Les motifs de Tate et les opérateurs de périodicité de Connes

BLAISE PASCAL

Abhishek Banerjee

Les motifs de Tate et les opérateurs de périodicité de Connes

Volume 21, n^o1 (2014), p. 1-23.

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Clermont-Ferrand — France

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Les motifs de Tate et les opérateurs de périodicité de Connes

Abhishek Banerjee

Résumé

Dans cet article, nous définissons une catégorie M otgC des motifs sur une catégorie monoïdale symétrique (C,⊗,1) vérifiant certaines hypothèses. Le rôle des espaces sur (C,⊗,1) est joué par les monoïdes (non necessairement commutatifs) dansC. Pour définir les morphismes dansM otgC, nous utilisons des classes dans les groupes d’homologie cyclique bivariante. Le but est de montrer que les opérateurs de périodicité de Connes induisent des morphismesM⊗T^⊗2−→M dansM otgC, oùTest le motif de Tate dansM otgC.

Tate motives and the periodicity operators of Connes

Abstract

In this paper, we define a categoryM otgCof motives over a symmetric monoidal category (C,⊗,1) satisfying certain conditions. The role of spaces over (C,⊗,1) is played by monoid objects (not necessarily commutative) inC. To define morphisms in the categoryM otgC, we use classes in bivariant cyclic homology groups. The aim is to show that the Connes periodicity operators induce morphismsM⊗T^⊗2−→M inM otgC, whereTis the Tate motive inM otgC.

1. Introduction

Soit kun anneau commutatif. Alors, il est bien connu que la géométrie algébrique des schémas surkadmet une généralisation naturelle aux caté- gories monoïdales symétriques (voir, par exemple, Deligne [4], Hakim [5], Toën et Vaquié [11]). Étant donnée une telle catégorie (C,⊗,1) abélienne et monoïdale symétrique (sous certaines hypothèses), nous définissons la catégorie M otgC des motifs (purs) sur C. Pour chaque monoïde (pas né- cessairement commutatif) A dansC, on a un motif dans M ot^gC. De plus,

Mots-clés :Motifs de Tate, opérateurs de périodicité.

Classification math. :14F42.

si B est un autre monoïde dans C, une correspondance de A vers B (au sens de Section 2) induit un morphisme dansM ot^g_C. Ceci est motivé par le domaine de la géométrie noncommutative, dans lequel le rôle des espaces est joué par les algèbres non nécessairement commutatives. Pour définir les correspondances entre les espaces non-commutatifs (C^∗-algèbres), on peut utiliser (voir [3, § 2]) laKK-théorie de Kasparov. Dans la catégorie M otgC, les morphismes sont définis en utilisant les homologies cycliques bi- variantes. Dans le cas desC^∗-algèbres, laKK-théorie est étroitement liée à la théorie d’homologie cyclique bivariante. Puisque l’homologie cyclique est un analogue noncommutatif de cohomologie motivique, on peut se de- mander s’il est possible de décrire l’opérateur de périodicité de Connes en termes de motifs sur (C,⊗,1). Le but de cet article est de montrer que l’opérateur de périodicité de Connes donne les morphismes naturels

M⊗T^⊗2 −→M ∀ M ∈M otgC (1.1)

où T est le motif de Tate dansM otg_C.

Plus précisément, soitAlgCla catégorie des monoïdes dansC. Fixons un entier positif n≥1. PourA,B ∈AlgC, nous introduisons la notion d’une correspondance de rangndeAversB. Notons parCorr_n(A, B) l’ensemble des correspondances de rang n de A vers B. Ces correspondances sont composables ; autrement dit, étant donnés trois monoïdes A, B, C dans C, il existe des morphismes naturels

Corr_m(A, B)×Corr_n(B, C)−→Corr_mn(A, C) ∀m, n≥1 (1.2) De plus, sie∈Corr₁(A, A) est une correspondance telle quee◦e=e, nous disons que e est un projecteur. Posons Corr(A, B) := ^S_n≥1Corrn(A, B) et notons parC(A, B) le groupe abélien engendré par les correspondances deAversB. Alors, nous définissons la catégorieALG_Ctelle que les objets de ALGCsont les monoïdes dansCet avec

HomALGC(A, B) :=C(A, B)⊗_ZC (1.3) On peut considérer la catégorieALG_Ccomme un analogue de la catégorie des schemas projectifs lisses sur k enrichie par les correspondances.

Dans Section 3, nous construirons une théorie cyclique bivariante pour les monoïdes dans (C,⊗,1). Étant donnés deux monoïdes A, B dans C, notons parHC_k(A, B),k∈Zles groupes d’homologie cyclique bivariante.

