E633 A la manière des joueurs de poker [***** à la main]

(1)

E633 A la manière des joueurs de poker [***** à la main]

Solution

Jean Moreau de Saint Martin, Claude Morin , Daniel Collignon et Pierre Henri Palmade ont répondu au problème. Cliquer sur leur nom pour accéder à leur solution.

Tableaux annexes (à titre informatif):

1) Résumé des résultats obtenus pour n variant de 2 à 15.

2) Analyse détaillée des piles intermédiaires obtenues pour n variant entre 2 et 8

Remarque liminaire : pour faciliter la représentation des piles intermédiaires, on remplace les jetons blancs et noirs par les chiffres 0 et 1.

1^ère configuration : on alterne un jeton de la pile de gauche puis un jeton de la pile de droite….et on partage la pile obtenue en deux nouvelles piles de n jetons, la pile inférieure placée à gauche et la pile supérieure que placée à droite.

(2)

Avec la première configuration, on retrouve la séquence A002326 de On-Line Encyclopedia of Integer Sequences qui donne les plus petits nombres entiers m tels que 2^m 1 modulo2n1. En d’autres termes, on dit que les entiers m constituent l’ordre multiplicatif de 2 modulo 2n – 1.

Voir http://www.research.att.com/~njas/sequences/A002326

2^ème configuration : on alterne un jeton de la pile de droite puis un jeton de la pile de gauche….et on partage la pile obtenue en deux nouvelles piles de n jetons, la pile inférieure placée à gauche et la pile supérieure que placée à droite.

(3)

3^ème configuration : on alterne un jeton de la pile de gauche puis un jeton de la pile de

droite….et on partage la pile obtenue en deux nouvelles piles de n jetons, la pile inférieure placée à droite et la pile supérieure que placée à gauche.

(4)

Avec la seconde et la troisième configurations, on obtient la séquence A003558 qui donne les plus petits nombres entiers m tels que2^m/1modulo2n1.

On dit encore que les entiers m constituent le sous-ordre multiplicatif de 2 modulo 2n + 1 . Voir http://www.research.att.com/~njas/sequences/A003558

Il apparaît que le nombre de tours nécessaires pour obtenir deux piles homogènes de jetons est le même que celui requis pour remettre dans leur ordre initial 2n cartes partagées en deux paquets de n cartes puis mélangées selon le même principe que celui des jetons, avec alternance d’une carte du paquet de gauche et d’une carte du paquet de droite. Une abondante littérature, d’origine anglo- saxonne notamment, a été produite sur ce problème du mélange des cartes. On pourra consulter les sites suivants :http://mathworld.wolfram.com/In-Shuffle.html et http://mathworld.wolfram.com/Out- Shuffle.html