Version motivique des relations de double mélange Le cas des mots "convergents"

(1)

Double mélange motivique

Introduction Intégrales et double mélange

Shuffle et MZV Stuffle et MZV Stuffle et intégrales Double mélange et M0,n

Shuffle Shuffle et motifs Stuffle etM0,n Stuffle motivique Une stratégie d’évitement Éclatement et motifs de Tate Stuffle et motifs de Tate

Version motivique des relations de double mélange

Le cas des mots "convergents"

Ismaël Soudères

28 avril 2008

(2)

1 Introduction

2 Représentation intégrale du double mélange Shuffle et représentation "simpliciale" des MZV Mélange contractant et séries

Représentation intégrale du produit stuffle

3 Le point de vue des espaces de module de courbes en genre 0 Le cas de shuffle

Le produit de mélange est motivique Mélange contractant et espaces de module

4 Mélange contractant et motifs de Goncharov-Manin Une stratégie d’évitement

Stratification, éclatements et motifs de Tate mixtes Le mélange contractant est motivique

(3)

Introduction

Pour tout p-upletk= (k1, . . . ,kp)d’entier aveck1>2, la valeur zêta multiple (MZV)ζ(k)est définie par

ζ(k) = X

n₁>...>n_p>0

1 n^k₁¹· · ·n^kp^p

.

Ces nombre réels satisfont deux familles de relations quadratiques, appelées double mélange ou shuffle et stuffle.

Le stuffle ou mélange contractant vient de la représentation en termes de séries ci dessus,

le shuffle ou mélange vient de la représentation en termes d’intégrales des valeurs zêta multiples.

(4)

Le produit shuffle et les MZV

MZV et intégrales simpliciales

À un p-upletk, de poidsn=k1+· · ·+kp, on associe len-uplet k = (0, . . . ,0

| {z }

k₁−1fois

,1, . . . ,0, . . . ,0

| {z }

k_p−1fois

,1) = (εn, . . . , ε1)

et la forme différentielle ω_k=ω_k= (−1)^p dt1

t1−ε1

∧ · · · ∧ dtn

tn−εn

. En posant∆n={0<t1< . . . <tn<1}, on aζ(k) =

Z

∆n

ω_k.

Le produit shuffle

Le produit shuffle d’unn-upleteet d’unm-upletfde symboles est la somme formelle des n+m-uplets composé desn+msymboles et préservant l’ordre de eetf.

Exemple

XY _XAB=XYAB+XAYB+XABY+AXYB+AXBY+ABXY

(5)

Représentation intégrale du produit shuffle

Proposition (Relations de shuffle)

Soitk= (k1, . . . ,kp)etl= (l1, . . . ,lq)avec k1, l1>2. Alors Z

∆_n

ω_k Z

∆_m

ω_l = X

σ∈sh(k,l)

Z

∆_n+m

ωσ. (1)

Démonstration.

Soitn=k1+...+kp etm=l1+...+lq, on a alors Z

∆_n

ω_k Z

∆_m

ω_l = Z

∆

dt1

1−t1

· · ·dtn

tn

dtn+1

1−tn+1

· · ·dtn+m

tn+m

. L’ensemble

∆ ={0<t1< . . . <tn<1} × {0<tn+1< . . . <tn+m<1}

peut être, à un ensemble de codimension 1 près, découpé en

∆ = a

σ∈sh([[1,n]],[[n+1,m]])

{0<t_σ(1)<t_σ(2)< ... <t_σ(n+m)<1}

| {z }

∆σ

.

(6)

Combinatoire du mélange contractant

Le produit stuffle d’un p-upletk= (k0,kp)(k0= (k1, . . . ,kp−1)) et d’un q-upletl= (l0,lq)(l0= (l1, . . . ,lq−1)) est défini de façon inductive par la formule

(k)∗(l) = (k∗l0)·lq+ (k0∗l)·kp+ (k0∗l0)·(kp+lq) (2) etk∗() = ()∗k=k.

On écriraσ∈st(k,l)pour désigner un élémentσ de la somme formellek∗l(tous les coefficients étant égaux à 1).

Exemple

(n)∗(m) = (n,m) + (m,n) + (n+m)

(u)∗(v,w) = (u,v,w)+(v,u,w)+(v,w,u)+(u+v,w)+(v,u+w).