Alors, considérons la catégorie M otC telle que ses objets sont les couples

(A, m) oùAest un monoïde etm∈Z. De plus, posons (∀(A, m),(B, n)∈ M ot_C, k∈Z)

HomM otC((A, m),(B, n)) =HomM otC((A, m+k),(B, n+k))

:=HCm−n(A, B) (1.4)

Nous montrons qu’il existe un foncteur canonique

I :ALGC−→M otC I(A) := (A,0) (1.5) En particulier, si e∈Corr₁(A, A) est un projecteur, on a un morphisme I(e)∈HomM otC((A,0),(A,0)). Pour chaquem∈Z, notons parI(e)[m] le morphismeI(e) consideré comme un élément deHom_{M otC}((A, m),(A, m))

=HomM otC((A,0),(A,0)).

La catégorieM otgCdes motifs sur (C,⊗,1) est définie comme suit : Les objets de M otgCsont les triplets (A, e, m) tels queA est un monoïde dans C,e∈Corr1(A, A) est un projecteur etm∈Z. De plus, posons

Hom

M otgC((A, e, m),(B, f, n))

:=I(f)[n]◦HomM otC((A, m),(B, n))◦I(e)[m]⊆HCm−n(A, B) (1.6) Dans la catégorieM otgC, nous considérons le motif de TateT:= (1, id,−1) et le motif de LefschetzL:= (1, id,−1). Nous montrons que les opérateurs de périodicité de Connes, considérés comme cycles dans HC−2(A, A), in- duisent les morphismes naturels (voir (3.50))

S_m−2(A)

−−−−−−→ (A, e, m)⊗T^⊗2

Sm(A)

−−−−→ (A, e, m) −−−−−−→^Sm+2(A) (A, e, m)⊗L^⊗2 (1.7) Enfin, nous utilisons le système inductif (1.7) pour définir une catégorie des motifs périodiques sur (C,⊗,1) (voir (3.54)).

Remerciements : J’adresse mes plus sincères remerciements au Pro- fesseur Alain Connes, qui a suggéré cette direction de recherche.

2. Correspondances entre les catégories des modules

Soit k un corps algébriquement clos. Notons parAlg_k la catégorie des k-algèbres unitaires. Dans tout l’article, les algèbres considérées appar- tiennent à Algk. Tous les homomorphismes sont supposés unitaires.

Pour chaquek-algèbreA, la catégorie desA-modules à gauche est notée parA−M od. Notons queA−M od est une catégorie abélienne. Alors, les

produits directs finis dans A−M od coïncident avec les sommes directes finies. Pour chaque objetM deA−M od, notons parMⁿla somme directe (ou le produit direct) de ncopies deM.

Étant donné un morphismef :A−→B dansAlg_k, il existe un foncteur f^∗ :A−M od−→B−M od défini comme suit :

f^∗ :A−M od−→B−M od f^∗(M) :=B⊗_AM (2.1) Il est bien connu que le foncteur de restrictionf∗ :B−M od−→A−M od est un adjoint à droite de f^∗.

Notre but est d’agrandir la catégorie Algk en ajoutant les correspon- dances finies et étales. La notion de correspondance finie entre les schémas est bien connue (voir [10]). Mais, dans la définition suivante, nous nous limitons à des correspondances finies et étales.

Définition 2.1. Soient X et Y deux schémas lisses et separés sur k.

Supposons queX est connexe. Une correspondance élémentaire deXvers Y est un sous-ensemble Z ⊆ X×Y fermé et irréductible tel que Z est fini, étale et surjectif sur X.

Si X n’est pas nécessairement connexe, une correspondance élémen- taire de X vers Y est une correspondance élémentaire d’une composante connexe de X vers Y.

Notons par Cor(X, Y) le groupe abélien libre engendré par les corres- pondances élémentaires de X versY.

De plus, si f : X −→ Y est un morphisme fini et étale de schémas sur k, on sait que (voir [8, § 5.6]) pour chaque sous-ensemble ouvert V = Spec(A) ⊆ Y, on a U = f⁻¹(V) = Spec(B), où B est une A- algèbre séparable et projective de type fini. Ainsi, on sait que B est un A-module projectif de rang fini. Alors, il existe unA-module libreAⁿ et un monomorphismeB −→AⁿdesA-modules. Si le morphisme d’ anneaux commutatifs induit par f|U :U −→V est noté par g:A−→ B, il existe des morphismes naturels de A-modules :

g∗g^∗(M) =B⊗_AM −→Aⁿ⊗_AM 'Mⁿ ∀ M ∈A−M od (2.2) Définition 2.2. SoientA,B deux algèbres appartenant àAlgk. Soitnun entiern≥1. Une correspondance deAversBde rangnest un quadruplet (C, fA, fB, iB) tel que :

(a) C est une k-algèbre et f_A : A −→ C, f_B : B −→ C sont des homomorphismes d’anneaux.

(b) iB :fB∗f_B^∗ −→Idⁿ est une transformation des foncteurs, où Idⁿ : B−M od −→ B−M od est défini comme Idⁿ(M) = Mⁿ pour chaque M ∈B−M od.

