Sup PCSI2 — Contrˆole 1999/09
Rappel : r´edigez chaque partie ou exercice sur une (ou plusieurs) copie(s) s´epar´ee(s). Pas d’encre rouge.
Toutes les justifications doivent figurer sur votre copie, mais la r´edaction doit rester sobre. Vous pouvez admettre un r´esultat, `a condition de le signaler tr`es clairement. Les copies mal pr´esent´ees encourent une p´enalit´e de deux points sur vingt. Mettez votre nom sur chaque copie. Qu’on se le dise.
Exercice 1 (d’apr` es un fragment d’une ´ epreuve du CCC 1998)
ISoientKun corps etn∈N∗. NotonsEl’ensemble des matrices carr´ees d’ordren, `a coefficients dansK. In
d´esigne la matrice identit´e d’ordren. Pouriet j appartenant `a [[1,n]], nous noterons Ωi,j la matrice d´efinie par (Ωi,j)`,k=δi,`δj,k quels que soient`et kappartenant `a [[1,n]].
Q1 ´Enoncez et d´emontrez la formule donnant une expression simple de Ωi,j×Ω`,k. INotons tr(A) la trace de la matrice A ∈ E: tr(A) = X
16i6n
Ai,i. Nous savons que la trace est une forme lin´eaire non nulle surE.
Q2 SoientAet B deux ´el´ements deE. D´emontrez la relation tr(A×B) = tr(B×A).
Q3 Notons Hl’ensemble des ´el´ements de E dont la trace est nulle. Montrez queH est un s.e.v. de E; quelle est sa dimension ?
Q4 NotonsD={kIn |k∈K}l’ensemble des matrices scalaires. Montrez queDest un s.e.v. deE; quelle est sa dimension ?
Q5 Montrez que HetD sont suppl´ementaires l’un de l’autre.
ID´esormais,K=R. D´efinissonsϕ: (A, B)∈E27→tr(tA×B).
Q6 Prouvez queϕest un produit scalaire.
I(E, ϕ) est donc un espace euclidien.
INotonsT la transposition :T(A) =tA; nous savons queT est un automorphisme involutif deE.
Q7 Montrez que T est un automorphisme orthogonal deE. Interpr´etez g´eom´etriquement.
ID´esormais,n= 2 ; doncEd´esigne leR-e.v. des matrices carr´ees d’ordre 2 `a coefficients r´eels. Nous noterons B= (Ω1,1; Ω1,2; Ω2,1; Ω2,2) la base canonique deE.
Q8 D´eterminez la matriceM deϕdansB.
Q9 Best-elle orthonorm´ee, pour le produit scalaireϕ? Q10 D´eterminez la matrice dansBdeT.
Q11 Quelle est la trace deT ?
Q12 Montrez que les s.e.v. Het Dsont suppl´ementaires orthogonaux.
Q13 D´eterminez la matrice dansBde la projection orthogonaleπH surH.
Q14 Montrez queT commute avec la projection orthogonaleπD surD. INotonsN la norme associ´ee `aϕ:N(A) =p
ϕ(A, A) pourA∈E.
Q15 SoitA∈E. Combien vautN(A) siAest orthogonale ?
Q16 SoientAet B deux ´el´ements deE. D´emontrez l’in´egalit´eN(A×B)6N(A)N(B).
Tournez S.V.P.
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Exercice 2 (Concours commun HEC/ESCP/ESCL voie technologique 1998)
INotonsf : x∈R7→(x2+x+ 1)e−x/3. Nous noterons indiff´eremmente−x/3 ou exp
−x 3
. Q1 Explicitezf0(x).
Q2 Soitp∈N. Justifiez l’existence de trois r´eelsap,bpetcptels quef(p)(x) = (apx2+bpx+cp)e−x/3pour tout x∈R. Vous exprimerezap+1,bp+1 etcp+1en fonction deap,bp et cp.
IConsid´erons les trois matrices carr´ees d’ordre 3 suivantes : I =
1 0 0 0 1 0 0 0 1
N =
0 0 0 2 0 0 0 1 0
A=
−1/3 0 0
2 −1/3 0
0 1 −1/3
Q3 CalculezN2 et N3, puis exprimezA,A2et A3 en fonction deI,N etN2. Q4 Soit p∈N. ExplicitezAp en fonction deI,N etN2.
Q5 Montrez que Aest inversible et pr´ecisez son inverse.
Q6 Soit p∈N. Justifiez l’´egalit´eAp×
1 1 1
=
ap
bp
cp
.
Q7 Donnez alors l’expression de f(p)(x) en fonction de pet dex.
Q8 ´Enoncez la formule deLeibniz, avec ses conditions d’application. On ne demande pas de d´emonstration ! Q9 Avec cette formule, retrouvez le r´esultat de la question 7.
Q10 Montrez qu’il existe un et un seul triplet (α, β, γ) de r´eels tel que l’applicationg: x∈R7→(αx2+βx+γ)e−x/3 v´erifieg00=f; bien entendu, vous expliciterez ce triplet.
Q11 D´eterminez alors les fonctionsh∈ D2(R,R) v´erifianth00=f.
[Contr^ole 1999/09] Compos´e le 19 mars 2005
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