remarque (8) donne

f _k

₀

_,k

_p

(x ₀ , x(k, p))f _l

₀

_,l

_q

(x ₀ ⁰ , x ⁰ (l, q)) = f _k

₀

(x ₀ )

Q x ₀

1 − ^Q x f _l

₀

(x ₀ ⁰ )

Q x ⁰ ₀ 1 − ^Q x ⁰ . En appliquant la formule (4) à α = ^Q x et β = ^Q x ⁰ , on trouve que le membre de droite de l’équation précédente est égal à

f _k

₀

(x ₀ )f _l

₀

(x ₀ ⁰ ) · ( ^Q x ₀ · ^Q x ⁰ ₀ )

Q

x

(1 − ^Q x)(1 − ^Q x ^Q x ⁰ )

+

Q x ⁰

(1 − ^Q x ⁰ )(1 − ^Q x ⁰ ^Q x) + 1

(1 − ^Q x ^Q x ⁰ )

.

(10)

Les espaces M0,n

Produit stuffle et intégrales

Représentation intégrale du Stuffle : preuve

fk0(x0)f l0(x00

)(Qx0Qx0 0)

Qx (1−Qx)(1−Q

xQ x0)

+

Qx0 (1−Q

x0)(1−Q x0Q

x) +

1 (1−Q

xQ x0)

! .

Suite et fin

En développant et en utilisant la remarque (8) on obtient, f _k

₀

_,k

_p

(x)f _l

₀

_,l

_q

(x ⁰ ) = f _k

₀

_,k

_p

(x)f _l

₀

(x ₀ ⁰ )

· Q x ^Q x ⁰ ₀ 1 − ^Q x ^Q x ⁰ +

f _k

₀

(x ₀ )f _l

₀

_,l

_q

(x ⁰ )

· Q x ⁰ ^Q x ₀ 1 − ^Q x ⁰ ^Q x +

(f _k

₀

(x ₀ )f _l

₀

(x ₀ ⁰ )) ·

Q x ₀ ^Q x ⁰ ₀ 1 − ^Q x ^Q x ⁰ . On voit donc que le produit des fonctions f _k

₁

_,...,k

_p

et f _l

₁

_,...,l

_q

satisfait la relation de récurrence (2) qui définit le produit stuffle.

Les espaces M0,n

Produit stuffle et intégrales

Représentation intégrale du Stuffle : preuve

fk0(x0)f l0(x00

)(Q x0Q

x0 0)

Qx (1−Q

x)(1−Q xQ

x0) +

Qx0 (1−Q

x0)(1−Q x0Q

x) +

1 (1−Q

xQ x0)

! .

Suite et fin

En développant et en utilisant la remarque (8) on obtient, f _k

₀

_,k

_p

(x)f _l

₀

_,l

_q

(x ⁰ ) = f _k

₀

_,k

_p

(x)f _l

₀

(x ₀ ⁰ )

· Q x ^Q x ⁰ ₀ 1 − ^Q x ^Q x ⁰ +

f _k

₀

(x ₀ )f _l

₀

_,l

_q

(x ⁰ )

· Q x ⁰ ^Q x ₀ 1 − ^Q x ⁰ ^Q x +

(f _k

₀

(x ₀ )f _l

₀

(x ₀ ⁰ )) ·

Q x ₀ ^Q x ⁰ ₀

1 − ^Q x ^Q x ⁰ .

On voit donc que le produit des fonctions f _k

₁

_,...,k

_p

et f _l

₁

_,...,l

_q

satisfait la relation de récurrence (2) qui définit le produit stuffle.

(11)

Les espaces M0,n

Espaces de modules de courbes et MZV

Soit k = (k ₁ , . . . , k _p ) avec k ₁ > 2, n = k ₁ + · · · k _p .

Objectifs

Il s’agit d’écrire

ζ (k) = Z

Φ

n

ω _k

où le lieu A des singularités de ω _k n’intersecte pas le bord de Φ _n . Ce n’est pas le cas dans la représentation

ζ(2) = Z

0<t

1

<t

2

<1

1 t ₂

1 1 − t ₁ dt ₁ dt ₂ . Par contre après éclatement de (0, 0) (1, 1) (et (∞, ∞))

0 0 1

1

Les espaces M0,n

Espaces de modules de courbes et MZV

espaces M

0,n+3

et éclatements

Définition

L’espace de modules de courbes de genre 0 avec n points marqués M _0,n est l’ensemble des sphères de Riemann avec n points

marqués modulo les isomorphismes de sphères de Riemann envoyant points marqués sur points marqués.

