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Dépôt Institutionnel de l’Université libre de Bruxelles / Université libre de Bruxelles Institutional Repository
Thèse de doctorat/ PhD Thesis Citation APA:
Deherder, R. (1976). Recouvrements (Unpublished doctoral dissertation). Université libre de Bruxelles, Faculté des sciences, Bruxelles.
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UNIVERSITÉ LIBRE DE BRUXELLES
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Faculté des Sciences
RECOUVREMENTS
Thèse présentée en vue de l’obtention du grade de Docteur en Sciences
(grade légal)
Année Académique
1975 -- 1976 ROGER DEHERDER
UNIVERSITÉ LIBRE DE BRUXELLES
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Faculté des Sciences
BIBLIOTHEQUE de MATHEMATIQUES et de PHYSIQUE
RECOUVREMENTS
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Thèse présentée en vue de l'obtention du grade de Docteur en Sciences
(grade légal)
Année Académique
1975 - 1976 ROGER DEHERDER
A Wad^ne.
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m'ont guidé durant l'élaboration de ce travail.
Je remercie également la per^onne^ avec qui J'al pu discuter de mes rechercher, notamment Honrleur le Pro^erreur K.Hubaut,
En^ln, la prérentatlon matérielle de ce
mémoire doit beaucoup au dévouement et à la frappe diligente de Madame E.R.Bombaert.
TABLE DES MATIERES
INTRODUCTION I. RECOUVREMENTS
1.1. Propriétés générales...1.1 1.2. Recouvrements affins...1. 11+
1.3. Invariants associés à un recouvrement... 1.30 1.1*. Un recouvrement sur 12 points... 1.37
II. APPLICATION DES RECOUVREMENTS AUX SYSTEMES TRIPLES DE STEINER ET AUX LOOPS.
2.1. Systèmes triples de Steiner...II. 1 2.2. Loops... 11.21 III. RECOUVREMENTS SUR U ,6 et 8 POINTS
3.1. Recouvrements sur U points... III. 1 3.2. Recouvrements sur 6 points... III. 1 3.3. Recouvrements sur 8 points... III.5 IV. RECOUVREMENTS SUR 10 POINTS
V. STRUCTURE DES PROGRAMMES UTILISES
5.1. Programme de recherche des recouvrements non-isomor
phes sur 10 points... V.1 5.2. Programme d'étude des recouvrements sur 10 points... V.11 ANNEXE 1 : Listings des programmes utilisés
ANNEXE 2 : Plan de la séparation en cas disjoints de la recherche des recouvrements non-isomorphes sur
10 points.
ANNEXE 3 : Liste des recouvrements sur 10 points et étude succinte de ceux-ci.
BIBLIOGRAPHIE.
INTRODUCTION
Les ovales sont intéressants à divers égards, par exemple en liaison avec les plans inversifs (voir entre autres P. Dembowsky [ 10] ) , avec les coniques et certains groupes
orthogonaux. Ils jouent un rôle important dans l'une des plus récentes tentatives de construction d'un plan projectif d'ordre 10 [32] .
La notion d'ovale d'un plan projectif fini d'ordre pair et d'autres notions dont nous reprendrons le détail plus loin conduisent à la structure dont l'étude est le but de ce mémoire. Cette structure a été baptisée de différents noms :
"packing s" (R . H. Bruck : [3] ), "groups of pairs" ( B. A . Anderson : [ l] ),
"minimal edge-colorings " (P. Cameron ; f8 ] ) ,"round robin schedules" (J.E.Freund : [ 15l et E.N.Gelling : [ 16] ), mais le terme rencontré le plus fréquemment est "one-factorisation of K^" (par exemple W.D.Wallis [33] , W.D.Wallis, AP.Street et J.S.Wallis [ 3^] , C.C.Lindner et A.Posa [ 22] , C.C.Lindner, F.
Mendelsohn et A.Rosa [2l] , E.N.Gelling ( 16] ).Nous avons traduit ce terme par "recouvrement". Si E est un ensemble de cardinal pair, une direction de E est une partition de E en classes
de 2 éléments. Un recouvrement de E est un ensemble de directions tel que toute partie de deux éléments de E est classe d'une et d'une seule des directions du recouvrement.
2
On peut remarquer que le problème de l'établissement du calendrier d'un championnat (football, échecs,...) où chaque équipe rencontre une seule fois chaque autre, revient à la
détermination d'un recouvrement sur l'ensemble des participants à ce championnat. Ceci est d'ailleurs à l'origine du terme
"round robin schedule" et c'est sous cette forme que L.E.Dickson a présenté en 1905 [ 12] le problème de la détermination des
recouvrements sur 8 points.
Dès 1859, M. Reiss ( 30] indique une méthode de construc
tion de recouvrements, et en 1895» M.G.Brunei [5] donne la liste des 6 recouvrements 2 à 2 non-isomorphes sur 8 points.
Remarquons que cette structure est triviale sur 2 ou 4 points.
D'autre part, il est bien connu qu'il y a un seul recouvrement sur 6 points.
En 1905 i L.E.Dickson [ 12] signale également qu'il y a 6 recouvrements sur 8 points et il donne l'ordre du groupe des
automorphismes de chacun d'eux. Par la suite, divers auteurs donneni des méthodes de construction de recouvrements (par exemple
O.Ore [28], J.W.Moon [25], D. Konig [18], J.E.Freund [15], E.H. Lockwood ( 23] et [ 24] , M.Kraitchik [ 19] )• Ce n'est cependant qu'en 19T1 que W.D.Wallis démontre [33] que si
|e| > 8, E compte au moins deux recouvrements non-isomorphes.
Enfin, dans un article non encore publié [ 34] , W.D.Wallis,
A.P.Street et J.S.Wallis montrent que le nombre de recouvrement s
3
non-iaomorphes tend vers l'infini avec le cardinal de l'ensemble.
Le problème de la détermination de tous les recouvre
ments sur 10 points a été abordé par A.Ja.Petrenjuk [29], qui en dénombre 110, sans arriver à une classification complète. A cet effet, Petrenjuk met un invariant en évidence (qu'il
baptise "T-table"), et détermine un recouvrement pour chaque
valeur de cet invariant. Des recouvrements non-isomorphes peuvent cependant avoir même invariant.
D'autre part, en utilisant un ordinateur, E.N.Gelling [ 16] montre qu'il y a 396 recouvrements sur 10 points. Il donne également l'ordre du groupe des automorphismes de chacun d'eux.
Durant ces dernières années, nous avons travaillé au même problème indépendamment de Gelling, en utilisant également un ordinateur. Nous avons obtenu le même résultat. En outre, nous déterminons chaque groupe d'automorphismes de ces recouvrements et diverses propriétés dont nous reprendrons le détail par la suite.
En dehors de la recherche des recouvrements sur 10 points, nous avons étudié cette notion de manière intrinsèque, notamment en nous attachant à établir des liens entre des
propriétés géométriques des recouvrements et des propriétés de leurs groupes d'automorphismes. Un certain nombre d'articles traitent des recouvrements à l'occasion de leurs liens avec
d'autres structures telles que systèmes triples ou quadruples de Steiner, ou topologies particulières.Cependant, à notre
connaissance et en dehors des articles consacrés à la construction
k
de recouvrements et au nombre de ceux-ci, l’article [8] de P.Cameron paru en 1975 est le seul à étudier les recouvrements
de manière intrinsèque.
Enfin les divers résultats que nous avons obtenus concernant les recouvrements sur 10 points, nous ont servi à mener l'étude d'autres structures, telles que les systèmes triples de Steiner et les loops.
Après cette vue d'ensemble du sujet, passons à un examen un peu plus détaillé de chaque chapitre.
Au chapitre I, nous définissons diverses notions
relatives à cette structure, telles que sous-espaces, sous-espaces parallèles, hyperplans. Nous montrons que les sous-espaces
parallèles sont intimement liés à certains sous-ensembles
de 1'ensemble des directions dont nous donnons une caractérisation.