(7)

Stuffle et valeurs zêta multiple

Proposition (Relations de stuffle)

Soitk= (k1, . . . ,kp)etl= (l1, . . . ,lq)deux uplets d’entiers avec k1, l1>2. On a alors l’égalité

ζ(k)ζ(l) =



 X

n₁>...>n_p>0

1 n^k₁¹· · ·np^k^p







 X

m₁>...>m_q>0

1 m^l₁¹· · ·m^lq^q





= X

σ∈st(k,l)

ζ(σ).

(8)

Stuffle et valeurs zêta multiples

Exemple

ζ(k)ζ(l) =

+∞

X

n=1 +∞

X

m=1

1 n^km^l

= X

n>m>0

1

n^km^l + X

m>n>0

1

m^ln^k +X

n=m

1 n^k+l

=ζ(k,l) +ζ(l,k) +ζ(k+l).

Cas général.

On découpe le domaine de sommation du produitζ(k)ζ(l), {0<n1< . . . <np} × {0<m1< . . . <mq}

en tous les domaines qui préservent les ordres respectifs desni et desmj; il faut alors ajouter les composantes correspondant au cas où certainsni sont égaux à certainsmj.

(9)

MZV comme intégrale sur un cube

Exemples de représentation cubique

On a vu queζ(2) =R

∆2

dt2

t2

dt1

1−t1. Le changement de variables tn=x1, tn−1=x1x2, . . . , t1=x1...xn, (3) correspondant à une suite d’éclatement à l’origine, donne pour n=2

ζ(2) = Z

[0,1]²

dx1

x1

x1dx2

1−x1x2

= Z

[0,1]²

dx1dx2

1−x1x2

,

et pour n=4 ζ(4) =

Z

[0,1]⁴

d⁴x 1−x1x2x3x4

ζ(2,2) = Z

[0,1]⁴

x1x2d⁴x

(1−x1x2)(1−x1x2x3x4) etζ(2)ζ(2) =

Z

[0,1]⁴

1 1−x1x2

1 1−x3x4

d⁴x.

(10)

MZV comme intégrale sur un cube

Stuffle par les intégrales : un exemple

Pour toute variable αetβ on a l’égalité 1

(1−α)(1−β) = α

(1−α)(1−αβ)+ β (1−β)(1−βα)

+ 1

1−αβ. (4) En posantα=x1x2 etβ=x3x4 dans (4), on retrouve la relation de stuffle

ζ(2)ζ(2) = Z

[0,1]⁴

x1x2

(1−x1x2)(1−x1x2x3x4)

+ x3x4

(1−x3x4)(1−x3x4x1x2)+ 1 1−x1x2x3x4

d⁴x (5) c’est à dire,

ζ(2)ζ(2) =ζ(2,2) +ζ(2,2) +ζ(4).

(11)

MZV comme intégrale sur un cube : cas général

Soitk= (k1, . . . ,kp)unp-uplet d’entiers etn=k1+· · ·+kp. On définit la fonctionfk1,...,kp denvariables sur[0,1]ⁿ comme

fk1,...,kp(x1, . . . ,xn) = 1 1−x1· · ·xk1

x1· · ·xk₁

1−x1· · ·xk1xk1+1· · ·xk1+k2

x1· · ·xk₁+k₂

1−x1· · ·xk1+k2+k3

· · · x1· · ·xk1+...+kp−1

1−x1· · ·xk₁+···+kp

. (6)

Proposition

Pour tout p-uplet d’entiers (k1, . . . ,kp)avec k1>2, on a (n=k1+· · ·+kp)

ζ(k1, . . . ,kp) = Z

[0,1]ⁿ

fk1,...,kp(x1, . . . ,xn)dⁿx. (7)

(12)

Préliminaires

Afin d’obtenir une représentation intégrale du produit stuffle, nous allons utiliser les fonctionsfk1,...,kp, et les notation suivantes Soitk= (k1, . . . ,kp) = (k0,kp)un p-uplet d’entiers et n=k1+· · ·+kp. On se donne nvariablesx1, . . . ,xn.

