Pour quelles valeurs de l’entier n positif , les cinq expressions suivantes donnent-elles des nombres premiers : n2020 + 4, n2021 + n2020 + 1, n4040 + n3030 +n2020 + 4, n2020 +n1515 + n505 + 1 et n7070+ n2020 +1 ?
Prouver sans l’aide d’un automate que les nombres 163 840 001 601, 50 629, 656 829 000 901, 216 145 087, 99 960 005 999 600 009 999 et son jumeau 99 960 005 999 600 010 001 sont des nombres composés.
Pour tout x, d’après Sophie Germain, x4+4=(x2+2)2-4x2=(x2+2x+2)(x2-2x+2) ; pour x=n505 on en déduit que n2020+4 est composé sauf pour n=1 où il vaut 3.
De la même façon, x8+x6+x4+4=(x4+x2+2)2-x6-4x4-4x2
=(x4+x2+2)2-(x3+2x)2=(x4+x3+x2+2x+2)(x4-x3+x2-2x+2) : ici encore avec x=n505 on déduit que n4040+n3030+n2020+4 est composé sauf pour n=1 où il vaut 7.
x4+x3+x+1=(x+1)(x3+1) ; pour x=n505, n2020+n1515+n505+1 est composé pour tout n.
Si un polynôme complexe en x s’annule pour x=j et j2 (racines non réelles de l’unité), il est divisible par x2+x+1 : ce sera le cas pour x2021+x2020+1, et x7+x2+1, les dividendes étant strictement supérieurs à 1, si x est un entier supérieur à 1. Il en résulte que n2021+n2020+1 et n7070+n2020+1 sont composés dès que n>1, et valent 3 pour n=1.
163840001601 est composé car divisible par 3 (la somme des chiffres est égale à 30) ; et, puisque 16384=214 et que 16=24 on retrouve la forme x7+x2+1 avec x=40.
50629=50625+4=154+4 : on retrouve la forme x4+4 avec x=15.
656829000901=900*729810001+1 et 72981001=9003+9002+1 : on retrouve la forme x4+x3+x2+1 avec x=900 : le nombre est donc composé.
216145087=216145083+4=214358881+1771561+14641+4=118+116+114+4 : on retrouve la forme x8+x6+x4+1.
Enfin, 99960005999600010000=104-4*108+6*1012-4*1016+1020=104*(104-1)4, soit x4(x4-1)4 pour x=10.
x4(x4-1)4-1 se factorise comme différence de deux carrés.
Quant à x4(x4-1)4+1, il s’annule pour x4=-j ou --j2 , donc est divisible par x8-x4+1.