Nous poursuivons en mettant en évidence l'importance des auto
morphismes conservant chaque direction d'un recouvrement, en montrant que l'existence de ceux-ci entraîne que le recouvrement
contient des sous-espaces affins. Nous démontrons à cette occasion que le groupe formé par ces automorphismes est abélien élémentaire et que son ordre divise l’ordre de l'ensemble sur lequel
est défini le recouvrement.
Nous caractérisons ensuite les recouvrements qui sont isomorphes aux espaces affins construits sur le corps à deux éléments. Les résultats que nous obtenons ici nous permettent d'introduire la notion de quotient d'un recouvrement par l'une de ses directions ou par un ensemble de directions de ce
recouvrement
En vue de préparer la recherche de recouvrements non-isomorphes, nous introduisons le graphe G(e) qui est un invariant associé au recouvrement e. Cet invariant permet de reconstruire la "T-table" T(e) de A.Ja.Petrenjuk associée au recouvrement e. C'est cependant un invariant plus élaboré car des recouvrements peuvent avoir mime T-table sans que les graphes associés soient isomorphes. Nous rappellerons également l'invariant F(e) introduit par E.N.Gelling ( 16] .
Enfin, nous caractérisons et construisons un recouvre
ment sur 12 points, en imposant au graphe G(e) des conditions d'homogénéité assez strictes. En particulier, ces conditions entraînent que l'ordre des ensembles sur lesquels existent de tels recouvrements est un multiple de 6. L'unique recouvrement
sur 6 points possède un graphe vérifiant ces conditions, et nous montrons, en le construisant, qu'il en est de même pour un et un seul recouvrement sur 12 points. Nous n'avons pas pu
vérifier si ces deux recouvrements constituent les premiers
membres d'une famille infinie ou si ce sont deux cas exceptionnels Nous avons appris par la suite, par son article [8] publié en
1975» que P.Cameron a également découvert l'existence et l'unicité de ce recouvrement sur 12 points. Il indique dans l'article cité, une méthode permettant de démontrer ce fait et qui est d'ailleurs celle que nous avons utilisée.
En dehors de la construction de plans projectifs, les recouvrements peuvent apporter une aide précieuse dans l'étude
6
de systèmes triples de Steiner et de loops.Ainsi, au chapitre II, nous entreprenons de cerner au mieux le nombre de
systèmes de Steiner ayant un sous-système de 9 points. R.M.Wilson a établi en 1971 [36] que :
^19 > 2450.
En outre, I.P.Neporoznev et A.Ja.Petrenjuk ont montré I 27] en 1972 que 3?^ > 71 UOO, et en 1973 , dans un article non encore publié, A. Ja.Petrenjuk a établi que > 248.640. Grâce aux résultats que nous obtenons concernant les recouvrements sur 10 points, nous trouvons que ce nombre est compris entre 284.407 et 290.008. En outre,nous déterminons le groupe des automorphis
mes de 284. 128 d-e ces systèmes.
De même ces recouvrements nous permettent de calculer le nombre exact de loops abéliens de dix éléments et dont
chaque élément (sauf l'identité) est d'ordre 2, ainsi que le nombre exact de loops de dix éléments dont chaque élément (sauf l'identité) ebt d'ordre 2, et tels que pour tout x,y, on ait
X + (x + y) = y
Au chapitre III, nous déterminons les recouvrements sur 4,6 et 8 points et nous étudions chacun de ceux-ci en
particulier. Ces recouvrements sont déjà connus, et, ainsi que nous l'avons signalé plus haut, dès 1895 M.G.Brunei donne la liste
des six recouvrements sur 8 points. En 1971> W.D.Wallis, AP. Street et J.S.Wallis reprennent cette liste ; 34] en citant le groupe
7
des automorphismes de ces recouvrements. Nous renseignons également ces groupes en donnant une démonstration de nos résultats, et pour l'un des recouvrements nous obtenons une
description différente du groupe. La description donnée dans [ 3U]
et la notre ne sont d'ailleurs pas contradictoires.
Le chapitre IV est consacré à la détermination de tous les recouvrements sur 10 points. La recherche de ceux-ci est entamée à la main et poursuivie sur ordinateur. En fait, le travail à la main sert à fractionner le problème en plusieurs parties, de telle sorte que l'ensemble de la recherche sur ordinateur soit beaucoup plus rapide (du point de vue du temps-calcul).
Le programme utilisé pour déterminer tous les recouvrements sur 10 points est détaillé au chapitre V. Il a été écrit indépendemment de Gelling, dont nous ignorions qu'il travaillait au même problème que nous, mais les voies suivies pour composer ces deux programmes sont essentiellement distinctes. Nos résultats constituent donc une confirmation probante de ceux de Gelling.
Nous exposons également au chapitre V le plan de fonctionnement du programme que nous utilisons pour étudier chaque recouvrement en détail. Ce dernier programme nous permet d'obtenir le groupe des automorphismes de ces recouvrements, les différents invariants cités ci-dessus, le nombre d'orbites du groupe des automorphismes sur les points et sur les directions du recouvrement.
8
En annexe 1, figurent les listings des deux programmes utilisés, tandis que l'annexe 2 résume le plan de fractionnement de la recherche effectuée sur machine.
Enfin, l'annexe 3 reprend ces 396 recouvrements en indiquant pour chacun d'eux la liste des invariants, et des renseignements obtenus grâce à l'ordinateur.
Voyons maintenant le lien entre ovales et recouvrements, et la manière dont les ovales peuvent aider à la construction
d'un plan projectif d'ordre 10.
Un oVale d'un plan projectif fini d'ordre n est un ensemble de n+1 points de ce plan rencontré par toute droite du plan en 0,1 ou 2 points. Tout point de l'ovale est
situé sur n droites coupant ce dernier en deux points et une le coupant en un seul point. Cette droite est appelée tangente.
Si n est un nombre pair, il existe un et un seul point du plan n'appartenant pas l'ovale , mais appartenant à
chacune de ses tangentes. Ce point est appelé noyau et la réunion de l'ovale et de son noyau est appelée ovale complet. Il est clair que toute droite du plan rencontre un ovale complet en 0 ou
2 points.
Outre Ir rôle que jouent les ovales dans la construc
tion proposée par N.J.A.Sloane, J.G.Thompson et F.J.Mc Williams [ 32] , les ovales interviennent d'une autre manière dans la cons
truction de plans projectifs. En effet, la connaissance de la structure (que nous précisons ci-dessous) induite sur un ovale
9
par la structure linéaire du plan projectif dans lequel il est plongé permet de reconstruire ce plan. Cette construction a été exposée, dans un cas plus général, par R.H.Bruck [ 3l . Détaillons- la dans le cas particulier qui nous intéresse.
L'ensemble des droites du plan passant par un point n'appartenant pas l'ovale complet définit sur celui-ci une partition en blocs de deux points. Une telle partition est une direction.
D'autre part, si nous considérons l'ensemble des
directions associées aux points d'une droite du plan ne rencontrani pas l'ovale, nous constatons que cet ensemble est un recouvrement des points de l'ovale complet.
Ainsi la structure linéaire d'un plan projectif induit sur tout ovale complet de ce plan un ensemble p directions et un ensemble de recouvrements tels que :
(i) Tout recouvrement de <R est constitué de directions de V (ii) Deux paires disjointes de points distincts de l'ovale
complet appartiennent à une et une seule direction de V (iii) Deux directions n'ayant aucun bloc en commun appartiennent
à un et un seul recouvrement de <R.
Réciproquement, Bruck a montré que si V est un ensemble de directions d'un ensemble E de n+2 points et <R un ensemble de recouvrements de cet ensemble vérifiant les propriétés (i),
(ii) et (iii), l'ensemble VUE peut être muni d'une structure de plan projectif d'ordre n en
10
appelait droites les recouvrements et les ensembles de directions ayant un bloc en commun, chacun de ces ensembles étant complété par les deux points formant le bloc commun à toutes les directions de 1'ensemble.