Concrètement

L’ensemble des isomorphismes de la sphère de Riemann est PSL ₂ ( C ) d’où

M _0,n+3 = {(z ₀ , . . . , z _n+2 ) ∈ P ¹ ( C ) tel que z _i 6= z _j }/ PSL ₂ ( C ). Et PSL ₂ ( C ) étant tri-transitif, on peut choisir de fixer 3 des points (z ₀ , z _n+1 et z _n+2 par ex.) sur 0, 1 et ∞ :

M _0,n+3 ' ( P ¹ ( C ) \ {0, 1, ∞}) ⁿ \ {grande diagonale}.

(12)

Les espaces M0,n

Espaces de modules de courbes et MZV

espaces M

_0,n+3

et éclatements

Définition

L’espace de modules de courbes de genre 0 avec n points marqués M _0,n est l’ensemble des sphères de Riemann avec n points

marqués modulo les isomorphismes de sphères de Riemann envoyant points marqués sur points marqués.

Concrètement

L’ensemble des isomorphismes de la sphère de Riemann est PSL ₂ ( C ) d’où

M _0,n+3 = {(z ₀ , . . . , z _n+2 ) ∈ P ¹ ( C ) tel que z _i 6= z _j }/ PSL ₂ ( C ).

Et PSL ₂ ( C ) étant tri-transitif, on peut choisir de fixer 3 des points (z ₀ , z _n+1 et z _n+2 par ex.) sur 0, 1 et ∞ :

M _0,n+3 ' ( P ¹ ( C ) \ {0, 1, ∞}) ⁿ \ {grande diagonale}.

Les espaces M0,n

Espaces de modules de courbes et MZV

espaces M

0,n+3

et éclatements

Exemples

Pour n = 1 on a

M _0,4 ' P ¹ ( C ) \ {0, 1, ∞}.

Pour n = 2 on a

M _0,5 ( C ) ' ( P ¹ ( C )\{0, 1, ∞}) ² \{t ₁ 6= t ₂ }.

0 0 1

1

Fig.: M

0,5

in P

¹

( R )

²

Il existe une compactification M _0,n qui

continue à être un espace de modules.

Théorème ([DM69],[Knu83])

M _0,n est projectif, irréductible lisse. Le bord de M _0,n est un diviseur à

croisements normaux. _Fig.: _M

0,5

( R )

(13)

Les espaces M0,n

Espaces de modules de courbes et MZV

Notations

On notera de façon générale

t _i la coordonée (simpliciale) telle que

t _i (0, z ₁ , . . . , z _j , 1, ∞) = z _i ,

Φ _j la cellule ouverte de M _0,j ₊₃ ( R ) qui est envoyée sur ∆ _j par l’application β _j : M _0,j ₊₃ → ( P ¹ ) ^j

(0, z ₁ , . . . , z _j , 1, ∞) 7→ (z ₁ , . . . , z _j ).

Les espaces M0,n

Espaces de modules de courbes et MZV

Théorème ([GM04])

Soit k un uplet d’entiers de poids n. On note ω f _k le pull-back β _n ^∗ (ω _k ) et Φ _n la préimage β ⁻¹ (∆ _n ). Le diviseur des singularités de ω f _k n’intersecte pas le bord de Φ _n et

ζ(k ₁ , · · · , k _p ) = Z

Φ

n

ω f _k .

Théorème ([GM04])

On note B _n la clôture de Zariski du bord de Φ _n et A ₀ son

complémentaire dans ∂M _0,n+3 . Il existe un motif de Tate mixte encadré dont la période vaut ζ (k ₁ , · · · , k _p ) :

ζ _M ^fr ^.M

_0,n+3

(k ₁ , · · · , k _p ) =

H ⁿ M _0,n+3 \ A ₀ ; B _n ^A

⁰

; [ ω f _k ], [Φ _n ]

.

