A380 – A la manière de Sophie(1) [** à la main exclusivement].
Pour quelles valeurs de l’entier n positif , les cinq expressions suivantes donnent-elles des nombres premiers : n2020 + 4, n2021 + n2020 + 1, n4040 + n3030 +n2020 + 4, n2020 +n1515 + n505 + 1 et n7070+ n2020 +1 ? Prouver sans l’aide d’un automate que les nombres 163 840 001 601, 50 629, 656 829 000 901,
216 145 087, 99 960 005 999 600 009 999 et son jumeau 99 960 005 999 600 010 001 sont des nombres composés.
(1)Nota : Sophie Germain, mathématicienne,(1776-1831).
Solution proposée par Bernard Vignes
Les cinq expressions peuvent se factoriser de la manière suivante : A = n2020 + 4
On pose n⁵⁰⁵ = x. D’où x⁴ + 4 = (x² – 2x + 2)(x² + 2x + 2).
A est premier = 5 pour la seule valeur x =1 soit n = 1
B = n2021 + n2020 + 1
B = (n² + n + 1).(n²⁰¹⁹ – n²⁰¹⁷ + n²⁰¹⁶ – n²⁰¹⁴ …..+ n³ – n + 1) B est premier = 3 pour la seule valeur n = 1
C = n4040 + n3030 +n2020 + 4
On pose n⁵⁰⁵ = x. D’où x⁸ + x⁶ + x⁴ + 4 = (x⁴ + x³ + x² + 2x + 2).( x⁴ – x³ + x² – 2x + 2) C est premier = 7 pour la seule valeur x = 1 soit n = 1
D = n2020 +n1515 + n505 + 1
On pose n⁵⁰⁵ = x.D’où x⁴ + x³ + x + 1 = (x + 1)².(x² – x +1) D n’est jamais un nombre premier.
E = n7070+ n2020 +1
On pose n1010 = x. D’où x⁷ + x² + 1 = (x² +x + 1).(x⁵ – x⁴ + x² – x + 1) E est premier = 3 pour la seule valeur x = 1 soit n = 1
Application numérique
Les six entiers sont des nombres composés :
N₁ = 163 840 001 601 = multiple de 3 ou encore = 40⁷ + 40² + 1 = 1641*99 841 561 d’après E N₂ = 50 629 = 15⁴ + 4 = 197*257 d’après A
N₃ = 656 829 000 901 = 900⁴ + 900³ + 900 + 1 = 901².(900² – 900 + 1 ) = 17².53².809 101 d’après D N₄ = 216 145 087 = 11⁸ + 11⁶ + 11⁴ + 4 = 71*227*13411 d’après C
N₅ = 99 960 005 999 600 010 001= 10000*9999⁴ + 1 est de la forme (n + 1)n⁴ + 1 = n⁵ + n⁴ + 1 avec n = 9999 et n⁵ + n⁴ + 1 = (n² + n + 1).( n³ – n + 1) = 99 990 001*999 700 020 001
N6 = 99 960 005 999 600 009 999 = N₅ – 2 = 10000*9999⁴ – 1 = (100.99992 + 1). (100.99992 – 1)