Ainsi, pour construire un plan projectif d'ordre 10 il"suffit" d'avoir un ensemble V de directions et un ensemble 6{ de recouvrements sur 12 points, vérifiant (i), (ii) et (iii).
De tels ensembles peuvent s'obtenir à partir de recouvrements sur 10 points, puisque l'ensemble des directions passant par une paire de points donnée définit un recouvrement sur les 10 points restant s
CHAPITRE I. RECOUVREMENTS
1.1. Soit E un ensemble de 2n points. Cet ensemble devient un espace linéaire trivial si nous décidons d.'appeler droite toute paire de points distincts de E. Une partition de E
en droites sera appelée une direction. Toute direction comprend donc n droites disjointes deux à deux.
Un recouvrement de E sera une partition de l'ensem ble des droites de E en directions. Il est clair qu'un
recouvrement de E est un ensemble 2n-1 directions. Toute direction A du recouvrement peut être vue comme une permutati involutive de E, que nous noterons également A, en posant que A(a) = b si et seulement si a et b sont deux points distincts d'une droite de A.
Deux droites d'une mime direction seront aussi appelées droites parallèles et cette relation de parallélisme est bien une relation d'équivalence définie sur l'ensemble V des droites du recouvrement e. Ceci fournit la définition
équivalente : Notons E un espace linéaire trivial dont chaque droite compte deux points et appelons relation de parallélisme l'ensemble des droites de E une relation d'équivalence telle que pour tout point p et toute droite D, il y ait une et une seule droite passant par p et équivalente à D. Nous appuierons recouvrement de E toute relation de parallélisme
on
sur
définie sur E
1.2
Si l'espace linéaire E est vu comme le graphe complet sur 2n points, la notion de recouvrement est identiq^ue à la notion de "one-factoriaation" dans la littérature
(par exemple F.Harary I 1?] )•
Il est bien connu que tout ensemble de cardinal pair possède au moins un recouvrement, et dès 1059 M.Reiss (30I en indique une méthode de construction. Nous détaillons ci-dessous; ui construction très simple due à D.Kônig [l8].
Notons 1,2,...,2n les éléments de l'ensemble E et soit Z l'entier de E tel que £=£ (mod 2n-1). Il est clair que = {{2n,i}} U j = 1 ,2 ,... ,n-1} est un recou
vrement de E.
Il existe bien d'autres constructions générales (voir par exemple J.E. Freund [1?1 , M. Kraitchik [19] , E.H.Lockwood [23l et [2^1 , J.W. Moon [25] , O.Ore [28] ).
De plus, W.D. Wallis a montré [ 33l en 1971 que si n>3, l'ensemble E de cardinal 2n compte au moins deux recouvrements non-isomorphes.
Enfin, C.C.Lindner, E.Mendelsohn et A.Rosa ont montré récemment [21] que le nombre de recouvrements deux
à deux non-isomorphes tend vers l'infini avec n.
Un sous-espace ou sous-recouvrement d'un recouvrement e de E est une partie P de E, munie des directions induites
sur P par les directions de e, et telle que si une droite
1.3.
au moins d'une direction A de e est incluse à P, alors P est réunion de droites de A.
Nous appellerons sous-espaces parallèles deux sous-
espaces non-vides tels que pour toute droite D incluse à l'un et tout point P de l'autre, la parallèle à D par p est incluse à ce second sous-espace.
Nous avons le
THEOREME 1.1. : Deux sous-espaces parallèles ont même nombre de points.
Appelons et Sg ces sous-espaces, p^ un point de et Pg un point de Sg. Nous allons définir une injection a de dans Sg en posant a(p^) = Pg et a(p) = q où P est un point de et q le point de Sg tel que Pgq est parallèle à p^p* Si p et p' sont distincts, les droites p^p et Pi?' sont pas parallèles et de ce fait les images de p et p' par a sont également distinctes.
Ceci montre que a est injectif. Mais et est aussi surjectif car pour tout q de Sg-{pg}, il existe un p de
tel que p^p est parallèle à PgQ.* Ceci démontre le théorème.
Toute partition de E en sous-espaces deux à deux parallèles sera appelée direction de sous-espaces parallèles.
Tout sous-espace appartient évidemment à une direction au plus.
Appelons p un point fixé de l'un des sous-espaces d'une direction et q un point variable de ce sous-espace. Nous obtenons ainsi un ensemble de droites pq du recouvrement.
Notons A l'ensemble des directions de E comprenant ces
droites. Il est clair que toute droite de l'un quelconque des
sous-espaces de la direction de sous-espaces parallèles appartient à l'une des directions de A. Nous avons montré le :
THEOREME 1.2. : A toute direction de sous-espaces parallèles d'un recouvrement est canoniquement associé un ensemble A
de directions du recouvrement tel que pour tout point p de E la réunion des droites par p appartenant aux directions de A est l'un des sous-espaces de la direction de sous-espaces
parallèle s.
Ceci entraîne évidemment le
COROLLAIRE ; Tout sous-espace de E appartient à au plus une direction de sous-espaces parallèles.
On peut caractériser facilement cet ensemble A de directions. Ainsi, partant d'un point a quelconque de E,
supposons que ab et bc soient des droites de deux directions (distinctes) de A. Les trois points a,b et c appartiennent donc au même sous-espace et la droite ac appartient à une direction de A, Cette propriété peut encore s'exprimer : pour toute paire de directions distinctes A et A' de A et tout point de E, la droite passant par a et le point AoA'(a)
appartient à une direction de A. Réciproquement, si A vérifie cette propriété, nous allons montrer que A est l'ensemble de directions canoniquement associé à une direction de sous-espaces
I.5.-
parallèles. Nous aurons ainsi établi le :
THEOREME 1.3. : Le sous-ensemble A de P est l'ensemble de directions canoniquement associé à une direction de sous- espaces parallèles si et seulement si pour toute paire de di
rections distinctes A et A' de A et pour tout point a de E, il existe une direction A" dans A telle que A"(a) = A'oA(a
Nous commencerons par construire les sous-espaces
qui forment cette direction. Si p désigne, un point de E, nous désignerons par V la réunion des droites passant par p et
P
appartenant à l'une des directions de A. Si D joint deux
points a et b de V^, A comprend une direction A^ contenant la droite pa et une direction A^ contenant la droite pb.
En appliquant la propriété énoncée ci-dessus, nous trouvons une direction A dans A comprenant la droite ab. Par construction de V , la. parallèle à ab par p est donc incluse à cet ensembl
P
D'autre part, si D passe par et si q est un point quelconque de - {p}, nous allons montrer que la parallèle à D par q est également incluse à P . Il en résultera
P
que est un sous-espace. Notons A la direction de D et A' la direction de pq. Grâce à la propriété vérifiée par A, il existe une direction A" de A telle que
A"(p) = A'°A(p). Par la construction de V^, le point A"(p) est bien situé dans cet ensemble et la propriété en résulte.
Supposons maintenant que q appartient à V^. Notons la direction de pq et la direction de qr où est un
J
1.6 -
point quelconque de P - {q}. Il existe une direction A" dans
<1
A telle que A"(p) = A'oA(p) = r, et ainsi P est inclus à P . Dès lors ces ensembles sont confondus et l'ensemble des Pp où P parcourt E est une partition de E.
Il reste à montrer que ces sous-espaces sont
parallèles. Appelons D une droite de P^ et a un point de P^ (nous supposons ces sous-espaces distints). La parallèle D' à D par p est incluse à P et de ce fait le deuxième
P
point de cette droite est l'image de p par une direction A de A. Notons r l'image de q par A. P étant un sous-
<1
espace, la parallèle D" à qr par a est incluse à P^. Mais D" est aussi parallèle à D, ce qui achève la démonstration.