(14)

Les espaces M0,n

Espaces de modules de courbes et MZV

Théorème ([GM04])

Soit k un uplet d’entiers de poids n. On note ω f _k le pull-back β _n ^∗ (ω _k ) et Φ _n la préimage β ⁻¹ (∆ _n ). Le diviseur des singularités de ω f _k n’intersecte pas le bord de Φ _n et

ζ(k ₁ , · · · , k _p ) = Z

Φ

n

ω f _k .

Théorème ([GM04])

On note B _n la clôture de Zariski du bord de Φ _n et A ₀ son

complémentaire dans ∂M _0,n+3 . Il existe un motif de Tate mixte encadré dont la période vaut ζ(k ₁ , · · · , k _p ) :

ζ _M ^fr ^.M

_0,n+3

(k ₁ , · · · , k _p ) =

H ⁿ M _0,n+3 \ A ₀ ; B _n ^A

⁰

; [ f ω _k ], [Φ _n ] .

Les espaces M0,n

Applications d’oubli et double mélange sur M _0,n

Produit shuffle

Soit β : M _0,n+m+3 → M _0,n+3 × M _0,m+3 l’application définie par (0, z ₁ , . . . , z _n+m , 1, ∞) 7→ (0, z ₁ , . . . , z _n , 1, ∞)×

(0, z _n+1 , . . . , z _n+m , 1, ∞).

Proposition

Le produit de mélange shuffle peut être interprété comme le changement de variables :

Z

Φ

_n

×Φ

m

ω _k ∧ ω _l = Z

β

⁻¹

(Φ

_n

×Φ

m

)

β ^∗ (ω _k ∧ ω _l ).

Démonstration.

Le membre de droite de l’égalité est égal à X

σ∈sh((1,...,n),(n+1,...,n+m))

Z

Φ

^σ_n+m

dt ₁

1 − t ₁ ∧ · · · ∧ dt _n+m

t _n+m .

(15)

Les espaces M0,n

Applications d’oubli et double mélange sur M _0,n

Produit stuffle

Coordonnées cubiques

Les coordonnées cubiques sur M _0,r ₊₃ sont définies par u ₁ = t _r et u _i = t _r _−i+1 /t _r _−i+2 pour i < r . Ce système de coordonnées est bien adapté pour exprimer le produit stuffle dans les espaces de module de courbes.

Soit δ : M _0,n+m+3 −→ M _0,n+3 × M _0,m+3 l’application définie par (0, z ₁ , . . . , z _n+m , 1, ∞) 7→ (0, z _m+1 , . . . , z _m+n , 1, ∞)×

(0, z ₁ , . . . , z _m , z _m+1 , ∞).

Proposition

Le produit de mélange shuffle peut être interprété comme le changement de variables :

Z

Φ

_n

×Φ

m

ω _k ∧ ω _l = Z

δ

⁻¹

(Φ

_n

×Φ

m

)

δ ^∗ (ω _k ∧ ω _l ).

Les espaces M0,n

Applications d’oubli et double mélange sur M _0,n

Produit stuffle

Remarque

Il faut cependant remarquer que la décomposition de Cartier ne reste pas (d’un point de vue algébrique) dans les espaces de module de courbes.

En effet des formes différentielles qui ne sont pas

holomorphes à l’intérieur de l’espace de module apparaissent.

Par exemple dans la décomposition du produit f _2,1 (u ₁ , u ₂ , u ₃ )f _2,1 (u ₄ , u ₅ , u ₆ ) on trouve le terme

u ₁ u ₂ u ₄ u ₅ du ₁ du ₂ du ₃ du ₄ du ₅ du ₆ (1 − u ₁ u ₂ u ₄ u ₅ )(1 − u ₁ u ₂ u ₃ u ₄ u ₅ u ₆ )

qui n’est pas holomorphe sur M _0,9 (mais est holomorphe sur

Φ ₆ ).

(16)

Les espaces M0,n

Stratégie

Au vu de l’exemple précédent et de ce que l’on fait avec uniquement des intégrales, il s’agit de pouvoir permuter les u _i . Ce n’est pas possible de le faire sur M _0,n+3 car les

coordonnées cubiques sont extrêmement "locales" sur M _0,n+3 .