Soient A, B deux algèbres appartenant à Alg_k et soit (C, f_A, f_B, i_B) une correspondance de A vers B de rang n. Alors, on peut définir deux foncteurs :

P :A−M od−→B−M od P :=fB∗◦f_A^∗

Q:B−M od−→A−M od Q:=fA∗◦f_B^∗ (2.3) Choisissons M, M⁰⁰ ∈ B−M od et M⁰ ∈ A−M od. Considérons le dia- gramme commutatif suivant :

Hom(f_B^∗M, f_A^∗M⁰)⊗Hom(f_A^∗M⁰, f_B^∗M⁰⁰) −−−−→ Hom(f_B^∗M, f_B^∗M⁰⁰)

∼=



 y

∼=



 y

Hom(M, f_B∗f_A^∗M⁰)⊗Hom(M⁰, f_A∗f_B^∗M⁰⁰) −−−−→ Hom(M, f_B∗f_B^∗M⁰⁰)

=





y ^Hom(M,iB(M

00))



 y Hom(M, P(M⁰))⊗Hom(M⁰, Q(M⁰⁰)) −−−−→ Hom(M, M⁰⁰)ⁿ

(2.4)

où le morphisme

Hom(f_B^∗(M), f_A^∗(M⁰))⊗Hom(f_A^∗(M⁰), f_B^∗(M⁰⁰)−→Hom(f_B^∗(M), f_B^∗(M⁰⁰)) dans le diagramme (2.4) est donné par composition. Notons que la ca- tégorie C−M od n’apparaît pas explicitement dans la flèche du bas du diagramme (2.4) Pour nos fins, nous avons besoin d’introduire la notion de correspondance entre catégories abéliennes. Cela est motivé par (2.4).

Définition 2.3. Soient A etB deux catégories abéliennes et soit n≥1.

Une correspondance de rang nde A vers B est un triplet (P, Q, f_{P Q}) tel que :

(a) P :A −→ B,Q:B −→ Asont des foncteurs.

(b) fP Q = {f_{P Q}(M⁰)}_M⁰_∈A est une famille des transformations des foncteurs telle que, pour chaque M⁰ ∈ A fixé, il existe des morphismes naturels (∀M,M⁰⁰∈ B)

Hom(M, P(M⁰))⊗Hom(M⁰, Q(M⁰⁰)) ^{fP Q(M, M}

0, M⁰⁰)

−−−−−−−−−−−→ Hom(M, M⁰⁰)ⁿ (2.5)

Notons par Corrn(A,B) le sous-ensemble des correspondances deA vers B de rangn. Posons Corr(A,B) := ^S

n≥1

Corr_n(A,B).

Nous remarquons que, ∀ M, M⁰⁰ ∈ B, l’ensemble Hom(M, M⁰⁰) est un groupe abélien. Ainsi, la somme directe de ncopies de Hom(M, M⁰⁰) coïncide avec le produit direct de n copies deHom(M, M⁰⁰).

Proposition 2.4. Soient A et B deux catégories abéliennes. Soit (P, Q) un couple des foncteurs adjoints P :A −→B, Q:B −→A. Alors, (P, Q) définit une correspondance de Avers B de rang 1.

Démonstration. Fixons un objet M⁰ ∈ A et choisissons deux objets M, M⁰⁰∈ B. Alors, il existe un morphisme naturel

fP Q(M, M⁰, M⁰⁰) :=



























Hom(M, P(M⁰))⊗Hom(M⁰, Q(M⁰⁰))

∼=



 y

Hom(M, P(M⁰))⊗Hom(P(M⁰), M⁰⁰)



 y Hom(M, M⁰⁰)

(2.6)

où le morphismeHom(M, P(M⁰))⊗Hom(P(M⁰), M⁰⁰)−→Hom(M, M⁰⁰) est défini par composition des morphismes. Alors, (P, Q, f_{P Q}) est une cor-

respondance de Avers B de rang 1.

SoientA,B,Ctrois catégories. Soit (P, Q),P :A −→ B,Q:B −→ Aun couple des foncteurs adjoints. Soit (P⁰, Q⁰),P⁰ :B −→ C,Q⁰:C −→ B un autre couple des foncteurs adjoints. Alors, il est bien connu que (P⁰P, QQ⁰), P⁰P :A −→ C,QQ⁰ :C −→ A est un couple des foncteurs adjoints. Dans la proposition suivante, on voit que la composition des correspondances est effectuée d’une manière très similaire.

Proposition 2.5. Soient A, B, C trois catégories abéliennes. Fixons m, n≥1. Alors, il existe une composition des correspondances

Corr_m(A,B)⊗Corr_n(B,C)−→Corr_mn(A,C) (2.7)

Démonstration. Soit (P, Q, f_{P Q}) ∈ Corrm(A,B) une correspondance de rang m et soit (P⁰, Q⁰, f_P⁰_Q⁰) ∈Corr_n(B,C) une correspondance de rang n. Choisissons M, M⁰⁰ ∈ C et M⁰ ∈ A. Puisque (P, Q, f_{P Q}) est une cor- respondance, il existe un morphisme

Hom(P M⁰, P M⁰)⊗Hom(M⁰, QQ⁰(M⁰⁰))

fP Q(P M⁰,M⁰,Q⁰M⁰⁰)



 y

Hom(P M⁰, Q⁰M⁰⁰)^m

(2.8)

En particulier, considérons le morphisme identité id∈Hom(P M⁰, P M⁰).