Une autre notion peut également se définir de manière naturelle : appelons hyperplan d'un recouvrement e de l'ensemble E de 2n points tout sous-espace de n points de ce recouvre
ment. Il est clair que si H est un hyperplan de e, E-H est également un hyperplan de e, et que l'intersection de deux hyperplans est un sous-espace de e.
Tout espace affin sur le corps à deux éléments
admet un recouvrement dont les droites sont les droites affines de cet espace et dont les directions sont les directions de cet espace au sens habituel du terme. Les sous-espaces et les
hyperplans sont ici les sous-espaces et les hyperplans habituels.
En particulier, toute réunion de deux droites parallèles est un sous-espace. Il existe cependant des recouvrements autres que ceux associés aux espaces affins sur (la section U de ce
1.7
chapitre et les chapitres 3 et U nous en fourniront de nombreux exemples).
Etudions maintenant l'action de diverses permutations de E sur la structure d'un recouvrement e de E.
Toute permutation de E applique évidemment une droite sur une droite. Un automorphisme du recouvrement sera une permu
tation appliquant toute direction sur une direction. Une dilatation sera une permutation appliquant toute droite sur une droite d'une même direction (ou droite parallèle).
Les automorphismes, ainsi que les dilatations, forment groupe. De plus, nous avons le :
THEOREME 1.^. : Toute dilatation est involutive.
Soit a un point de E et b son image par la dilatation. La droite ab appartient à une direction A du recouvrement et la dilatation l'applique donc sur une droite de A. Mais comme a est appliqué sur b, la droite ab est globale ment conservée et b est appliqué sur a, ce qui démontre le théorème.
La réciproque n'est pas toujours vraie : il existe des automorphismes involutifs qui ne sont pas des dilatations.
Considérons par exemple l'espace affin de dimension 3 sur Cg que l'on peut représenter par les huit sommets d'un cube en prenant comme directions d'une part les trois ensembles de quatre arêtes parallèles, d'autre part les trois ensembles de quatre diagonales de faces parallèles, et enfin les paires sommets opposés comme dernière direction :
de
1.8
L'involution (a,b)(c,d)(e,h)(f,g) est un automorphisme, mais n'est pas une dilatation : elle permute par exemple les directions
{ae ,cg ,ef,dh} et {ag,ce,bh,df}
(voir figure 1.1)
Figure 1.1.
Ce théorème entraîne le corollaire suivant, signalé par P.C.àmeron dans l'article [ 8 ] qui vient d'être publié :
COROLLAIRE : Le groupe des dilatations est abélien élémentaire.
Nous savons en effet que tout groupe dont tous les éléments sont d'ordre 1 ou 2 est abélien élémentaire.
THEOREME 1.5. : Toute dilatation ayant un point fixe est l'identité.
Supposons en effet que a est fixe et soit b un autre point de E. La droite ab devant être appliquée sur une droite de la même direction et a étant fixe, b est nécessairement fixe.
Nous en déduisons le
COROLLAIRE : Le groupe des dilatations est semi-régulier.
En géométrie affine, les dilatations se répartissent en homothéties et translations. Seules les translations non identique n'ont aucun point fixe. Ce théorème nous permettrait donc d'appe
ler translations les dilatations des recouvrements. Le théorème
a b
1.9
suivant fait d'ailleurs apparaître une autre analogie entre ces dilatations et les translations d'un espace affin :
THEOREME 1.6 : a et b étant deux points distincts
quelconques de E, il existe au plus une dilatation appliquant a sur b.
Considérons un point c distinct de a et b, et la parallèle bd à la droite ac passant par b. S'il existe une dilatation appliquant a sur b, celle-ci applique ac sur bd et donc c sur d^ Nous construisons ainsi les images de tous les points de e\ {a,b}. D'autre part, a et b forment nécessairement un couple involutif. Ceci montre bien l'unicité de cette dilatation.
Ce théorème a comme corollaire immédiat que le nombre de dilatations d'un recouvrement est au maximum 2n . Grâce au corollaire du théorème 1.U, nous savons aussi que ce nombre est une puissance de 2. Nous allons cependant obtenir un résultat plus fort suite au :
THEOREME 1.7. : Désignons par V l'ensemble des points de CL
E, image de a par une dilatation du recouvrement de E. V a est un sous-espace du recouvrement.
Il faut montrer que si D est une droite de V et a X un point de V , la parallèle à D par x est incluse à
Cl
V . Ce résultat sera obtenu en démontrant successivement ; a
a) Si D ne passe pas par a, la parallèle à D par est incluse à V
.
aa
1.10
b) Si D passe par a et si c ^ Dt la parallèle à D par c est incluse à V
Démonstration
a) Soit D = bc ; notons B la dilatation appliquant a sur b (et permutant donc a et b) et y la dilatation appliquant a sur c. La composée Yo$ est une dilatation appliquant b sur c et a sur un point d de P . On a :
£L d = yoB(a) = y(b)
Mais a * y(c). Il en résulte que y applique la droit*
bc sur la droite ad. Comme y est une dilatation, ad-est la parallèle à D par a et on a bien montré qu'elle est incluse à V .
a b) Soit D = ab ; notons B la dilatation appliquant a sur 1 et y la dilatation appliquant a sur c. La composée yoB est une dilatation appliquant a sur d = Y®P(a) = Y("b)«
Dès lors, la dilatation y applique la droite ab sur cd et c<
deux droites sont parallèles. Comme d est l'image de a par la dilatation Y°B, cd est bien incluse à V ,
COROLLAIRE : L'ordre du groupe des dilatations d'un recou
vrement de E divise le cardinal de E.
Il est clair que le cardinal de la partie V de E est égal à l'ordre du groupe des dilatations du recouvrement.
Comme chaque point de E appartient à une telle partie, E est réunion disjointe de parties de ce type, et le corollaire en ré suite.
le nombre Dans le cas des espaces affins sur Cg,
de points 2n est une puissance de 2. Le groupe des dilatations, dont l'ordre est aussi une puissance de 2, comme nous l'avons dit plus haut,est bien connu et son ordre est 2n. Si l'on s'écarte d'ensembles E dont le cardinal est une puissance de 2, le nombre des dilatations va diminuer. Ainsi, si E est de cardinal 2n où n est impair, le dernier corollaire permet
d'affirmer que le recouvrement de E compte au plus 2 dilatations puisque l’ordre du groupe des dilatations, qui est un puissance de 2, divise 2n.
!
On peut encore améliorer ce résultat :
THEOREME 1.8 : Si n est impair* et distinct de 1, la seule dilatation d'un recouvrement sur 2n points est l'identité.
Soit A une dilatation de E. Elle compte n droites.
Comme la dilatation conserve A, elle induit des orbites de deux et de un élément sur l'ensemble des droites de A. Mais n est impair. La dilatation conserve donc au moins une droite de A.
Comme elle n'a pas de point fixe, elle a un couple en commun avec A. Mais un même couple ne peut appartenir à plus d'une direction.
Ainsi la dilatation ne peut conserver que n directions et n doit valoir au moins 2n-1, ce qui entraîne n<1.
Si n est impair, il peut cependant exister des automorphismes involutifs, ainsi qu'en témoigne cet exemple :
E = {a,b,c,d,e,f}
Directions de e: {ab,cd,ef}
{bc ,de ,af}
{ad , bf , c e ^ {be,ac ,dfi {cf,ae,bd}
L'automorphisme et permute les d
D e man THEOREME 1.9»
nombre de points recouvrement sur plus n+2f(f-l)
( a ,d)(b,e)(c,f) de e conserve trois directions eux autres.
ière générale on peut montrer :
: Si n est impair et si 2f désigne le fixes d'un automorphisme involutif d'un
2n points, cet automorphisme conserve au directions du recouvrement.
