G2965. Les premiers en Pythagorie**
On considère les triplets pythagoriciens (a,b,c) dont deux des trois termes sont des nombres premiers et auxquels on associe les triangles rectangles ABC de côtés a,b,c.
Recenser tous les triplets tels que le plus petit angle aigu du triangle ABC est supérieur à 2°.
PROPOSITION Th Eveilleau
Les triplets pythagoriciens demandés sont donc primitifs : le pgcd des trois entiers est 1 puisque deux d’entre eux sont premiers.
Méthode d’Euclide
Pour trouver des triplets pythagoriciens, on part arbitrairement de deux entiers naturels m et n (m>n).Les entiers a,b et c tels que
c =m²+n² ;
b = m² - n² et enfin a = 2*m*n
forment un triplet pythagoricien.
Cette méthode donne les triplets pythagoriciens primitifs, i.e tels que a, b et c soient premiers entre eux.
Les triplets cherchés font partie des triplets primitifs.
Cependant tous les triplets primitifs ne sont pas acceptables.
On ne gardera que les triplets tels que si a>b, nous avons : b/a <tan (2°).
Voici les cinq et seuls résultats : 3, 4, 5
5, 12, 13 11, 60, 61 19, 180, 181 29, 420, 421
Le rapport des deux cathètes est de plus en plus petit lorsque les longueurs des côtés augmentent.