Notation

Pour tout uplet a= (a1, . . . ,ar), on écrira^Qa=a1· · ·ar. On écrirax pour(x1, . . . ,xn)etx0 pour(x1, . . . ,xn−kp).

Silest unq-uplet avec l1+· · ·+lq =m, on introduira m variable x⁰= (x₁⁰, . . . ,x_m⁰ )et si σ∈st(k,l)alors :

yσ désignera la suite en les variablesxi etx_j⁰, où certaines sous suites sont à leurs places respectives par rapport à la position deski et deslj

Remarque

Soit(k1, . . . ,kp) = (k₀,kp)comme précédemment, fk1,...,kp(x) =fk1,...,kp−1(x0)

Qx0

1−^Qx. (8)

(13)

Représentation intégrale du Stuffle

Proposition

Soitk= (k1, . . . ,kp)etl= (l1, . . . ,lq)deux uplets avec n=k1+· · ·+kp et m=l1+· · ·+lq. On a alors

fk₁,...,k_p(x)·fl₁,...,l_q(x⁰) = X

σ∈st(k,l)

fσ(yσ). (9)

On utilise une récurrence sur la longueur des suites. L’objectif va être de retrouver la formule de récurrence (2) du produit stuffle pour les fonctionsfk₁,...,k_p.

Si p=q=1,ce n’est rien d’autre que la formule (4) : fn(x)fm(x⁰) = 1

1−^Qx 1 1−^Qx⁰

(4)=

Qx

(1−^Qx)(1−^Qx^Qx⁰)+ Qx⁰

(1−^Qx⁰)(1−^Qx⁰^Qx)+ 1

1−^Qx^Qx⁰. (10)

(14)

Preuve

Pas de la récurrence Soit(k1, . . . ,kp) = (k0,kp)et (l1, . . . ,lq) = (l0,lq)deux uplets. La remarque (8) donne f_k₀,kp(x0,x(k,p))f_l₀,lq(x00,x⁰(l,q)) =f_k₀(x0)

Qx0

1−^Qxf_l₀(x00) Qx⁰0

1−^Qx⁰. En appliquant la formule (4) àα=^Qxetβ =^Qx⁰, on trouve que le membre de droite de l’équation précédente est égal à

fk0(x0)fl0(x00)·(^Qx0·^Qx⁰0)

Q

x

(1−^Qx)(1−^Qx^Qx⁰)

+

Qx⁰

(1−^Qx⁰)(1−^Qx⁰^Qx)+ 1 (1−^Qx^Qx⁰)

.

(15)

Suite et fin

En développant et en utilisant la remarque (8) on obtient, f_k₀,kp(x)f_l₀,lq(x⁰) = f_k₀,kp(x)f_l₀(x00)

·

Qx^Qx⁰0

1−^Qx^Qx⁰+

f_k₀(x0)f_l₀,lq(x⁰)

·

Qx⁰^Qx0

1−^Qx⁰^Qx+

(f_k₀(x0)f_l₀(x00))·

Qx0Q x⁰0

1−^Qx^Qx⁰. On voit donc que le produit des fonctionsfk1,...,kp etfl1,...,lq

satisfait la relation de récurrence (2) qui définit le produit stuffle.

(16)

Produit Shuffle et espaces de module de courbes en genre 0

Soitketlcomme précédemment avecn=k1+· · ·+kp et m=l1+· · ·+lq.

On identifiera un point deM0,j+3 avec le uplet (0,z1, . . . ,zj,1,∞), leszi∈P¹étant tous distincts et différents de 0,1 et∞.

On noterati la coordonée (simpliciale) telle que ti(0,z1, . . . ,zj,1,∞) =zi

On noteraΦj la cellule ouverte deM0,j+3(R)qui est envoyée sur∆j par l’applicationM0,j+3→(P¹)^j

(0,z1, . . . ,zj,1,∞)7→(z1, . . . ,zj).

En suivant Goncharov et Manin, siω_kest la forme différentielle vue précédemment (mais définit surM0,n+3) associée àk= (k1, . . . ,kp)alors

ζ(k1, . . . ,kp) = Z

Φn

ω_k.

(17)

Produit Shuffle et espaces de module de courbes en genre 0

Proposition

Soitβ:M0,n+m+3→ M0,n+3× M0,m+3l’application définie par (0,z1, . . . ,zn+m,1,∞)7→(0,z1, . . . ,zn,1,∞)×

(0,zn+1, . . . ,zn+m,1,∞).

