D1990. Un zeste de calcul
Soit un triangle ABC dont les côtés BC, CA et AB ont pour longueurs a, b, c. Les points P et Q sont les projections orthogonales de B et de C sur la bissectrice intérieure (L) de l’angle en A.
La parallèle au côté AB passant par P coupe la parallèle au côté AC passant par Q au point R.
Soit S le point symétrique de R par rapport à (L).
Calculer la longueur du segment AS en fonction de a, b, c.
Solution proposée par Paul Voyer
S est le milieu de BC. Le triangle RPQ est isocèle de sommet R car ses angles en P et Q sont égaux aux deux demi-angles en A.
PRQS est un losange.
La médiatrice de PQ coupe BC en son milieu S.
Ce point est le symétrique de R par rapport à PQ (angles).
AS est la médiane issue de A.
L'égalité AB²+AC²=2AS²+AB²/2 permet le calcul de la médiane AS.
Sa longueur est égale à 2 ² 2 ² ² 2
1 b c a