Alors, on a un morphisme

fP Q(P M⁰, M⁰, Q⁰M⁰⁰)(id⊗_) :Hom(M⁰, QQ⁰M⁰⁰)→Hom(P M⁰, Q⁰M⁰⁰)^m Puisque (P⁰, Q⁰, f_P⁰_Q⁰) est une correspondance, il existe un morphisme

Hom(M, P⁰P M⁰)⊗Hom(P M⁰, Q⁰M⁰⁰)

f_P0Q0(M,P M⁰,M⁰⁰)



 y Hom(M, M⁰⁰)ⁿ

(2.9)

En utilisant (2.8) et (2.9), nous posons :

f_P⁰_P,QQ⁰(M, M⁰, M⁰⁰) :=























Hom(M, P⁰P M⁰)⊗Hom(M⁰, QQ⁰M⁰⁰)





y^{1⊗fP Q(P M}

0,M⁰,Q⁰M⁰⁰)(id⊗__)

Hom(M, P⁰P M⁰)⊗Hom(P M⁰, Q⁰M⁰⁰)^m



 y

n

⊕

i=1

f_P0Q0(M,P M⁰,M⁰⁰)

Hom(M, M⁰⁰)^nm

(2.10)

Donc, le triplet (P⁰P, QQ⁰, f_P⁰_P,QQ⁰) est une correspondance de A vers C de rang mn.

Plus généralement, considérons une petite catégorie monoïdale symé- trique (C,⊗,1). Supposons queCest abélienne et tous les produits directs finis sont inclus dans C. Pour en savoir plus sur les catégories monoïdales symétriques, voir, par exemple, [7]. Dans toute la suite, notons par AlgC

la catégorie des monoïdes commutatifs et unitaires dansC.

Définition 2.6. Soit (C,⊗,1) une catégorie monoïdale symétrique comme plus haut. Soient A, B deux monoïdes appartenant à Alg_C. Alors, une correspondance de rang nde A versB est une famille

(P,Q,fP Q) ={(P^T, Q^T, f_{P Q}^T )_T∈AlgC} (2.11) vérifiant les conditions suivantes :

(a) Pour chaque monoïde T ∈AlgC, (P^T, Q^T, f_{P Q}^T ) est une correspon- dance de (A⊗T)−M od vers (B ⊗T)−M od de rang n (au sens de la Définition 2.3).

(b) Soit g : T −→ T⁰ un morphisme dans AlgC. Pour M, M⁰⁰ ∈ (B⊗T)−M od,M⁰ ∈(A⊗T)−M od, posons N := (B⊗T⁰)⊗_B⊗T M, N⁰ := (A⊗T⁰)⊗_A⊗T M⁰,N⁰⁰ := (B⊗T⁰)⊗_B⊗T M⁰⁰. Alors, les foncteurs {P^T, Q^T}_T∈AlgC sont compatibles avec le changement de base :

P^T0(N⁰) =P^T0((A⊗T⁰)⊗A⊗T M⁰) = (B⊗T⁰)⊗B⊗T P^T(M⁰) Q^T0(N⁰⁰) =Q^T0((B⊗T⁰)⊗B⊗T M⁰⁰) = (A⊗T⁰)⊗A⊗T Q^T(M⁰⁰)

(2.12) De plus, le diagramme suivant est commutatif :

HomB⊗T(M, P^TM⁰)⊗HomA⊗T(M⁰, Q^TM⁰⁰)^f

T

P Q(M,M⁰,M⁰⁰)

−−−−−−−−−−→HomB⊗T(M, M⁰⁰)ⁿ



 y





y (2.13) Hom_B⊗T⁰(N, P^T0N⁰)⊗Hom_A⊗T⁰(N⁰, Q^T0N⁰⁰)^f

T0

P Q(N,N⁰,N⁰⁰)

−−−−−−−−−→Hom_B⊗T⁰(N, N⁰⁰)ⁿ où les morphismes verticaux sont induits par changement de base. Notons par Corr_n(A, B) le sous-ensemble des correspondances de A vers B de rang n. PosonsCorr(A, B) := ^S

n≥1

Corrn(A, B).

Proposition 2.7. Soit (C,⊗,1) une catégorie monoïdale symétrique comme plus haut. Soient A, B, T trois monoïdes appartenant à Alg_C. Alors, il existe des applications naturelles :

Corrn(A, B)−→Corrn(A⊗T, B⊗T) ∀n≥1 (2.14) Démonstration. Soit (P,Q,f_{P Q}) = {(P^T0, Q^T0, f_{P Q}^T0 )_T⁰_∈AlgC} une corres- pondance deA vers B de rangn. Nous posons (∀T⁰ ∈AlgC)

P[T]^T0 :=P^T⊗T0 Q[T]^T0 :=Q^T⊗T0 f_{P Q}[T]^T0 :=f_{P Q}^T⊗T0 (2.15)

Alors, on voit aisement que la famille

(P[T],Q[T],f_{P Q}[T]) :={(P[T]^T0, Q[T]^T0, fP Q[T]^T0)_T⁰_∈AlgC} (2.16) satisfait toutes les conditions dans la définition 2.6.