En notant ti la coordonnée telle que ti(0,z1, . . . ,zn+m,1,∞) =zi, on a

β^∗(ω_k∧ω_l) = dt1

1−t1

∧ · · · ∧dtn

tn

∧ dtn+1

1−tn+1

∧ · · · ∧dtn+m

tn+m

. De plus, pourσ∈sh([[1,n]],[[n+1,n+m]])on note Φ^σ_n+m ou Φσ

la cellule ouverte deM0,n+m+3(R)dont les points sont dans l’ordre donné par celui de leur indice dansσ. On remarque alors que

β⁻¹(Φn×Φm) = a

σ∈sh([[1,n]],[[n+1,n+m]])

Φ^σ_n+m.

(18)

Proposition

Le produit de mélange shuffle peut être interprété comme le changement de variable :

Z

Φn×Φm

ω_k∧ω_l= Z

β⁻¹(Φn×Φm)

β^∗(ω_k∧ω_l).

Démonstration.

D’après la proposition précédente, le membre de droite de l’égalité est égal à

X

σ∈sh((1,...,n),(n+1,...,n+m))

Z

Φ^σ_n+m

dt1

1−t1

∧ · · · ∧dtn+m

tn+m

.

On permute alors les variables et on les renumérote de façon à avoir une intégrale surΦn+m pour chaque terme.

Comme la forme différentielle _1−t^dt^σ(1)

σ(1) ∧ · · · ∧^dt_t^σ(n+m)

σ(n+m) n’a pas de pôle surΦ^σ_n+m toutes les intégrales sont convergentes.

(19)

Le produit de mélange est motivique

Définition

Soitkunp-uplet avec k1>2 et soit Akle diviseur des singularités de ω_k. On noteBn la clôture de Zariski du bord deΦn. La valeur zêta multiple motivique est définie dans [GM04] par

Hⁿ(M0,n+3\A_k;B_n^A^k); [ω_k]; [Φn] .

Proposition

Soitketldeux uplets d’entiers (k1,l1>2). On a une égalité de motifs encadrés

Hⁿ M0,n+3\Ak;B_n^A^k

; [ω_k]; [Φn]

·

H^m M0,m+3\Al;B_m^A^l

; [ω_l]; [Φm]

= X

σ∈sh([[1,n]],[[n+1,n+m]])

h H^n+m

M_0,n+m+3\Aσ;B_n+m^A^σ

; [ω_σ]; [Φ_n+m]i .

(20)

Grandes lignes d’une preuve

L’applicationβ s’étend à la compactification : M_0,n+m+3−→ M_0,n+3× M_0,m+3.

Le pull-backβ^∗ donne une application Hⁿ M0,n+3\A_k;B_n^A^k

⊗H^m M0,m+3\A_l;B_m^A^l

−→

H^n+m

M0,n+m+3\A0;B₀^A⁰ . On utilise le fait queβ⁻¹(Φn×Φm)est "égal à"∪Φ^σ_n+m. Enfin l’action du groupe de permutation surM0,n+m+3 nous autorise à permuter les variables.

(21)

Mélange contractant et espaces de module

Les coordonnées cubiques surM0,r+3 sont définies paru1=tr et ui =tr−i+1/tr−i+2 pouri<r. Ce système de coordonnées est bien adapté pour exprimer le produit stuffle dans les espaces de module de courbes.

Proposition

Soitδ:M_0,n+m+3−→ M_0,n+3× M_0,m+3 l’application définie par (0,z1, . . . ,zn+m,1,∞)7→(0,zm+1, . . . ,zm+n,1,∞)×

(0,z1, . . . ,zm,zm+1,∞).

Avecω_k=fk(u1, . . . ,un)dⁿu et ω_l=fl(un+1, . . . ,un+m)d^mu on a alors

δ^∗(ω_k∧ω_l) =fk1,...,kp(u1, . . . ,un)fl1,...,lq(un+1, . . . ,un+m)d^n+mu et

δ⁻¹(Φn×Φm) = Φn+m.