Supposons que cet automorphisme a conserve une direction A. Nous montrons comme dans le théorème précédent que O conserve une droite au moins de a. Dès lors, de deux choses 1'une :
a) ou bien a fixe les point s de cette droite. Deux
directions n'ayant jamais de droite en commun , a conserve au plus 2^) direct ions de ce type.
•b) ou bien a permute les deux p oints de cette droite.
Pour la mêm e raison qu'en a , a conserve au plus n-f direction de ce type.
Au total, 0 conserve au plus
= f(2f-l)+n-f = n+2f(f-l) directions
Remarque : Sachant qu'une dilatation n'a pas de point fixe, le théorème 1.8 est un corollaire du théorème 1.9.
Si nous dessinons un diagramme de Venn du groupe A des automorphismes d'un recouvrement, du groupe V des dilatatio) et de l'ensemble I des automorphismes involutifs de ce recou
vrement, nous trouvons la fig\ire 1.2.
1^13
égions que le donnés
peut être montrent les
ci-dessus.
Nous nous souvenons que les directions du recouvrement peuvent également être vue comme des permutations de E.Notons A l'ensemble de ces permutations et complétons le diagramme précédent. Nous obtenons la figure 1.3 :
•^E
Les exemples montrent déjà peuvent être pas encore re dont une dire morphisme san
figure 1.3
exemple comp rend 8 po i {ab 1 c d ) ef .gh}
^2 = {ag ,bd, ce ,fh}
IIonO
{ac ,bh. df .eg}
IIQ
{ad ,be'. ch , fg}
"5 = (af » b c , dg ,eh}
°6 = (ae ,bf, cg ,dh}
^7 = {ah .bg , cf ,de}
mentionnés que A-A e non vides. N ncontré de r ction serait s en être un
ci-dessus t AHp
ous n'avons ecouvrement
un auto- e dilatation
1^1 J* ^
La direction permute et ^3 et D^, et conserve Dg et . Elle appartient donc à A-V. D'autre part, la permutation ( a ,g ) ( b ,h ) ( d, f ) ( c i e ) de E est une
dilatation sans être une direction du recouvrement, ce qui montre que, A peut contenir d'autres éléments que 1„.
iîf
En outre, les exemples précédents montrent que l\P peut également comprendre des éléments n'appartenant pas à A.
1.2. Dans un espace affin sur , l'éventail des possibili
tés est beaucoup moins larges et nous allons tenter de rapprocher les recouvrements quelconques des espaces affins en leur imposant une condition inspirée de la structure de ces espaces.
Si nous considérons deux directions d'un espace affin sur Cg, ces deux directions définissent une série de plans de
^4 points. En nous inspirant de cette propriété, nous définissons : Un recouvrement de E est affin si, pour toute paire de directions A^ et Ag du recouvrement et pour toute droite ab de A^, les points c et d choisis tels que ac et bd sont des droites de Ag forment une droite de A^.
Afin de donner une formulation de cette définition nous rapprochant de l'intuition affine, appelons plan engendré par une droite ab et un point c n'appartenant pas à ab l'ensemble des points {a,b,c,d} où cd est parallèle à ab. Dès lors, un recouvrement est affin si et seulement si pour toute droite D et tout point x n'appartenant pas à D, le plan engendré par D et x est un sous-espace de E.
1.15
Remarque : Cette notion de plan ne correspond pas aux définitions habituellement utilisées dans les espaces linéaires puisque le sous-espace engendré par la droite ab et le point c est l'ensemble {a,b,c}. La définition choisie ici est directement inspirée de la structure des espaces affins sur C2.
Nous allons montrer que tout recouvrement affin est un espace affin sur C^. A cet effet, rappelons tout d'abord 1'axiomatique de Lenz des espaces affins [ 1 :
Un ensemble de points E muni d'un ensemble de
droites sur lequel est définie une relation d'équivalence appelée parallélisme est un espace affin si et seulement si :
la. Deux points distincts appartiennent à une et une seule droite.
lb. Tout point extérieur à une droite appartient à une et une seule parallèle à cette droite.
lia. (axiome du trapèze). Si ab est parallèle à cd et si P est un point de ac distinct de c, alors les droites ab et pd ont un point commun.
Ilb. (axiome du parallélogramme). Si a,b,c sont des points non-alignés, la parallèle à ab par c et la parallèle à ac par b ont un point commun.
III. Toute droite compte au moins deux points.
IV. Il existe des droites disjointes non parallèles.
Nous savons que tout espace affin au sens de Lenz est un espace affin sur un corps K tel que le cardinal de K est égal au cardinal des droites de l'espace.
Nous avons le
THEOREME 1.10 : Tout recouvrement affin est un espace affin sur C^.
Si le recouvrement compte plus de U points, il est clair qu'il vérifie 1'axiomatique de Lenz. De ce fait, c'est nécessairement un espace affin sur le corps à deux éléments.
Si le recouvrement compte 2 points, il est trivial et isomorphe à la droite affine sur C^.
Nous verrons d'autre part au chapitre 3 qu'il y a un seul recouvrement sur U points, et que celui-ci est
isomorphe au plan affin sur C^.
Du fait que les recouvrements affins sont des
espaces affins sur Cg» on peut démontrer très facilement les deux théorèmes suivants en s'appuyant sur les propriétés des espaces affins. Nous en donnons cependant une démonstration utilisant uniquement la structure du recouvrement :
THEOREME 1.11 : Toute dilatation distincte de l'identité d'un recouvrement affin est une direction de ce recouvrement.
Supposons que (a,b) et (c,d) sont deux couples involutifs de la dilatation. Il en résulte que ac et bd sont des droites parallèles. Appelons la direction de la droite ab et la direction des droites ac et bd. Comme le
recouvrement est affin, cd appartient à la direction A^. Il en résulte que tous les couples de la dilatation sont parallèles et celle-ci est bien une direction.
THEOREME 1.12.: Si E est un recouvrement affin, alors
1.17
a) e est muni de plans de manière naturelle b) ces plans sont "fermés par parallélisme"
c) par tout point extérieur à un plan ïï, il existe un et un seul plan tt ' tel que toute droite de tt ' est parallèle à une droite de tt et réciproquement.
Soient a,b,c trois points de E. La parallèle à ab passant par c sera notée cd. Par définition, {a,b,c,d}
est un plan. En utilisant la définition des recouvrements affins, on déduit que ac est parallèle à bd et ad est parallèle
à bc. Ceci démontre que la construction du plan par a,b,c ne dépend pas du choix de la droite ab que nous avons fait au départ. Il en résulte la propriété a et la propriété b.
Soit e un point extérieur à {a,b,c,d}. Menons la droite ef parallèle à ab et cd, et la droite eg
parallèle à ac et bd. Le plan passant par e,f,g comprendra également le point h et nous avons :
et fgBeh
En appliquant la définition de recouvrement affin, nous voyons que ae et bf appartiennent à une même direction, puisque ab et ef ont cette propriété. Semblablement, ae et cg appartiennent à une même direction puisque ac et eg sont parallèles. Il en résulte que bf et cg sont parallèles.
Mais ceci entraîne
eh^fg^ad^bc, ce qui montre bien l’existence d'un
plan TT ' tel qu'il est annoncé dans l'énoncé . L'unicité de TT ' est immédiate, puisque les droites par e d'un tel plan doivent être parallèles à des droites de tt.
La réciproque du théorème 1.11 est en fait une définition équivalente de recouvrement affin :
THEOREME 1.13 : Un recouvrement e est affin si et seulement si toute direction de e est une dilatation de e.
En effet, une direction A de e est une dilatation si et seulement si, ab étant une droite quelconque de E
n'appartenant pas à A, l'image de ab appartient à la même direction que ab. Mais cette image cd est obtenue en menant les droites ac et bd de A. Nous retrouvons bien ainsi la première définition de recouvrement affin.
Voici d'autres caractérisation des recouvrements affins : THEOREME 1.1U : Le recouvrement e est affin si et seulement si l'ensemble des directions de E, vu comme ensemble de permuta
tions de E, est commutatif.