Proposition 2.8. Soit (C,⊗,1) une catégorie monoïdale symétrique comme plus haut. Soient A₁, A₂, A₃ trois monoïdes appartenant à Alg_C. Fixons m, n≥1. Alors, il existe une composition des correspondances

Corr_m(A₁, A₂)⊗Corr_n(A₂, A₃)−→Corr_mn(A₁, A₃) (2.17) Démonstration. Soit{(P^T, Q^T, f_{P Q}^T )_T∈AlgC)} ∈Corrm(A1, A2) une corres- pondance deA₁versA₂et soit{(P^0T, Q^0T, f_P^T0Q⁰)_T∈AlgC)} ∈Corr_n(A₂, A₃) une correspondance de A₂ versA₃. Il résulte de Proposition 2.5 que, pour chaqueT ∈AlgC, on peut composer les correspondances (P^T, Q^T, f_{P Q}^T )∈ Corr_m(A₁⊗T−M od, A₂⊗T−M od) et (P^0T, Q^0T, f_P^T0Q⁰)∈Corr_n(A₂⊗ T −M od, A₃⊗T −M od). Posons

(P^0T, Q^0T, f_P^T0Q⁰)◦(P^T, Q^T, f_{P Q}^T )

= (P^0TP^T, Q^TQ^0T, f_P^T0P,QQ⁰)∈Corr_mn(A₁⊗T−M od, A₃⊗T −M od) où f_P^T0P,QQ⁰ est défini comme dans (2.10). Soitg:T −→T⁰ un morphisme dansAlgC. Alors, les foncteursP^0TP^T,Q^TQ^0T,T ∈AlgCsont compatibles avec le changement de base :

Pour chaque M ∈A3⊗T−M od,N ∈A1⊗T −M od, on a

P^0T0P^T0((A₁⊗T⁰)⊗_A1⊗T N) =P^0T0((A₂⊗T⁰)⊗_A2⊗T P^T(N))

= (A₃⊗T⁰)⊗_A3⊗T P^0TP^T(N) Q^T0Q^0T0((A3⊗T⁰)⊗_A3⊗T M) =Q^T0((A2⊗T⁰)⊗_A2⊗T Q^0T(M))

= (A1⊗T⁰)⊗_A1⊗T Q^TQ^0T(M) Enfin, on voit que les morphismes f_P^T0P,QQ⁰,T ∈AlgCdéfinis comme dans (2.10) sont naturels au sens de (2.13).

Enfin, nous définissons la catégorie ALG_C des monoïdes et corres- pondances. Les objets de ALGC sont les monoïdes dans C. Soient A,

B ∈ALGC. Notons parC(A, B) le groupe abélien libre engendré par les éléments de Corr(A, B). Posons

Hom_ALGC(A, B) :=C(A, B)⊗_ZC (2.18) Il résulte de (2.18) que la catégorie ALGC estC-linéaire. Dans la section suivante, nous allons définir la catégorieM otgCdes motifs sur (C,⊗,1). La catégorieM otgCdes motifs sur (C,⊗,1) est munie d’un foncteur canonique F :ALGC−→M otgC.

3. La catégorie des motifs sur (C,⊗,1)

Soit (C,⊗,1) une catégorie monoïdale symétrique et abélienne comme dans la section 2. Nous avons supposé que la catégorie C est petite. Soit A un monoïde dans C. Alors, le nerf cyclique de la catégorie A−M od est un ensemble cyclique au sens de Connes (voir [1], [2]). Notons par CN(A−M od) le nerf cyclique de A−M od, CN_n(A) l’ensemble de ses simplexes de dimension n(∀n≥0). Alors, on a

CN_n(A) := ^a

M0,...,Mn

∈A−M od

Hom_A(M₁, M₀)×Hom_A(M₂, M₁)×...×Hom_A(M₀, M_n)

On a les morphismes suivants :

δⁿ_i(A) :CNn(A)−→CNn−1(A)

δⁿ_i(A)(f₀, ..., f_n) := (f₀, ..., f_i◦f_i+1, ..., f_n) ∀0≤i≤n−1 δⁿ_n(A)(f0, ..., fn) := (fn◦f0, f1, ..., fn−1)

(3.1) entre les ensembles CNn(A),n≥0. De plus, on a un opérateur cyclique

δ_iⁿ(A) :CN_n(A)−→CNn−1(A)

τn(A)(f0, f1, , ..., fn) := (−1)ⁿ(fn, f0, ..., fn−1) ∀(f0, ..., fn)∈CNn(A) Posons

