Enoncé D273 (Diophante)
La saga des polygones inscriptibles (1er épisode)
Tout le monde sait qu’un trapèze isocèle est toujours inscriptible mais comment caractériser le cas où la base majeure coïncide avec le diamètre d du cercle circonscrit ? On notea le côté oblique etb la base mineure et on examine successivement les cas oùa,betdsont : A) réels B) entiers et C) rationnels.
A) Trouver le polynôme P de degré 2 tel que tout triplet (a, b, d) satisfait la relation P(a, b, d) = 0.
B) Donner une représentation paramétrique des triplets primitifs (à savoir : a,betdsont sans facteurs communs) et montrer que dou 2dest un carré parfait.
C) Caractériser les triplets tels que les diagonales et/ou la hauteur sont aussi rationnelles.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Soit ABCD le trapèze de base mineure AB = b, O le milieu de la base majeure CD.
A) Soit t l’angleBOC;b= (AO+OB) cost=dcost;b=dsin(t/2).
Par la formule classique de l’angle double,
b/d = cost = 1−2 sin2(t/2) = 1−2(a/d)2, ce qui montre qu’on peut prendre P = 2a2+bd−d2.
B) On a la factorisation 2a2 =d(d−b) en produit de deux facteurs premiers entre eux. Tout nombre premier > 2 divisant d ou d−b y a le même exposant pair que dans a2. Selon que le PGCD de d et 2a2 est 1 ou 2, d est carré ou double carré.
Si dest impair, c’est un carré d=p2, a=pq, d−b = 2q2, d’où le triplet (a, b, d) = (pq, p2−2q2, p2).
Si dest pair,d−b est impair et carré q2,d= 2p2,a=pq, d’où le triplet (a, b, d) = (pq,2p2−q2,2p2).
C)CDétant un diamètre, l’angleCBDest droit etAC2=BD2 =d2−a2. La hauteur est OBsint =ACsin(t/2) = AC·a/d, elle est rationnelle si la diagonale AC l’est.
C.1) Supposonsdpair.
La diagonale a pour carré p2(4p2−q2), qui n’est jamais un carré parfait carq est impair et 4p2−q2 a pour reste 3 modulo 4.
La diagonale ni la hauteur ne sont rationnelles.
C.2) Supposons doncdimpair.
La diagonale a pour carré p2(p2−q2). C’est un carré parfait si p+q et p−q(sans facteur commun autre que 2 éventuellement, quandqest impair comme p) sont tous deux carrés ou doubles carrés. Pour le couple (p, q), on a (u2+v2, u2−v2) ou (u2+v2,2uv) avec u etv de parité contraire.
La hauteur est alors rationnelle comme la diagonale.
En conclusion, les triplets (a, b, d) tels que la diagonale et la hauteur sont rationnelles sont
(u4−v4,6u2v2−u4−v4, u4+ 2u2v2+v4) ou (2uv(u2+v2), u4−6u2v2+v4, u4+ 2u2v2+v4).