En effet, ces coordonnées proviennent d’une première suite d’éclatements de ( P ¹ ) ⁿ et n’ont pas de signification globale sur M _0,n+3 même si elle sont bien adaptées à l’étude de la cellule standard.

Pour n = 2, on a :

Fig.: vers M

0,5

Bl

(0,0)

A

²

−−−−−→

Fig.: A

²

Les espaces M0,n

Stratégie : le cas de n = 3

Description de la situation pour M _0,6

Fig.: vers M

0,6

éclatement de

(0,0,0)

−−−−−−−−−−−→

puis de

(0,0,z)

Fig.: A

³

Le fait que la symétrie soit brisée apparaît nettement sur ces

dessins.

(17)

Les espaces M0,n

Stratégie : le cas de n = 3

Dans notre situation on a les faces du cube, les diviseurs x _i = 1,

les 3 diviseurs 1 − x _i x _j = 0, le diviseur 1 − x ₁ x ₂ x ₃ = 0.

L’union de ces diviseurs n’est pas à croisements normaux.

Fig.: A

³

Les espaces M0,n

Stratégie : le cas de n = 3

Dans notre situation on a les faces du cube, les diviseurs x _i = 1,

les 3 diviseurs 1 − x _i x _j = 0, le diviseur 1 − x ₁ x ₂ x ₃ = 0.

L’union de ces diviseurs n’est pas à croisements normaux.

Fig.: A

³

On doit donc éclater

un point, 3 lignes,

3 courbes hyperboles

(18)

Les espaces M0,n

Éclatement et diviseurs à croisement normaux

Théorème (Hu [Hu03])

Soit X ₀ un ouvert d’une variété algébrique non singulière X . On suppose que X \ X ₀ = ∪ i∈I D _i avec

1

pour tout i ∈ I , D _i est une sous variété fermée, lisse irréductible ;

2

pour tout i, j ∈ I , D _i et D _j se rencontrent proprement, (intersection schématique lisse et

T _X (D _i ) ∩ T _X (D _j ) = T _X (D _i ∩ D _j )) ;

3

pour tout i, j ∈ I , D _i ∩ D _j = ∅ ou ∪D _l .

En posant D = {D _i } i∈I , il existe alors une suite d’éclatements Bl _D X → Bl _D ₆ _k−1 X → · · · → Bl _D ₆ ₀ X → X

telle que

1

Bl _D X est lisse ; (Bl _D X ) \ X ₀ = S

i∈I D f _i est un diviseur à croisements normaux ;

2

Pour tout entier k, D f _i

₁

∪ · · · ∪ D f _i

_k

est non vide si et seulement si D _i

₁

, . . . , D _i

_k

sont comparables.

Les espaces M0,n

Résultats généraux : éclatements et motifs de Tate mixtes

Proposition

Soit X et D = ∪D _i comme précédemment, et vérifiant en plus que X ainsi que tous les D _i sont des variétés de Tate. Soit E ^r ⁺¹

l’ensemble des diviseurs exceptionnels de Bl _D

6r

X → X .

Alors toutes les intersections possibles des strates de D ^r ⁺¹ ∪ E ^r ⁺¹ sont des variétés de Tate ainsi que Bl _D

6r

X . En particulier Bl _D X ainsi que tous les D ˜ _i sont des variétés de Tate.

Quelques ingrédients.

1

Le contrôle des différentes strates à chaque étape se fait en suivant "pas à pas" la démonstration du théorème de Hu.

2

Le résultat est assuré par la "Formule de l’éclatement" : H(Bl _Z X ) = H(X )

d−1

M

i =0

H(Z )(−i )[−2i ].

(19)

Les espaces M0,n

Construction des espaces X _n

Soit n > 2 un entier. On définit les diviseurs suivants dans A ⁿ : A _I = {1 − ^Q _i∈I x _i = 0} pour tout I ⊂ [[1, n]], I 6= ∅

D _n ¹ = [

I

A _I = [

i

{x _i = 1} [ ( [

I , |I | > 2

A _I ) D _n ⁰ = ∪{x _i = 0} et B _n = D _n ⁰ S

( S

i {x _i = 1}) Enfin D _n = D _n ⁰ S

D _n ¹ .