CNn(A)_C:=Z[CNn(A)]⊗_ZC ∀n≥0 (3.2) où Z[CN_n(A)] est le groupe abélien libré engendré par les éléments de CN_n(A). Alors, on a les morphismes induits (∀ n≥0)

δⁿ_i,

C:CN_n(A)_C−→CNn−1(A)_C 0≤i≤n

τn,C:CNn(A)_C−→CNn(A)_C (3.3)

Il résulte de (3.2) que CN(A)_C := {CN_n(A)_C}_n≥0 est un module cy- clique au sens de Connes (voir [2], [1]). Considérons le bi-complexeCC(A) correspondant à ce module cyclique (comme expliqué dans [9,§ 2]) et no- tons par T ot(CC(A)) le complexe total deCC(A). Alors, on a

T ot_k(CC(A)) :=CN_k(A)_C⊕CN_k−1(A)_C⊕...⊕CN₀(A)_C ∀ k≥0 (3.4) Les opérateurs de périodicité sont induits par les projections

T otk(CC(A)) =CNk(A)_C⊕CNk−1(A)_C⊕...⊕CN0(A)_C

Sk(A)



 y

T otk−2(CC(A)) =CNk−2(A)_C⊕CNk−3(A)_C⊕...⊕CN₀(A)_C

(3.5)

L’opérateur différentiel du complexeT ot(CC(A)) est donné par (∀k∈Z) : d_k(A) :T ot_k(CC(A))−→T otk−1(CC(A)) d_k(A) :=

k

X

p=0

d^k−p_k (A) (3.6) où les morphismes d^k−p_k (A) sont définis comme :

d^k−p_k (A) :=

















 Pk i=0

(−1)ⁱδ^k_i,

C(A) sip= 0

k−p−1

P

i=0

(−1)ⁱ⁺¹δ_i,^k−p

C (A) + (1−τk−p,C(A)) sip≥1 est impair

k−p

P

i=0

(−1)ⁱδ_i,C^k−p(A) +

k−p

P

i=0

(τ_k−p,C(A))ⁱ sip≥2 est pair Soient A,B deux monoïdes dansC. Rappelons queAlg_C est la catégorie des monoïdes dans C. SiT −→T⁰ est un morphisme dansAlgC, il existe des morphismes naturels (∀ n≥0)

(A⊗T⁰)⊗_(A⊗T)__ :CNn(A⊗T)_C−→CNn(A⊗T⁰)_C (3.7) induits par les foncteurs (A⊗T⁰)⊗_(A⊗T)__ : (A⊗T)−M od−→(A⊗T⁰)−

M od de changement de base. En combinant avec (3.4), on peut définir les morphismes (∀ k≥0)

(A⊗T⁰)⊗_(A⊗T)__ :T otk(A⊗T)−→T otk(A⊗T⁰) (3.8) Nous adaptons la théorie cyclique bivariante au cas des nerfs cycliques.

Pour en savoir plus sur cette théorie, voir [6], [9]. Nous considérons un complexe

(Hom^S_∗(T ot(CC(A)), T ot(CC(B))), ∂∗) (3.9)

tel qu’un élément F ∈ Hom^S_n(T ot(CC(A)), T ot(CC(B))) est une famille de morphismes linéaires :

F ={F_k^T :T otk(CC(A⊗T))−→T otk+n(CC(B⊗T))|k∈Z, T ∈AlgC} (3.10) vérifiant les propriétés suivantes :

(a) Pour chaque morphisme T −→T⁰ dansAlg_C, on a (∀ k∈Z) (B⊗T⁰)⊗_(B⊗T)__◦F_k^T =F_k^T0 ◦((A⊗T⁰)⊗_(A⊗T)__) (3.11) (b) Pour chaque T ∈ AlgC, les morphismes F_k^T commutent avec les morphismes de périodicité :

S_k+n(B⊗T)◦F_k^T =F_k−2^T ◦S_k(A⊗T) (3.12) Pour chaque élément F ∈Hom^S_n(T ot(CC(A)), T ot(CC(B))), l’opérateur différentiel ∂∗ du complexe Hom^S_∗(T ot(CC(A)), T ot(CC(B))) est donné par (∀ T ∈AlgC,k∈Z) :

∂n(F)^T_k =dk+n(B⊗T)◦F_k^T −(−1)ⁿF_k−1^T ◦dk(A⊗T) (3.13) Nous posons

HCp(A, B) :=Hp(Hom^S_∗(T ot(CC(A)), T ot(CC(B)))) ∀p∈Z (3.14) De plus, si B⁰ est un autre monoïde dans C, on a un produit

HCp(A, B)⊗HCq(B, B⁰)−→HCp+q(A, B⁰) ∀ p, q∈Z (3.15) donné par la composition des morphismes. Nous sommes prêts à définir une catégorie préliminaire des motifs sur (C,⊗,1).

