Il en résulte que les angles (DFC) et (DAE) sont égaux

D130 – Le trajet du chapeau de gendarme

Solution

Deux propriétés géométriques méritent d’être démontrées au préalable car elles simplifient les calculs de manière significative :

- le point M à mi-chemin entre A et C sur la ligne brisée AEC est la projection de D sur CE,

- PS est perpendiculaire à DS.

On démontre tout d’abord que DM est perpendiculaire à CE (théorème d’Archimède):

Le cercle de centre D et de rayon DA=DC coupe CE au point F. Comme DC=DF, le triangle CDF est isocèle et angle(DFC) = angle(DCF). Par ailleurs, dans le cercle de centre O

circonscrit aux points A, B, C, D et E, les angles (DAE) et (DCE) qui sous-tendent le même arc DE sont égaux. Il en résulte que les angles (DFC) et (DAE) sont égaux. Comme le triangle ADF est aussi isocèle, les angles (DFA) et (DAF) sont égaux. Il en est de même des angles (EFA) et (EAF) obtenus par différence entre les angles (DFA) et (DFC) d’une part et les angles (DAF) et (DAE) d’autre part.

Le triangle AEF est donc isocèle et EF=EA. M au milieu de la ligne brisée AEC est alors au milieu de CF et DCF étant isocèle, DM est médiatrice de CF.

On démontre ensuite que DS est perpendiculaire à PS :

Comme par hypothèse AB est un diamètre, le triangle ACB est rectangle en C. Les droites OD et ON qui sont médiatrices de AC et CB, sont alors perpendiculaires entre elles et le triangle DON est rectangle en O. Par ailleurs le point P est par construction sur la bissectrice de l’angle(BOC) qui est elle-même médiatrice de BC. Les points O, N et P sont donc alignés.

Les points B, S, C et D étant cocycliques, on peut écrire la relation NB.NC = ND.NS. Les points B, S, C et O sont aussi cocycliques car ils sont inscrits dans le cercle de diamètre OP. Il en résulte que NB.NC = NO.NP. Le rapprochement des deux identités donne ND.NS =

NO.NP qui permet de dire que les quatre points D, O, S et P sont eux-mêmes cocycliques.

Comme les angles (DOP) et (DSP) sous-tendent le même arc DP, il en découle que l’angle DSP est droit et que DS est perpendiculaire à PS.

Le calcul de la distance parcourue par Diophante devient alors plus aisée. Avec le kilomètre comme unité de mesure on a le tableau ci-après établi dans difficultés avec un tableur :

La distance totale parcourue égale à la somme des six distances partielles repérées en jaune est de 6,0687… km soit 6069 mètres arrondis par excès.

Nota : Si l’on souhaite garder les valeurs exactes des différents segments avec leurs radicaux, on est amené à faire les calculs plutôt laborieux suivants :

AB = 3BC = AB .sin( π /5) = 3 (5- 5)/8et NB = NC = 3 (5- 5)/32= 0,88167... Par ailleurs ON = AC/2 = AO.cos(π /5) = 3 (3 5)/32= 1,21352…

D’où ND²OD²ON²ND = 3 (11 5)/32=1,9294…. Comme ND.NS = NB.NC, il en découle NS = 3(5 5)/4 222 5= 0,4028…

puis PS = OD.NS/ON = 3(5 5)/2 3814 5= 0,4980.. et PN = PS.ND/OD = 8

/ ) 5 7 19 /(

) 5 11 ( ).

5 5 (

3    = 0,6405….

Par ailleurs angle (COD) = 3π /10. Il en résulte CD = 2OC.sin(3 π /20) = 8

/ ) 2 5 2 10 .(

5 2 10 2 8

3     = 1,3619…

Comme angle(COE) = π /2, il s’ensuit que angle (DCE) = angle (DOE) /2 = π /2 - 3 π /10 = π /10. Dès lors DM = CD.sin( π /10)= CD.( 51)/4= 0,4208… et CM = CD.cos( π /10) = CD. 102 5/4= 1,2953…