Lemme

Soit I ₁ , . . . I _k des sous ensemble des [[1, n]]. L’intersection A _I

₁

∩ A _I

₂

∩ · · · ∩ A _I

_k

est isomorphe à

A ^r × G m s × Y

{x ^e

ⁱ

= 1}.

Définition

La variété X _n −→ ^p

ⁿ

A ⁿ est définie comme le résultat de l’application du théorème de Hu à la situation X = A ⁿ et

D = {composantes irréductibles des intersections A _I

₁

∩A _I

₂

∩· · ·∩A _I

_k

}

Les espaces M0,n

Construction des espaces X _n

Soit n > 2 un entier. On définit les diviseurs suivants dans A ⁿ : A _I = {1 − ^Q _i∈I x _i = 0} pour tout I ⊂ [[1, n]], I 6= ∅

D _n ¹ = [

I

A _I = [

i

{x _i = 1} [ ( [

I , |I | > 2

A _I ) D _n ⁰ = ∪{x _i = 0} et B _n = D _n ⁰ S

( S

i {x _i = 1}) Enfin D _n = D _n ⁰ S

D _n ¹ .

Lemme

Soit I ₁ , . . . I _k des sous ensemble des [[1, n]]. L’intersection A _I

₁

∩ A _I

₂

∩ · · · ∩ A _I

_k

est isomorphe à

A ^r × G m s × Y

{x ^e

ⁱ

= 1}.

Définition

La variété X _n −→ ^p

ⁿ

A ⁿ est définie comme le résultat de l’application du théorème de Hu à la situation X = A ⁿ et

D = {composantes irréductibles des intersections A _I

₁

∩A _I

₂

∩· · ·∩A _I

_k

}

(20)

Les espaces M0,n

Les espaces X _n

Formes différentielles et domaine d’intégration

Définition

Soit B b _n la clôture de la préimage de B _n et A b _n le diviseur D b _n \ B b _n .

Définition

Soit k = (k ₁ , . . . , k _p ) un uplet d’entiers positifs avec k ₁ > 2 tel que k ₁ + · · · + k _p = n et s une permutation de [[1, n]]. On définit la forme différentielle Ω _k,s ∈ Ω ⁿ _log ( A ⁿ \ D _n ) par

Ω _k,s = f _k

₁

_,...,k

_n

(x _s(1) , . . . , x _s _(n) ) d x ₁ ∧ · · · ∧ d x _n et on écrira ω _k,s pour le pull-back sur X _n \ D b _n de Ω _k,s .

Proposition

Le diviseur des singularités A b ^k,s de ω _k,s est inclu dans A b _n . On a un énoncé similaire pour une forme du type ω _k,s

₁

∧ ω _l,s

₂

.

Proposition

Le diviseur A b _n n’intersecte pas le bord de C b _n (préimage de [0, 1] ⁿ ) dans X _n (R ).

Les espaces M0,n

Les espaces X _n

Formes différentielles et domaine d’intégration

Définition

Soit B b _n la clôture de la préimage de B _n et A b _n le diviseur D b _n \ B b _n .

Définition

Soit k = (k ₁ , . . . , k _p ) un uplet d’entiers positifs avec k ₁ > 2 tel que k ₁ + · · · + k _p = n et s une permutation de [[1, n]]. On définit la forme différentielle Ω _k,s ∈ Ω ⁿ _log ( A ⁿ \ D _n ) par

Ω _k,s = f _k

₁

_,...,k

_n

(x _s(1) , . . . , x _s(n) ) d x ₁ ∧ · · · ∧ d x _n et on écrira ω _k,s pour le pull-back sur X _n \ D b _n de Ω _k,s .

Proposition

Le diviseur des singularités A b ^k,s de ω _k,s est inclu dans A b _n . On a un énoncé similaire pour une forme du type ω _k,s

₁

∧ ω _l,s

₂

.

Proposition

Le diviseur A b _n n’intersecte pas le bord de C b _n (préimage de [0, 1] ⁿ )

dans X _n (R ).

(21)

Les espaces M0,n

Les espaces X _n

Formes différentielles et domaine d’intégration

Définition

Soit B b _n la clôture de la préimage de B _n et A b _n le diviseur D b _n \ B b _n .