Définition 3.1. Soit (C,⊗,1) une catégorie monoïdale symétrique comme plus haut. Les objets de la catégorie M ot_C sont les couples (A, m), oùA est un monoïde dansCetm∈Z. Étant donnés deux objets (A, m), (B, n) de M ot_C, nous posons

Hom_{M otC}((A, m),(B, n)) :=HCm−n(A, B) (3.16)

Si (B⁰, p) est un autre objet de M otC, il résulte de (3.15) qu’il existe une composition

HomM otC((A, m),(B, n))⊗HomM otC((B, n),(B⁰, p))

=



 y

HCm−n(A, B)⊗HCn−p(B, B⁰)



 y

HCm−p(A, B⁰) =Hom_{M otC}((A, m),(B⁰, p))

(3.17)

En appliquant (3.16), nous voyons aussi que (∀ k≥0)

Hom_{M otC}((A, m+k),(B, n+k)) =Hom_{M otC}((A, m),(B, n)) (3.18) De plus, étant donné un morphismeF ∈Hom_{M otC}((A, m),(B, n)), notons parF[k] le morphismeFconsidéré comme un élément deHom_{M otC}((A, m+

k),(B, n+k)).

Proposition 3.2. Soient A, B, T trois monoïdes dans (C,⊗,1). Pour tous les entiers m, n, p∈Z, il existe des morphismes naturels

Hom_{M otC}((A, m),(B, n))−→Hom_{M otC}((A⊗T, m+p),(B⊗T, n+p)) Démonstration. En combinant (3.14) et (3.16), on a

Hom_{M otC}((A, m),(B, n)) =Hm−n((Hom^S_∗(T ot(CC(A)), T ot(CC(B))))) Considérons un élémentF ∈Hom^S_m−n(T ot(CC(A)), T ot(CC(B))) qui in- duit une classe dans le groupe d’homologie

Hm−n((Hom^S_∗(T ot(CC(A)), T ot(CC(B))))) =HCm−n(A, B) (3.19) Alors, F est une famille de morphismes

{F_k^T0 :T otk(CC(A⊗T⁰)−→T ot_k+m−n(CC(B⊗T⁰))|k∈Z, T⁰ ∈AlgC} (3.20) comme dans (3.10). En particulier, la sous-famille

F[T] :={F[T]^T_k⁰⁰|k∈Z, T⁰⁰∈AlgC}

F[T]^T_k⁰⁰:=F_k^T⊗T00:T otk(CC(A⊗T⊗T⁰⁰))−→T otk+m−n(CC(B⊗T⊗T⁰⁰)) est un élément de Hom^S_m−n(T ot(CC(A⊗T)), T ot(CC(B⊗T))). Puisque F induit un élément dans le groupe d’homologie, on a (∀ T⁰ ∈ Alg_C, k∈Z)

∂m−n(F)^T_k⁰ =dk+m−n(B⊗T⁰)◦F_k^T0−(−1)^m−nF_k−1^T0 ◦d_k(A⊗T⁰) = 0 (3.21)

En particulier, on a (∀T⁰⁰∈AlgC,k∈Z)

∂m−n(F[T])^T_k⁰⁰=

dk+m−n(B⊗T ⊗T⁰⁰)◦F_k^T⊗T00−(−1)^m−nF_k−1^T⊗T00◦d_k(A⊗T⊗T⁰⁰) = 0 Alors, il existe dans Hm−n((Hom^S_∗(T ot(CC(A⊗T)), T ot(CC(B⊗T))))) une classe induite par F[T]. Ainsi, nous avons un morphisme

Hom_{M otC}((A, m),(B, n))−→Hom_{M otC}((A⊗T, m),(B⊗T, n))

=Hom_{M otC}((A⊗T, m+p),(B⊗T, n+p)) Proposition 3.3. Soient A, B, T trois monoïdes dans (C,⊗,1). Alors, il existe un foncteur naturel I :ALGC−→M otC défini comme

I :ALGC−→M otC I(A) := (A,0) ∀ A∈ALGC (3.22) De plus, le diagramme suivant est commutatif :

C(A, B) −−−−→ C(A⊗T, B⊗T)



 y



 y

HomM otC((A,0),(B,0)) −−−−→ HomM otC((A⊗T,0),(B⊗T,0)) (3.23) Démonstration. Choisissons une correspondance{(P^T0, Q^T0, f_{P Q}^T0 )_T⁰_∈AlgC} deAversB. Pour chaqueT⁰ ∈Alg_C, le foncteurP^T0 : (A⊗T⁰)−M od−→

(B⊗T⁰)−M odinduit un morphisme entre les nerfs cycliquesCN(A⊗T⁰− M od) etCN(B⊗T⁰−M od). Donc, le foncteurP^T0 induit un morphisme entre les modules cycliquesCN(A⊗T⁰)_CetCN(B⊗T⁰)_C. Alors, on obtient les morphismes (∀k∈Z)

CN(P)^T_k⁰ :T ot_k(CC(A⊗T⁰))−→T ot_k(CC(B⊗T⁰)) (3.24) Alors, on a une famille de morphismes :

