TP 7 – Splines cubiques – Correction

(1)

ULCO 2019 - 2020

M1 Reherche IMAO

TP 7 – Splines cubiques – Correction Exercice 1. a.

Pour i = 1, 2, 3, on a q i (x) = a i,1 + a i,2 (x − x i ). De q i (x i ) = a i,1 = y i , on ontient a 1,1 = 1, a 2,1 = 3 et a 3,1 = 2. De q i (x i+1 ) = a i,1 + a i,2 (x i+1 − x i ) = y i+1 , on obtient

a i,2 = y i+1 − a _i,1 x i+1 − x i

= y i+1 − a i,1 = y i+1 − y i ,

et donc a _1,2 = 3 − 1 = 2, a _2,2 = 2 − 3 = −1 et a _3,2 = 3 − 2 = 1. Ainsi on obtient :

X =





 0 1 2 3





 et





1 2

3 −1

2 1





b. On obient

polynome(M,X,i,k):=block([j,q], q:0,

for j:1 thru k+1 do(

q:q+M[i][j]*(x-X[i][1])**(j-1) ),

return(q) )

c. On obtient

polynomes(M,X):=block([k,n,size], size:matrix_size(M),

n:size[1]+1, k:size[2]-1,

return(makelist(polynome(M,X,i,k),i,1,n-1)) )

d. On obtient les polynˆ ome ` a partir de X et M grˆ ace aux fonctions pr´ ec´ edents. Pour i = 1, ..., n − 1 on a x i = X[i] et y i = q i (x i ). De plus x n = X[n] et y n = q n (x n+1 ).

e. On obtient

affiche spline(M,X):=block([a,b,n,P,Q], Q:polynomes(M,X),

n:length(Q)+1, a:X[1][1], b:X[n][1],

P:makelist([X[i][1],subst(x=X[i][1],Q[i])],i,1,n-1), P:append(P,[[X[n][1],subst(x=X[n][1],Q[n-1])]]),

C:makelist(explicit(Q[i],x,X[i][1],X[i+1][1]),i,1,n-1),

wxdraw2d(point type=circle,points(P),color=red,C,proportional axes = ’xy)

)

(2)

2 f. On obtient

g. Il y’a n − 1 polynˆ omes q i de degr´ e 2 et donc 3(n − 1) = 3n − 3 inconnues. On a n − 1 ´ equations de la forme q i (x i ) = y i , n − 1 ´ equations de la forme q i (x i+1 ) = y i+1 et n − 2 ´ equations de la forme q ⁰ _i (x i + 1) = q _i+1 ⁰ (x i ). Au finale on a 2(n − 1) + (n −2) = 3n −4 ´ equations. Il manque donc une condition.

h. On obtient

i. On obtient

j. On obtient

k. La valeur de la d´ eriv´ ee en x ₀ ` a un impact majeur sur l’allure globale de la courbe : ce n’est pas

raisonnable en pratique.

(3)

3 Exercice 2.

a. Il y’a n − 1 polynˆ omes q i de degr´ e 3 et donc 4(n − 1) = 4n − 4 inconnues. On a n − 1 ´ equations de la forme q _i (x _i ) = y _i , n − 1 ´ equations de la forme q _i (x _i+1 ) = y _i+1 , n − 2 ´ equations de la forme q ⁰ _i (x _i + 1) = q _i+1 ⁰ (x _i ). Au finale on a 2(n − 1) + 2(n − 2) = 4n − 6 ´ equations. Il manque donc deux conditions.

b. On a q ⁰ _i (x) = 3a i (x − x i ) ² + 2b i (x − x i ) + c i et q _i ⁰⁰ (x) = 6a i (x − x i ) + 2b i . L’´ equation (1) devient

d i = y i (5)

L’´ eqution (2) devient

a i (x i+1 − x i ) ³ + b i (x i+1 − x i ) ² + c i (x i+1 − x i ) + d i = y i+1 . (6) L’´ eqution (3) devient

3a _i (x _i+1 − x _i ) ² + 2b _i (x − x _i ) + c _i = c _i+1 (7) L’´ equation (4) devient

3a _i (x _i+1 − x _i ) + b _i = b _i+1 (8)

Exercice 3.

a. On a m _i = q ⁰⁰ _i (x _i ) = 2b _i et donc

b _i = m _i

2 (9)

b. par l’´ equation (8) on a 3a i h i = b i+1 − b i = ^m

ⁱ⁺¹

₂ − ^m ₂

ⁱ

et donc

a _i = m _i+1 − m _i 6h i

. (10)

c. L’´ equation (6) devient a _i h ³ _i + b _i h ² _i + c _i h _i = y _i+1 − d _i = y _i+1 − y _i et donc apr` es calcul

c i = y i+1 − y i

h i

− h i

m i+1 − m i

6 − h i

m i

2 . (11)

Exercice 4.

La seule ´ equation pas encore untilis´ ee est la (7). En remplaceant a _i , b _i , c _i et d _i = y _i par leurs expressions en fonction de h _i , m _i et y _i on obtient

h _i m _i + 2(h _i + h _i+1 )m _i+1 + h _i+1 m _i+2 = 6

y _i+2 − y _i+1 h i+1

− y _i+1 − y _i h i

(12)

Exercice 5. En ajoutant les conditions m 1 = 0 et m n = 0 on est amen´ e ` a r´ esoudre le syst` eme AY = B suivant :





 1

h 1 2(h 1 + h 2 ) h 2

h 2 2(h 2 + h 3 ) h 3

. . . . . . . . .

h n−2 2(h n−2 + h n−1 ) h n−1

1 





| {z }

A

×





 m 1

m 2

m 3

.. . m n−1

m n







| {z }

Y

= 6







0 y

₃

−y

2

h

₂

− ^y

²

_h ^−y

¹

y

₄

−y

₃ 1

h

3

− ^y

³

_h ^−y

²

..

2

.

y

n

−y

n−1

h

n−1

− ^y

ⁿ⁻¹

_h ^−y

ⁿ⁻²

n−2

0 





| {z }

B

b. On r´ esoud construit puis r´ esoud le syst` eme pr´ ec´ edent. Pour l’affichage de la spline cubique, on

utilise les fonctions de l’exercice 1.

(4)

4 spline_cubique(P):=block([i,n,A,B,h,Y,m], n:length(P),

h:makelist(P[i+1][1]-P[i][1],i,1,n-1), A:zeromatrix(n,n),

B:zeromatrix(n,1), for i:2 thru n-1 do (

B[i][1]:6*((P[i+1][2]-P[i][2])/h[i]-(P[i][2]-P[i-1][2])/h[i-1]) ),

A[1,1]:1, A[n,n]:1,

for i:2 thru n-1 do(

A[i,i-1]:h[i-1],

A[i,i]:2*(h[i-1]+h[i]), A[i,i+1]:h[i]

),

Y:A^^(-1).B,

m:makelist(Y[i][1],i,1,n), d:makelist(P[i][2],i,1,n-1), b:makelist(m[i]/2,i,1,n-1),

a:makelist((m[i+1]-m[i])/(6*h[i]),i,1,n-1),

c:makelist((P[i+1][2]-P[i][2])/h[i]-h[i](m[i+1]-m[i])/6-h[i]m[i]/2,i,1,n-1), M:zeromatrix(n-1,4),

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