Définition

Soit k = (k ₁ , . . . , k _p ) un uplet d’entiers positifs avec k ₁ > 2 tel que k ₁ + · · · + k _p = n et s une permutation de [[1, n]]. On définit la forme différentielle Ω _k,s ∈ Ω ⁿ _log ( A ⁿ \ D _n ) par

Ω _k,s = f _k

₁

_,...,k

_n

(x _s(1) , . . . , x _s(n) ) d x ₁ ∧ · · · ∧ d x _n et on écrira ω _k,s pour le pull-back sur X _n \ D b _n de Ω _k,s .

Proposition

Le diviseur des singularités A b ^k,s de ω _k,s est inclu dans A b _n . On a un énoncé similaire pour une forme du type ω _k,s

₁

∧ ω _l,s

₂

.

Proposition

Le diviseur A b _n n’intersecte pas le bord de C b _n (préimage de [0, 1] ⁿ ) dans X _n (R ).

Les espaces M0,n

Produit stuffle et motifs de Tate mixtes

X

n

et la stratification D b

n

sont de Tate

Lemme

Le diviseur D b _n = B b _n ⁰ ∪ D b _n ¹ munit X _n d’une stratification de Tate.

Démonstration.

Tout d’abord on montre que toutes les strates de D b _n ¹ et X _n sont de Tate.

On se ramène à le vérifier dans A ⁿ où les strates sont isomorphes a A ^r × G m s .

Il faut ensuite faire un peu attention afin de récupérer

l’intersection de strates de B b _n ⁰ et de D b _n ¹ .

(22)

Les espaces M0,n

MZV motiviques alternatives

Théorème

Soit k un uplet d’entiers avec k ₁ > 2 et k ₁ + . . . + k _p = n et soit s une permutation de [[1, n]]. Soit A b ^s _k le diviseur des singularités de la forme ω _k ^s . Alors il existe un motif de Tate mixte encadré

ζ ^fr ^.,M (k, s) = h

H ⁿ (X _n \ A b ^s _k ; B b ^b ^A

s

n

k

); [ω _k ^s ]; [ C b _n ] i ayant pour période ζ(k ₁ , . . . , k _n ).

De plus si k et l sont deux uplets d’entiers avec P

k _i + P

l _j = n et si s ₁ (resp. s ₂ ) est une permutation de [[1, P

k _i ]] (resp.

[[1, P

l _j ]]) , alors il existe un motif de Tate mixte encadré ζ ^fr ^.,M (k, s ₁ |l, s ₂ ) =

H ⁿ (X _n \ A b ^k,s _l,s

¹

2

; B b ^A ^b

k,s1 l,s2

n ); [ω _k,s

₁

∧ ω _l,s

₂

]; [ C b _n ]

où A b ^k,s _l,s

¹

2

est le diviseur des singularités ω _k,s

₁

∧ ω _l,s

₂

Les espaces M0,n

Produit stuffle et motifs de Tate mixtes

Comparaison avec M

0,r+3

Un léger souci

On pourrait vouloir obtenir le stuffle directement avec les espaces X _n . Cela impliquerait de savoir relier X _n × X _m à X _n+m .

Lemme

Soit r > 2 un entier. On notera A _r une union particulière de

composantes de ∂M _0,r ₊₃ \ B _r . Il existe alors une suite de drapeaux F ₁ , . . . , F _N , d’éléments de D _r ¹ vérifiant les conditions nécessaires

X _r = Bl _F

_N

_,...,F

₁

A ^r −→ M ^α

^r

_0,r ₊₃ \ A _r = Bl _F

_r

_,...,F

₁

A ^r

δ ˜

r

−→ A ^r (11)

La situation cubique (simplexe

après deux éclatements) de

départ est :

(23)

Les espaces M0,n

En éclatant :

le point (1, 1, 1) les droites (1, 1, z ) et (x , 1, 1)

on obtient M _0,6 \ A ₃ .

Puis l’éclatement de la dernière ligne donne :

On éclate enfin le long des hyperboles (ce qui ne change pas le dessin).