Soient A^ et A^ deux directions de e, et soit a un point de E. Considérons la droite a A^(a). Elle est appliquée par Ag sur la droite Ag(a) A2(A^(a)). Comme e est supposé affin, cette dernière appartient à la direction A^ et donc A^(A2(a)) = A2(A^(a)), ce qui montre bien la commutativité de l'ensemble des directions de E.
^1.19^
Réciproquement, prenons une droite ab de E de
direction et Ag une direction de e ne comprenant pas ab.
A^ applique a sur c et b sur d. Il faut démontrer que cd appartient à la même direction que ab. Mais
d = Ag(b) = Ag(A^(a)) et
A2(A^(a)) = A^(A2(a)) = A^(c), ce qui montre bien la thèse.
THEOREME 1.15. : e est un recouvrement affin si et seulement si l'ensemble des directions de e, augmenté de l'identité, est un groupe pour la loi de compositon des permutations de E.
Si cet ensemble est un groupe, il ne contient que des éléments d'ordre 1 et 2 et il est commutatif. En utilisant
le théorème précédent on peut donc en déduire que e est affin.
Réciproquement, nous allons montrer que la loi de
composition est interne à l'ensemble des directions augmenté de 1
£ et cela suffira pour montrer la thèse.
Prenons deux directions A^ et A^ distinctes de e (si elles étaient confondues, notre thèse est immédiate). Les droi
tes de ces directions définissent ^ plans parallèles (grâce au théorème 2.8, nous savons déjà que n est pair). Dans chacun de ces plans, il reste deux droites parallèles et ces droites forment donc une direction A. D'autre part, il
est immédiat que la composée A^ ® A^ permute précisément les points de ces droites.
Ainsi ^2 ° ~ A et la thèse est démontrée.
1.20
Nous constatons donc que si le recouvrement est affin, il compte un nombre maximum de dilatations, puisque dans ce cas chaque direction est une dilatation et que le nombre de celles-ci est limité par le nombre de points du recouvrement.
Dès lors, on peut se demander si l'existence d'un nombre suffisant de dilatations dans un recouvrement ne nous assure pas que ce dernier est affin. Pour répondre à cette question, considérons à nouveau l'ensemble V ■ des points image de a par une dilatation
8l
du recouvrement. Nous savons déjà que cet ensemble est un sous- espace du recouvrement. De ce fait toute direction du recouvrement induit une direction sur V et cet ensemble est naturellement
a
muni d'un recouvrement que nous noterons également V
.
8iTHEOREME 1.16 : Quel que soit le recouvrement e sur E, le recouvrement induit par £ sur
P
est affin.a
Considérons une droite bc de P , et les parallèles bd et ce de V . Nous allons montrer que de est parallèle à bc,
ql
et ainsi que V est affin.
a
Soit X = Y(6(â)) = yih) où 3 et y désignent les dilatations appliquant a respectivement sur b et c. Du fait que c = y(a), y applique la droite bc sur la droite ax. On en déduit que ax est parallèle à bc. Remarquons en outre que Yo 3(b ) = c.
Appelons d'autre part, y = 6(Y(6(a)) = 6(x) où 6 est la dilatation appliquant a sur d. Tl en Résulte que 6 applique la droite ax sur la droite dy. Par la transitivité du parallélisme, nous pouvons donc affirmer que bc et dy sont parallèles.
D'autre part, grâce à la commutativité des dilatations, on a y = 6(Y(B(a)))= Y(B(6(a))) = Y(B(d)). Ainsi la dilatation YoB applique b sur c, d sur y, et donc la droite bd sur
1.21
la droite cy. Comme une dilatation applique toute droite sur une droite parallèle, la droite cy est confondue avec ce. Ainsi les droites "bc et de sont parallèles et le théorème est démontré.
COROLLAIRE 1 : Si £ est un recouvrement de E comptant 2^ dilatations, l'ensemble E est réunion disjointe d'espaces affins sur C^ tels que les relations de parallélisme de
ceux-ci sont induites par les directions de e.
COROLLAIRE 2 : Si e est un recouvrement d'un ensemble de cardinal 2n et si ce recouvrement compte au moins n dilatations non-identiques, alors £ est affin.
En effet, le nombre de dilatations est une puissance de 2, divise 2n et vaut au moins n+1 puisque 1 est
£j
une dilatation également. De ce fait, ce nombre vaut 2n et le corollaire précédent montre que E est réunion d'un seul espace affin sur Cg.
Dans le cas de recouvrements affins, nous constatons aussi que chaque direction est une dilatation. Ici aussi, nous pouvons nous demander si le fait que quelques directions sont en même temps des dilatations n'entraîne pas l'existence de sous-espaces affins. En fait, nous avons le :
THEOREME 1.17 : Si un recouvrement e de l'ensemble E de cardinal 2n compte 2®’ directions qui sont en meme temps
E et qui forment groupe, et si 2 <2n8f des dilatations de
1.22
alors il existe des sous-ensembles de E de 2 points
tels que les directions de e induisent sur ceux-ci des struc
tures d'espace affin sur
Cette fois, nous désignons par l'ensemble des points image de x par l'une des 2 directions dont il est £t question dans l'énoncé. Les démonstrations effectuées ci-dessus pour montrer que est un espace affin de 2®’ points
restent valables. Remarquons encore que compte 2®' directions qui sont précisément les directions induites par les 2® dilata
tions de l'énoncé. Ainsi chaque droite de appartient à une direction de D et à une direction de e qui est aussi
X une dilatation de e.
Considérons deux tels ensembles V et V disjoints.
X y
£L*^ 1
Ils comptent 2 points et nous allons montrer que leur réunion avec la structure induite par e est un recouvrement affin. A cet effet, nous prenons une droite ab, et deux
parallèles ac et bd. Si ab est incluse à V (resp. V )
* y
et si l'un des points c et d appartient aussi â VX (resp. V
),
yl'autre y appartient forcément et cd est parallèle à ab car V (resp. V ) est un recouvrement affin.
X y
Supposons maintenant que ab est incluse à (ou à V : la démonstration serait la même) et que c appartient à
y
V . La dilatation permutant a et b applique c sur un point y
d de Py. (puisque cette dilatation intervient dans la construc
tion de P ) et les droites ac et bd sont parallèles. Il y
en est de mime des droites ab et cd puisqu'elles appartien
nent toutes deux à une dilatation ayant un couple dans qui est donc une direction.
Il reste à examiner le cas où a G P , b G P et
X y
c S P^ (à une permutation des notations près). Cette fois, nous considérons la dilatation permutant a et c. Elle applique b sur un point d. Les droites ac et bd sont parallèles car elles appartiennent à cette dilatation qui est aussi une
direction et les droites ab et cd sont parallèles car elles sont image l'une de l'autre par cette dilatation.
La condition énoncée au théorème 17 et imposant aux directions qui sont aussi des dilatations de former groupe n'est pas superflue, ainsi que le mohtre l'exemple suivant.
Considérons l'espace affin à U dimensions sur
et supposons que les points soient notés de telle sorte que : abi^ cd^ ef^gh^ kl^mn^ op
et
ac^ bd^ eg<^ f ik^ j l^mo^ np. (voir figure 1.U).
Les directions de notre recouvrement seront constituées de toutes les directions affines de cet espace, à l'exclusion des deux directions dont les droites sont indiquées ci-dessus.
Pour compléter les directions du recouvrement, nous décidons que {ab,cd,ef,gh,ik,jl,mo,np}
et
{ac,bd ,eg,fh,ij ,kl,mn,op} sont des directions.
1.24
La composée de la direction comprenant la droite ae et de celle comprenant la droite be n'est pas une direction du recouvrement, bien que ces deux directions doient toujours des dilatations.
