E134. Les suites les plus longues du millésime
Dans chacune de ces deux suites, on choisit les deux premiers termes qui sont des nombres entiers strictement positifs puis on calcule le kième terme (k >2) en soustrayant le (k − 1)ième terme du (k − 2)ième terme. On poursuit les calculs aussi longtemps que le termes sont positifs ou nuls.
Q1 Le premier terme de la suite n°1 étant égal à 2018, déterminez le deuxième terme de sorte que le nombre total de termes soit le plus grand possible.
Q2 Déterminez la plus petite valeur possible du premier terme de la suite n°2 de sorte que celle-ci ait 21 termes dont le dernier est égal à 2018.
Dans les deux cas, justifiez votre réponse.
Solution de Paul Voyer
On reconnaît des suites similaires à le suite de Fibonacci, pour laquelle le rapport de deux éléments successifs tend très vite vers le nombre d'or
618 . 2 0
1 5
.
Q1
Cherchant autour de 1247
2 1 5
*
2018
, on trouve la valeur 1247, seule valeur qui donne une suite à 11 termes positifs.
Cette suite est : 2018, 1247, 771, 476, 295, 181, 114, 67, 47, 20, 27.
Q2
La valeur u
22= -2018 donne la plus petite valeur de u
20, puis de u
19, etc…
Le plus petit premier terme vaut u
1= 8 437 258.
1 8437258 2 5214512 3 3222746 4 1991766 5 1230980 6 760786 7 470194 8 290592 9 179602 10 110990
11 68612
12 42378
13 26234
14 16144
15 10090
16 6054
17 4036
18 2018
19 2018
20 0
21 2018
-2018