CN(P) :={CN(P)^T_k⁰|k∈Z, T⁰ ∈AlgC} (3.25) Puisque les morphismes CN(P)^T_k⁰ sont induits par les foncteurs P^T0 : (A⊗T⁰)−M od−→(B⊗T⁰)−M od, il résulte de la définition 2.6 que les morphismes {CN(P)^T_k⁰|k ∈ Z, T⁰ ∈ Alg_C} satisfont les propriétés (3.11) et (3.12). De plus, les morphismes induits CN(P)^T_k⁰ commutent avec les

différentielles sur les complexes totaux T ot(CC(A⊗T⁰)) etT ot(CC(B⊗ T⁰)). Alors, on a

∂0(CN(P))^T_k⁰ =d_k(B⊗T⁰)◦CN(P)^T_k⁰−CN(P)^T_k−1⁰ ◦d_k(A⊗T⁰) = 0 (3.26) Donc, CN(P) est une classe dans le groupe d’homologie

H0(Hom^S_∗(T ot(CC(A)), T ot(CC(B)))) =HomM otC((A,0),(B,0)) Alors, on a un foncteur

I :ALG_C−→M ot_C I(A) := (A,0) ∀A∈ALG_C De plus, on sait que les morphismes

Corrn(A, B)−→Corrn(A⊗T, B⊗T) ∀ n≥1 (3.27) dans (2.14) sont définis comme sous-familles de{P^T0 : (A⊗T⁰)−M od−→

(B⊗T⁰)−M od|T⁰∈AlgC}. Dans la démonstration de la proposition 3.2, on voit que les morphismes

HomM otC((A,0),(B,0))−→HomM otC((A⊗T,0),(B⊗T,0)) (3.28) sont définis d’une manière similaire. Ainsi, le diagramme (3.23) est com- mutatif.

Définition 3.4. Soit A un monoïde dans (C,⊗,1). Alors, une corres- pondance (P,Q,fP Q) = {(P^T, Q^T, f_{P Q}^T )_T∈AlgC} de rang 1 est dite un projecteur si elle satisfait :

(P,Q,fP Q)◦(P,Q,fP Q) = (P,Q,fP Q) (3.29)

Nous sommes prêts à définir la catégorie des motifs sur (C,⊗,1).

Définition 3.5. Soit (C,⊗,1) une catégorie monoïdale symétrique comme plus haut. Les objets de la catégorie M otgC des motifs sur (C,⊗,1) sont les triplets (A, e, m) tels que :

(a) A est un monoïde dans (C,⊗,1) etm∈Z. (b) e∈Corr1(A, A) est un projecteur.

Soient (A, e, m), (B, f, n) deux objets de M ot^g_C. Il résulte de (3.18) que Hom_{M otC}((A, m),(A, m)) =Hom_{M otC}((A,0),(A,0)) =HC₀(A, A)

HomM otC((B, n),(B, n)) =HomM otC((B,0),(B,0)) =HC0(B, B)

Les morphismes dans M otgC sont définis comme suit : Hom

M otgC((A, e, m),(B, f, n))

:=I(f)[n]◦Hom_{M otC}((A, m),(B, n))◦I(e)[m] (3.30) oùI(e)[m] (resp.I(f)[n]) est l’élément deHomM otC((A, m),(A, m)) (resp.

Hom_{M otC}((B, n),(B, n))) correspondant àI(e)∈Hom_{M otC}((A,0),(A,0)) (resp. I(f)∈HomM otC((B,0),(B,0))).

Pour chaque monoïdeAdansC, le motif deA est défini comme l’objet (A, id,0) de M otgC.

Considérons deux objets (A, e, m), (B, f, n) deM ot^g_C. PuisqueI(e)[m]∈ HC0(A, A) et I(f)[m]∈HC0(B, B) sont des idempotents, on a

Hom

M otgC((A, e, m),(B, f, n))

=I(f)[n]◦HomM otC((A, m),(B, n))◦I(e)[m]⊆HCm−n(A, B) (3.31) Dans la catégorieM otgC, nous définissons les trois motifs suivants : (1) Le motif trivial : 1:= (1, id,0).

(2) Le motif de Lefschetz : L:= (1, id,1).

(3) Le motif de Tate :T:= (1, id,−1).

Proposition 3.6. Soit T un monoïde dans C. Pour chaque k∈Z, on a un foncteur

_⊗(T, id, k) :M ot^gC−→M otgC (A, e, m)7→(A⊗T, e[T], m+k) (3.32) où e[T]∈ Corr₁(A⊗T, A⊗T) est l’élément associé à e ∈ Corr₁(A, A) par le morphisme

Corr₁(A, A)−→Corr₁(A⊗T, A⊗T) (3.33) défini comme dans 2.14.

Démonstration. Soient (A, e, m), (B, f, n) deux objets de M ot^g_C. Il suffit de montrer qu’on a un morphisme naturel :

Hom

M otgC((A, e, m),(B, f, n))



 y Hom

M otgC((A⊗T, e[T], m+k),(B⊗T, f[T], n+k))

(3.34)