(22)

Proposition

Le produit de mélange shuffle peut être interprété comme le changement de variables :

Z

Φn×Φm

ω_k∧ω_l= Z

δ⁻¹(Φn×Φm)

δ^∗(ω_k∧ω_l).

Remarque

Il faut cependant remarquer que la décomposition de Cartier ne reste pas (d’un point de vue algébrique) dans les espaces de module de courbes.

En effet des formes différentielles qui ne sont pas

holomorphes à l’intérieur de l’espace de module apparaissent.

Par exemple dans la décomposition du produit f2,1(u1,u2,u3)f2,1(u4,u5,u6)on trouve le terme

u1u2u4u5du1du2du3du4du5du6

(1−u1u2u4u5)(1−u1u2u3u4u5u6) qui n’est pas holomorphe surM0,6.

(23)

Stratégie

Au vue de l’exemple précédent et de ce que l’on fait avec uniquement des intégrales,il s’agit de pouvoir permuter les ui. Ce n’est pas possible de le faire surM_0,n+3 car les

coordonnées cubiques sont extrêmement"locales"sur M0,n+3.

En effet, ces coordonnées proviennent d’une première suite d’éclatement de(P¹)ⁿ et n’ont pas de signification globale sur M0,n+3 même si elle sont bien adaptées à l’étude de la cellule standard.

Pour n=2, on a :

Fig.:versM0,5

Bl_(0,0)A²

−−−−−→

Fig.:A²

(24)

Stratégie : le cas de n = 3

Description de la situation pourM0,6

Fig.:versM0,6

éclatement de(0,0,0)

−−−−−−−−−−−→

puis de(0,0,z)

Fig.:A³ Le fait que la symétrie soit brisée apparaît nettement sur ces dessins.

(25)

Dans notre situation on a les faces du cube, les diviseursxi=1, les 3 diviseurs 1−xixj =0, le diviseur 1−x1x2x3=0.

L’union de ces diviseurs n’est pas à croisements normaux.

Fig.:A³ On doit donc éclater

un point, 3 lignes,

3 courbes hyperboles

(26)

Éclatement et diviseurs à croisement normaux

Théorème (Hu [Hu03])

Soit X0un ouvert d’une variété algébrique non singulière X . On suppose que X \X0=∪i∈IDi avec

1 pour tout i ∈I , Di est une sous variété fermée, lisse irréductible ;

2 pour tout i,j ∈I , Di et Dj se rencontrent proprement, (intersection schématique lisse et

TX(Di)∩TX(Dj) =TX(Di∩Dj)) ;

3 pour tout i,j ∈I , Di∩Dj =∅ou∪Dl.

En posantD={Di}_i∈I, il existe alors une suite d’éclatements Bl_DX →Bl_D6_k−1X → · · · →Bl_D60X →X telle que

1 Bl_DX est lisse ;(Bl_DX)\X0=S

i∈IfDi est un diviseur à croisements normaux ;

2 Pour tout entier k,Dfi₁∪ · · · ∪Dfi_k est non vide si et seulement si Di₁, . . . ,Di_k sont comparables.

(27)

Résultats généraux : suite d’éclatements

Corollaire (suite d’éclatements par des drapeaux)

Soit X etDcomme dans le théorème précédent. SoitF1, . . . ,Fk

des drapeaux de sous-variétés deDtels que

1 F1, . . . ,Fk est une partitionD,

2 Si D est un élément deFi, alors pour tout D⁰ <D il existe j 6i tel que D⁰∈ F_j.

on a alors

BlDX =Bl_Fk−1 k

(· · ·(BlF1X)· · ·)

F_jⁱ étant le drapeau des transformées strictes deFj à l’étape i . On notera une telle suite d’éclatements BlF_k,...,F1X

Quelques idées des preuves.

1 La preuve du théorème se fait en un sens par induction.

2 Le diviseur exceptionnel de l’éclatement deX le long deY estP(NXY)et repère donc la direction d’arrivée surY.

3 Le corollaire est dû au fait que les éclatements sont des constructions locales.

(28)

Résultats généraux : éclatements et motifs de Tate mixtes

Proposition

Soit X etD=∪Di comme précédemment, et vérifiant en plus que X ainsi que tous les Di sont des variétés de Tate. SoitE^r+1 l’ensemble des diviseurs exceptionnels deBl_D6rX →X .