Le fait que le support de tout recouvrement e est réunion de sous-ensembles de cardinal 2 tels que ce recouvre
ment induit sur chacun d'eux un espace affin nous a amené a rechercher une notion de quotient de e par ces espaces affins.
Nous commencerons par définir à partir de E un recouvrement sur l'ensemble obtenu en identifiant les couples de points d'une dilatation 6 de e. Ce produit sera noté e/6.
Supposons que les points de la droite ab d'une direc
tion D de e ne constituent pas un couple de 6. A ce moment, les points 6(a) et 6(b) forment également une droite de D.
1.25
Il est naturel de décider que les points (a,6(a)) et (b,6(b)) de e/6 forment une droite de la direction induite par D sur e/6.
Pour obtenir une direction de e/6, il faut que
la direction D e^ la dilatation 6 n'aient pas de couple en commun. Ainsi demanderons-nous que 6 soit une direction de e.
Considérons maintenant une droite ab de 6 et son
image cd par une direction de e. La direction comprend les droites ac et bd. Dès lors, ad et bc sont des droites d'une direction de e, et ces directions et
induisent une même droite sur le quotient e/6. Il faut donc
que les directions induites sur e/6 par et coïncident.
Ceci peut se faire en demandant que 0^=0^ o 6. La direction utilisée dans ce raisonnement étant quelconque, il en
résulte que pour toute direction D de e, D°6 est également une direction de e.
Appelons direction centrale de e, toute direction 6 de e, qui est aussi une dilatation de e, et qui est telle que pour chaque direction D de e D°6 est aussi une direction de e. Nous avons démontré le :
THEOREME 1.18 : Si 6 est une direction centrale du recou
vrement e, l'ensemble des droites de 6 est muni de manière naturelle d'une structure de recouvrement induite par e, que nous noterons e/6.
Si le recouvrement e/6 compte à nouveau des directions centrales, nous pouvons évidemment faire à nouveau un quotient, et
1726
l'existence d'un certain nombre de directions centrales
nous assure de pouvoir recommencer cette opération plusieurs fois grâce au :
THEOREME 1.19 : Si D est une direction centrale de e, D induit une direction centrale sur le qüotient e/ô de e par le direction centrale ô.
La démonstration de ce théorème est immédiate.
Sa réciproque est fausse, et ainsi cette opération de quotient est susceptible de créer des directions centrales.
Considérons en effet le recouvrement II-2 décrit au chapitre IV. Ce recouvrement compte une seule direction qui est aussi une dilatation (c'est la direction comprenant 01). C'est une
direction centrale. Par contre, le quotient étant un recouvrement sur U points, il est isomorphe au plan affin sur C^ (ceci
sera démontré plus loin), et toute direction du quotient est centrale.
Les directions centrales présentent une propriété intéressante :
THEOREME 1.20 : L'ensemble des directions centrales d'un recouvrement e, augmenté de l'identé, est un groupe pour la loi de composition.
Il suffit de vérifier que la loi est interne. Mais la composée de deux directions centrales est une dilatation car les dilatations forment groupe. C'est une direction de e, car la composée d'une direction centrale et de n'importe quelle direc
tion de G est une direction de G. Il reste à vérifier que cette direction est centrale. Notons et les directions centrales données et D une direction quelconque de G.
- I.Ü7 -
On a : D O ( D ^ O
°2^ = ' (D O ) O
= D' O Dg
= D"
où D ' e st une direction car est une direction centrale et D" e st une direction car
^2 est une direction centrale et.le théorème est démontré.
Grâce au fait que les directions centrales forment groupe, nous avons le
COROLLAIRE 1 : Si V désigne l'ensemble des points image de a par une direction centrale de e, ^ est un sous-espace de e et le recouvrement e induit sur ce sous-espace une structure d'espace affin.
Les démonstrations données pour les théorèmes 7 et restent en effet valables dans ce cas-ci. On en déduit immédiatement le
COROLLAIRE 2 ; Le nombre de directions centrales de tout recouvrement e est de la forme 2 et l'ensemble de ces directions muni de la loi de composition est un groupe abélien élémentaire du type
En faisant de manière répétée le quotient de e par une direction centrale, on en arrive à identifier à a au moins tous les points de P , et on retrouve ainsi notre idée initiale
a
de faire le quotient de e par un sous-espace affin.
1.28
Au début de cette étude sur les quotients de recouvre
ments, nous avons identifié des couples de points images l'un de l'autre par une dilatation. Ce choix découlait de la constatation que tout recouvrement est réunion de sous-recouvrements affins tels que deux points quelconques d'un même sous-recouvrement sont tou
jours image l'un de l'autre par une certaine dilatation du recouvrement.
Ce choix est bien légitime. Supposons en effet que l'on identifie les points de E deux par deux, et faisons le quotient e/Ide e par cette identification I. Si a et b sont deux points non-identifiés de E la droite ab appartient à une direction D de e et induit une droite d sur e/I. Si c
est identifié à a par I, la droite de D passant par c induit sur e/I une droite ayant un point commun avec d. Ainsi elle
doit être confondue avec d et son deuxième point est le point identifié à b par I. Ceci montre que les couples de points iden
tifiés par I doivent être les couples d'une dilatation.
Au lieu d'identifier les points deux par deux, on peut imaginer de faire le quotient de e par un ensemble de sous-espaces de e formant une partition de E. Si une droite joint deux
points de E appartenant à un même sous-espace, elle n'induit aucune droite sur le quotient et ainsi ses parallèles doivent également être incluses aux sous-espaces envisagés. Il est donc naturel de poser que ces sous-espaces forment une direction de
sous-espaces parallèles. Nous savons déjà que cette direction est entièrement déterminée par un sous-ensemble A de V.
^1.29 -
Cette direction de sous-espaces ne pourra évidemment pas être quelconque. Ainsi, si une droite d'une direction A de e joint un point du sous-espace S à un point du sous-espace S', elle devra joindre tous les points de S aux points de S'.
De même, si une autre direction A' joint également un point de S à un point de S' , elle devra joindre entre eux des points appartenant aux mêmes paires de sous-espaces que les points joints par A.
La première condition peut s'exprp.mer comme suit : A étant une direction quelconque de e. A' étant une direction quelconque de A et a étant un point quelconque de E,
la droite joignant a au point AoA'®A(a) appartient à une direction de A. La deuxième condition peut s'exprimer de
manière assez approchée : A et A' étant deux directions quelconques et distinctes de E, l'existence d'une direction A" dans A U {l } (nous assimilons ici l'identité à une
E
direction) et d'un point a de E tels que la droite passant par a et A'oA"oA(a) appartient à l'une des directions de A U {l } entraîne que cette propriété est vraie pour toute
£
direction de AU {l } et tout point de E.
La formulation de la première condition n'est pas sans rappeler l'une des définitions de sous-groupe normal . Aussi, si A vérifie ces deux conditions, nous l'appellerons sous- ensemble normal de V. Il est clair que A est un sou sg ^ „ normal de V si et seulement si, A et A' étant deux directions quelconques (éventuellement confondues) de V, l'existence d'une
-30
direction A" dans A U {l } et d'un point a de E tels que la droite passant par a et A'oA"oA(a) appartient à l'une des directions de AU {l } entraîne cette propriété pour toute direction de AU {l } et tout point de E.
Notons E/A l'ensemble obtenu en identifiant les points de E appartenant à un même sous-espace de la direction de sous-espaces parallèles associée à A. Nous avons alors le
THEOREME 1.2}. ; Si A est un sous-ensemble normal de V et si E/A est muni d'une structure d'espace linéaire trivial dont chaque droite compte deux points, la relation de parallélisme induite sur E/A par celle de e définit un recouvrement
sur E/A, que nous appellerons quotient de G par A.
1.3. En vue de déterminer si deux recouvrements sont ou non isomorphes, il est utile d'attacher à chacun d'eux un certain nombre
d'invariant B.