Les espaces M0,n

Produit stuffle et motifs de Tate mixtes

Comparaison avec M

0,n+m+3

: les MZV motiviques

Corollaire

Avec r = n + m la proposition précédente donne : soit a un b-uplet d’entiers avec P

a _i = n + m. On a une égalité de motifs encadrés

ζ ^fr.M (a, id) = h

H ^n+m

M _0,n+m+3 \ A ₀ ; B _n+m ^A

⁰

; [ω _a ], [Φ _n+m ] i .

Soit k et l deux uplets d’entiers avec P

k _i = n et P

l _j = m. On a alors

ζ ^fr.M (k, id |l, id) = h H ^n+m

M _0,n+m+3 \ A ₀ , B _n+m ^A

⁰

; [ω _k ∧ ω _l ], [Φ _n+m ] i

.

En particulier, pour tout σ ∈ st(k, l), le motif encadré ζ _M ^fr ^.M

_0,n+3

(a)

associé à ζ (σ) sur M _0,n+m+3 est égal à son avatar sur X _n+m ,

ζ ^fr.M (σ ).

(24)

Les espaces M0,n

Produit stuffle et motifs de Tate mixtes

Comparaison avec M

_0,n+m+3

: les MZV motiviques

Corollaire

Avec r = n + m la proposition précédente donne : soit a un b-uplet d’entiers avec P

a _i = n + m. On a une égalité de motifs encadrés

ζ ^fr.M (a, id) = h

H ^n+m

M _0,n+m+3 \ A ₀ ; B _n+m ^A

⁰

; [ω _a ], [Φ _n+m ] i .

Soit k et l deux uplets d’entiers avec P

k _i = n et P

l _j = m.

On a alors

ζ ^fr.M (k, id |l, id) = h

H ^n+m

M _0,n+m+3 \ A ₀ , B _n+m ^A

⁰

; [ω _k ∧ ω _l ], [Φ _n+m ] i .

En particulier, pour tout σ ∈ st(k, l), le motif encadré ζ _M ^fr ^.M

_0,n+3

(a) associé à ζ (σ) sur M _0,n+m+3 est égal à son avatar sur X _n+m , ζ ^fr.M (σ ).

Les espaces M0,n

Produit stuffle et motifs de Tate mixtes

Comparaison avec M

0,n+m+3

Version motivique des relations de double mélange Le cas des mots "convergents"

Version motivique des relations de double mélange

Le cas des mots "convergents"

Ismaël Soudères

12 Janvier 2009

1 Introduction

2 Représentation intégrale du double mélange

Shuffle et représentation "simpliciale" des MZV Mélange contractant et séries

Produit stuffle et intégrales : ζ (2)ζ(2) Produit stuffle et intégrales

3 Le point de vue des espaces de module de courbes en genre 0 Espaces de modules de courbes et MZV

Applications d’oubli et produits de mélanges sur M 0,n

4 Mélange contractant et motifs de Goncharov-Manin Une stratégie d’évitement

Stratification, éclatements et motifs de Tate mixtes Les espaces X n

Le mélange contractant est motivique

Introduction

Définition des MZV

Pour tout p-uplet k = (k 1 , . . . , k p ) d’entiers avec k 1 > 2, la valeur zêta multiple (MZV) ζ(k) est définie par

ζ(k) = X

n

>...>n

>0

1 n k 1

· · · n p k

.

Relations de doubles mélanges

Ces nombres réels satisfont deux familles de relations

quadratiques, appelées double mélange ou shuffle et stuffle. Le stuffle ou mélange contractant vient de la représentation en termes de séries ci dessus,

le shuffle ou mélange vient d’une représentation en termes d’intégrales des valeurs zêta multiples.

Introduction

Définition des MZV

Pour tout p-uplet k = (k 1 , . . . , k p ) d’entiers avec k 1 > 2, la valeur zêta multiple (MZV) ζ(k) est définie par

ζ(k) = X

n

>...>n

>0

1 n k 1

· · · n p k

.

Relations de doubles mélanges

Ces nombres réels satisfont deux familles de relations

quadratiques, appelées double mélange ou shuffle et stuffle.

Le stuffle ou mélange contractant vient de la représentation en termes de séries ci dessus,

le shuffle ou mélange vient d’une représentation en termes

d’intégrales des valeurs zêta multiples.