Alors toutes les intersections possibles des strates deD^r+1∪ E^r+1 sont des variétés de Tate ainsi que Bl_D6rX . En particulierBlDX ainsi que tous lesD˜i sont des variétés de Tate.

Quelques ingrédients.

1 Le contrôle des différentes strates à chaque étape se fait en suivant "pas à pas" la démonstration du théorème de Hu.

2 Le résultat est assuré par la "Formule de l’éclatement" : H(BlZX) =H(X)

d−1

M

i=0

H(Z)(−i)[−2i].

(29)

Construction des espaces X

_n

Soitn>2 un entier. On définit les diviseurs suivant dansAⁿ: AI ={1−^Q_i∈Ixi =0} pour toutI ⊂[[1,n]], I 6=∅ D_n¹=[

I

AI =[

i

{xi =1}[ ( [

I,|I|>2

AI) D_n⁰=∪{xi =0}etBn=D_n⁰S(S

i{xi=1}) EnfinDn=D_n⁰S

D_n¹.

Remarque

Le diviseurBn est la clôture de Zariski du bord du cube réel.

(30)

Construction des espaces X

_n

Lemme

SoitD¹_nl’ensemble (ordonné par l’inclusion) de toutes les

intersections possibles entre les diviseurs AI. AlorsD_n¹satisfait les hypothèse du théorèmes de Hu.

Définition

La variétéXn pn

−→Aⁿ est définie comme le résultat de l’application du théorème de Hu à la situationX =Aⁿ etD=D¹_n.

Lemme

La préimageDb_n¹deD_n¹est un diviseur à croisements normaux.

SoitDb_n⁰la préimage strictes de D_n⁰ dans Xn. Le diviseur Dbn=Db_n¹S

Db_n⁰est alors un diviseur à croisement normaux.

(31)

Formes différentielles

Définition

Un (r-)drapeau distingué(F,i1, . . .ip)est un drapeau F =I1⊂ · · · ⊂Ir de [[1,n]]avec la donnée d’éléments i1< . . . <ip de [[1,r]].

Définition

Soit(F,i1, . . .ip)unr-drapeau distingué de[[1,n]]. SoitΩ^F_i

1,...,i_p la forme différentielle deΩ^•_log(Aⁿ\Dn)définit par

Ω^F_i₁_,...i_p =

r

^

j=1

d log(gj) où gj =

( 1−Q

i∈Ij xi sij ∈ {i1, . . . ,ip} Q

i∈Ijxi sinon

Soitk= (k1, . . . ,kp)un uplet d’entier positif aveck1>2 tel que k1+· · ·+kp =nets une permutation de[[1,n]]. On définit la forme différentielleΩ_k,s ∈Ωⁿ_log(Aⁿ\Dn)par

Ω_k,s =fk1,...,kn(xs(1), . . . ,xs(n))dx1∧ · · · ∧dxn

qui s’exprime aussi comme un cas particulier de Ω^F_i

1,...,ip.

(32)

Diviseurs des singularités

Définition

SoitBbn la clôture de la préimage deBn etAbn le diviseurDbn\Bbn.

Définition

On écriraω_i^F

1,...,ip etω_k,s pour le pull-back surXn\Dbn des formes Ω_I₁_,...,I_p etΩ_k,s.

Proposition

Si(F,i1, . . . ,ip)est un drapeau maximal distingué[[1,n]]avec i1>2 et ip =n alors :

Le diviseur des singularités A^F_i₁_,...,i_p de Ω^F_i

1,...,ip est AIi1∪ · · · ∪AI_ip.

Le diviseur des singularitésAb^F_i₁_,...,i_p de ω^F_i

1,...,i_p est inclu dans Abn. En particulier, celui deω_k,s est inclu dansAbn.

On a un énoncé similaire pour ω^F_i

1,...,i_p∧ω_i^F0⁰ 1,...,i_q⁰.

(33)

Préimage du cube et diviseurs

Préimage du cube

SoitCbnla préimage deCn= [0,1]ⁿ dansXn etCbn son adhérence.