Pour définir de tels invariant^ nous associons à chaque paire {A,A'} de directions du recouvrement un graphe
G(A,A') dont les sommets sont les points de E et où deux
sommets sont reliés si et seulement s'ils forment une droite de l'une des deux directions. Tout sommet de ce graphe appartient évidemment à exactement deux arêtes, et il est fort tentant d'appeler cycle toute composante connexe de de graphe.
Chacune des deux directions vue comme permutation
des points de E induit sur le graphe une permutation involutive sans point fixe et appliquant chaque point sur un point de la même composante connexe. Ceci montre que ces composantes connexes
sont toutes de cardinal pair. Comme en outre chaque point appartient à deux arêtes, ce cardinal vaut au moins U. Du
fait que le complémentaire d'une composante connexe est réunion de composantes connexes, on en déduit aussi que le cardinal 2n-2 est exclu . Notons P(n) l'ensemble des nombres pairs non nuis, inférieurs ou égaux à 2n, et distincts de 2 et de 2n-2 .
Nous avons ainsi démontré le
THEOREME 1.22.: Les sommets du graphe G(A,A') associé aux directions A et A' d'un recouvrement e appartiennent chacun à exactement deux arêtes, les cardinaux des composantes connexes de ce graphe appartiennent à l'ensemble P(n) et leur somme vaut 2n.
L'existence de dilatations dans le recouvrement e entraîne certaines contraintes pour les graphes G(A,A'), ainsi qu'en témoigne le
THEOREME 1.23 : Si le recouvrement e compte 2^ dilatations et si A et A' sont deux directions quelconques de e , le
groupe d'automorphismes du graphe G(A,A') contient un sous-groupe abélien élémentaire d'ordre 2®'.
Pour démontrer ceci, remarquons tout d'abord que le gra
phe et le recouvrement étant définis sur le même ensemble, il suffit de démontrer que les dilatations de e sont des automor
phismes de G(A,A'). Appelons {a,b} une arête de ce graphe, ab est une droite de A ou de A'. Dès lors, a(a) a(b) est également une droite de A ou de A'. De ce fait {a(a),a(b)}
1.32
est une arête du graphe et ceci est suffisant pour démontrer le théorème.
Ce théorème montre en fait que le groupe des dilatations de e est inclus à chacun des groupes d'automorphismes des
graphes G(A,A'). Nous pouvons nous demander si l'intersection de ces derniers ne se réduit pas aux dilatations de e. C'est bien le cas, comme le montre le
THEOREME T.2h : Si un ensemble de graphes G(A,A') est tel que pour toute direction A de e, cet ensemble compte au moins
deux graphes G(A,A^) et G(A,A2) construits en utilisant cette direction, alors l'intersection des groupes d'automorphismes
de ces graphes est le groupe des dilatations de e.
Supposons que la permutation a de E appartienne à cette intersection et appelons ab une droite de E. Cette droite appartient à une direction A de e . Il existe au moins deux graphes G(A,A^) et G(A,A2) dont (a,b) est une arête.
Comme a est un automorphisme de ces graphes, {a(a),a(b)} est une arête de chacun d'eux. De ce fait a(a)a(b) est une droite de A ou de , mais aussi de A ou de Il en résulte bien que a(a)a(b) est une droite de A et a est une dilatation de e. D'autre part, la démonstration du théorème précédent montre que le groupe des dilatations est inclus au groupe des automor
phismes de chacun des graphes G(A,A')
Une autre propriété intéressante est la suivante :
THEOREME T.2^ : Une direction A est une dilatation de c si et seulement si chacun des graphes G(A,A') où A' parcourt
1.33
l'ensemble des directions de e autres que A est réunion de composantes connexes de h points.
Si la direction A est une dilatation de e , le théorème 2h montre que c'est un automorphisme de chacun des graphes G(A,A'). Chacune des composantes connexes d'un
tel graphe comporte au moins une arête {a,b} telle que ab est une droite de A'. L'image A(a)A(b) est donc aussi une droite de A' et ceci montre que les points {a,b ,A{a) ,A(b)} forment une composantes connexe.
Réciproquement, prenons une droite ab d'une direction A' . Il faut montrer que A(a)A(b) est encore une droite de A'.
Considérons le graphe G(A,A') et sa composante connexe contenant les points a et b (il est clair que ces points appartiennent à la même composante connexe). Comme {a,A(a)} et {b,A(b)}
sont des arêtes de ce graphe, et que cette composante connexe ne compte que U points, elle se réduit à l'ensemble
{a,b,A(a) ,A(b)}. Nous avons déjà comme arêtes :
{a,bl,{a,A(a)} et (b,A(b)} . Il en résulte que {A(a),A(b)} est également une arête et ainsi A(a) A(b) est une droite de A ou de A'. Il est impossible que cette droite appartienne à A car A ne compte qu'une seule droite par un point donné. Ainsi A(a)A(b) est une droite de A' et le théorème est démontré.
A chaque graphe nous pouvons donc associer une suite ordonnée de nombres appartenant à l'ensemble P(n). Appelons
"liaison de A et A'" cette suite ordonnée. Ceci nous permet de construire un graphe pondéré G(e) dont les sommets sont les directions de e et où deux sommets sont reliés par une
---_ I r3^ ^---
arête dont le poids dépend de la liaison des deux arêtes (il suffit, à cet effet, d'attribuer arbitrairement un poids distinct à chacune des liaisons pouvant apparaître dans le recouvrement ; celles-ci étant en nombre fini, la chose est toujours possible).
Les théorèmes 1.13 et 1.25 ont comme corollaire immédiat :
COROLLAIRE : Un recouvrement e est affin si et seulement si toute paire de sommets distincts du graphe G(e) est une
arête dont le poids correspond à la liaison {U ,U ,... } La construction même de G(e) entraîne le
THEOREME 1.26 : Le graphe G(£) est un invariant de e.
Remarquons cependant que si l'isomorphisme des
recouvrements e et e' entraîne l'isomorphisme des graphes G(e) et G(e'), la réciproque n'est pas vraie, et le chapitre IV fournira des contre-exemples dès que E compte au moins 10
points.
Etudions cet invariant dans quelques cas particuliers.
Si n=1, le recouvrement ne compte qu'une seule
direction et son graphe ne compte donc qu'un seul point. Il n'y a d'ailleurs qu'un seul recouvrement possible à un isomorphisme près.
Si n=2 ou n=3, il est clair que G(A,A') ne compte qu'une seule composante connexe. Il existe donc une seule
liaison possible, et en convenant de la représenter par une arête
1.35
dans G(e), ce graphe est le graphe complet sur 3 ou 5 points, Nous verrons au chapitre IV que dans chacun des cas, il existe un seul recouvrement à un isomorphisme près.
Si n=U, cet invariant est plus intéressant car il existe deux liaisons possibles : ce sont {8} et Nous pourrons convenir de relier par une arête deux directions dont la liaison est et de ne pas relier les autres. Le graphe G(e) est ici non-pondéré.
La situation est la même si n=5, car dans ce cas, les deux seules liaisons possibles sont {10} et {U,6}.
Comme cas particulier de cet invariant, nous trouvons la "T-Table" de A.Ja.Petrenjuk [29] . Cette dernière est cons
truite de la manière suivante : on numérote de 1 à q, les différentes liaisons possibles et pour chaque direction A on construit la suite des nombres {n^,...,^n^} où n^ désigne
le nombre de directions ayant avec A une liaison de type i. On forme ensuite un tableau dont les lignes sont ces suites de nom
bres complétées par le nombre de directions ayant donné lieu à la même suite. Ce tableau est l'invariant du recouvrement que A.Ja.Petrenjuk appelle "T-Table".
Il est clair que le graphe G(e) permet de construire la T-table du recouvrement, mais la réciproque n'est pas vraie.
Reportonsrnous maintenant à l'ensemble des graphes G(A,A'). En nous basant sur ces derniers, nous allons construire