Le produit shuffle et les MZV

MZV et intégrales simpliciales

À un p-uplet k, de poids n = k 1 + · · · + k p , on associe le n-uplet k = ( 0, . . . , 0

| {z }

k

−1 fois

, 1, . . . , 0, . . . , 0

| {z }

k

−1 fois

, 1) = (ε n , . . . , ε 1 ).

En posant ∆ n = {0 < t 1 < . . . < t n < 1}, on a ζ(k) =

Z

∆

(−1) p dt 1

t 1 − ε 1 ∧ · · · ∧ dt n t n − ε n

| {z }

=ω

=ω

.

Le produit shuffle

Le produit shuffle d’un n-uplet e et d’un m-uplet f de symboles est la somme formelle des n + m-uplets composés des n + m symboles et préservant l’ordre de e et f.

Exemple

XY X AB = XYAB + XAYB + XABY + AXYB + AXBY + ABXY

Le produit shuffle et les MZV

MZV et intégrales simpliciales

À un p-uplet k, de poids n = k 1 + · · · + k p , on associe le n-uplet k = ( 0, . . . , 0

| {z }

k

−1 fois

, 1, . . . , 0, . . . , 0

| {z }

k

−1 fois

, 1) = (ε n , . . . , ε 1 ).

En posant ∆ n = {0 < t 1 < . . . < t n < 1}, on a ζ(k) =

Applications d’oubli et produits de mélanges sur M _0,n

Stratification, éclatements et motifs de Tate mixtes Les espaces X _n

Pour tout p-uplet k = (k ₁ , . . . , k _p ) d’entiers avec k ₁ > 2, la valeur zêta multiple (MZV) ζ(k) est définie par

1 n ^k ₁

· · · n _p ^k

Pour tout p-uplet k = (k ₁ , . . . , k _p ) d’entiers avec k ₁ > 2, la valeur zêta multiple (MZV) ζ(k) est définie par

1 n ^k ₁

· · · n _p ^k

À un p-uplet k, de poids n = k ₁ + · · · + k _p , on associe le n-uplet k = ( 0, . . . , 0

, 1) = (ε _n , . . . , ε ₁ ).

En posant ∆ _n = {0 < t ₁ < . . . < t _n < 1}, on a ζ(k) =

(−1) ^p dt ₁

t ₁ − ε ₁ ∧ · · · ∧ dt _n t _n − ε _n

XY _X AB = XYAB + XAYB + XABY + AXYB + AXBY + ABXY

À un p-uplet k, de poids n = k ₁ + · · · + k _p , on associe le n-uplet k = ( 0, . . . , 0

, 1) = (ε _n , . . . , ε ₁ ).

En posant ∆ _n = {0 < t ₁ < . . . < t _n < 1}, on a ζ(k) =

(−1) ^p dt ₁

t ₁ − ε ₁ ∧ · · · ∧ dt _n t _n − ε _n

XY _X AB = XYAB + XAYB + XABY + AXYB + AXBY + ABXY

Soit k = (k ₁ , . . . , k _p ) et l = (l ₁ , . . . , l _q ) avec k ₁ , l ₁ > 2. Alors Z

ω _k Z

ω _l = X

ω _k Z

ω _l = Z

dt ₁

1 − t ₁ · · · dt _n t _n

dt _n+1

1 − t _n+1 · · · dt _n+m t _n+m . avec

∆ = {0 < t ₁ < . . . < t _n < 1} × {0 < t _n+1 < . . . < t _n+m < 1}

{0 < t _σ(1) < t _σ(2) < ... < t _σ(n+m) < 1}

a ∆ _C .

Soit k = (k ₀ , k _p ) (k ₀ = (k ₁ , . . . , k _p−1 )) et l = (l ₀ , l _q ) (l ₀ = (l ₁ , . . . , l _q−1 )) deux uplets d’entiers.

(k) ∗ (l) = (k ∗ l ₀ ) · l _q + (k ₀ ∗ l) · k _p + (k ₀ ∗ l ₀ ) · (k _p + l _q ) (2) et k ∗ () = () ∗ k = k.

Soit k = (k ₁ , . . . , k _p ) et l = (l ₁ , . . . , l _q ) deux uplets d’entiers avec k ₁ , l ₁ > 2. On a alors l’égalité

1 n ₁ ^k

· · · n ^k _p