Le diviseurBbn est alors l’adhérence de Zariski du bord deCbn etCbn

donne une classe non nulle

[bCn]∈Gr^W₀ Hⁿ(Xn,Bbn). (11)

Proposition

Le diviseurAbn n’intersecte pas le bord deCbn dans Xn(R).

Quelques idées sur les preuves

Le contrôle des diviseurs bA^F_i₁_,...,i_p s’obtient en appliquant une adaptation d’un lemme de Goncharov : "En éclatant le nombre de singularités ne font que diminuer".

Pour montrer que l’on n’intersecte pas le bord du cube, on écrit les équations dans un système de coordonnées.

(34)

X

_n

et la stratification D b

_n

sont de Tate

Lemme

Le diviseurDbn=Bb_n⁰∪Db_n¹munit Xn d’une stratification de Tate.

Démonstration.

Tout d’abord on montre que toute les strates deDb_n¹ etXn

sont de Tate.

On se ramène à le vérifier dansAⁿ où les strates sont isomorphes aA^r×Gms

car se sont des intersections d’hyperplans et d’hyperboles.

Il faut ensuite faire un peu attention afin de récupérer l’intersection de strates deBb_n⁰ et deDb_n¹.

(35)

MZV motiviques alternatives

Théorème

Soitkun uplet d’entier avec k1>2 et k1+. . .+kp=n et soit s une permutation de[[1,n]]. SoitAb^s_k le diviseur des singularités de la formeω^s_k. Alors il existe un motif de Tate mixte encadré

ζ^fr^.,M(k,s) =h

Hⁿ(Xn\Ab^s_k;Bbn^A^b^s^k); [ω^s_k],[Cbn]i ayant pour périodeζ(k1, . . . ,kn).

De plus si (F,ij)et (F⁰,i_j⁰0)sont deux drapeaux et sibA^{F |F}_i ⁰

j|i_j⁰₀ est le diviseur des singularitésω_i^F

j ∧ω_i^F0⁰

j0 alors il existe un motif de Tate mixte encadré

ζ^fr.,M(F,ij|F⁰,i_j⁰0) =Hⁿ(Xn\Ab^{F |F}_i ⁰

j|i_j⁰₀ ;Bb

Ab^{F |F 0}

ij|i0 j0

n ).

(36)

Comparaison avec M

_0,r₊₃

Un léger souci

On pourrait vouloir obtenir le stuffle directement avec les espaces Xn. Cela impliquerait de savoir relierXn×Xm àXn+m.

Lemme

Soit r >2un entier. On notera Ar une union particulière de composante de∂M0,r+3\Br. Il existe alors une suite de drapeaux F1, . . . ,FN, d’éléments deD_r¹vérifiant les conditions nécessaires

Xr =BlFN,...,F1A^r −→ M^α^r 0,r+3\Ar =BlFr,...,F1A^r

δ˜r

−→A^r (12)

La situation cubique (simplexe après deux éclatements) de départ est :

(37)

En éclatant : le point (1,1,1) les droites(1,1,z)et (x,1,1)

on obtientM_0,6\A3.

Puis l’éclatement de la dernière ligne donne :

On éclate enfin le long des hyperboles (ce qui ne change pas le dessin).

(38)

Comparaison avec M

_0,n+m+3

: les MZV motiviques

Corollaire

Avec r =n+m la proposition précédente donne : soitaunb-uplet d’entiers avecP

ai =n+m. On a une égalité de motifs encadrés

ζ^fr.M(a,id) =h H^n+m

M0,nn+m\A0;B_n+m^A⁰

; [ω_a],[Φn+m]i .

Soitketlcomme précédemment. Il existe alors deux drapeaux distingués(F,i1, . . . ,ip)et(F⁰,j1, . . . ,jq)tels que

ζ^fr.M(F,ij|F⁰,i_j⁰0) = hH^n+m

M0,nn+m\A0,B_n+m^A⁰

; [ω_k∧ω_l],[Φ_n+m]i . En particulier, pour toutσ∈st(k,l), le motif encadré associé à ζ(σ)surM0,n+m+3 est égal à son avatar sur Xn+m,ζ^fr^.M(σ).

(39)

Conclusion

Pour conclure on utilise le diagramme suivant

Xn+m

decom-

position //Xn+m

permutation desxi //Xn+m

M0,n+m+3

M0,n+3× M0,m+3