Chapitre 6 : Suites numériques
/ Se familiariser avec les bonnes dénitions de convergence ou divergence.
/ Mobiliser "la" bonne méthode pour montrer qu'une suite converge ou diverge.
/ Comparer le comportement de suites à l'inni avec des suites connues.
1 Généralités sur les suites
1.1 Modes de dénition d'une suite
On appelle suite à valeurs réelles toute application :
u: N −→ R n 7−→ u(n)
En général, on note le terme généralu(n) =un et la suiteu= (un)n∈N.RN désigne l'ensemble des suites à valeurs réelles.
Dénition 1 (Suite réelle).
Exemple 1. Pour toutn∈N,un=n2+ 1.
Exemple 2.u0= 1et pourn≥0,un+1= 2un.
Exemple 3. On dénitun comme la solution dexn+x2+ 2x−1 = 0, pourn∈N.
Soitu, v∈RN. On dénit :
• le produit par un scalaireλ∈R, parλu= (λun)n∈N
• la somme de uet vparu+v= (un+vn)n∈N
• le produit deuetv paru×v= (un×vn)n∈N
• le quotient deuparv siv ne s'annule pas, par uv =
un
vn
n∈N. Dénition 2 (Opérations sur les suites).
1.2 Suites majorées, minorées, bornées
Soitu∈RN. On dit que :
• la suiteuest majorée s'il existeM ∈Rtel que pour toutn∈N,un≤M.
• la suiteuest minorée s'il existem∈Rtel que pour tout n∈N,un ≥m.
• la suiteuest bornée siuest majorée et minorée.
Dénition 3 (Bornes).
Exemple 4.un = sin(n)−nest . . . par. . ..
Exemple 5.un =n1 est . . . par. . ..
Exemple 6.un = (−1)n est. . . par. . ..
1.3 Monotonie des suites
Soitu∈RN. On dit que :
• la suite u est croissante (resp. strictement croissante) si pour tout n ∈ N, un+1≥un (resp.un+1> un).
• la suiteuest décroissante (resp. strictement décroissante) si pour toutn∈N, un+1≤un (resp.un+1< un).
• la suiteuest monotone (resp. strictement monotone) si elle est croissante ou décroissante (resp. strictement).
Dénition 4 (Monotonie des suites).
Exemple 7.un =n1 est . . . ..
SoitI un intervalle deRetf une fonction dénie surI. On dit queI est stable par f sif(I)⊂I.
Dénition 5 (Intervalle stable parf).
Exemple 8. L'intervalle[0,1]est stable parx7−→ x+12 et parx7−→ x+14 .
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2 Suites convergentes
2.1 Limite nie
Soit u ∈ RN. On dit que u est convergente si un admet une limite nie l quand n tend vers+∞. C'est-à-dire :
∀ε >0, |un−l| ≤ε Dans ce cas, on note lim(un) =l.
Dénition 6 (Suite convergente).
2.2 Opérations sur les limites
3 Suites divergentes
Une suite est dite divergente si elle ne converge pas.
Dénition 7 (Suite divergente).
Exemple 9.un= (−1)n etvn =n+ 1sont divergentes.
3.1 Limite innie
Soitu∈RN. On dit que
• udiverge vers +∞si pour toutM ∈R, un≥M.
• udiverge vers −∞si pour toutm∈R, un ≤m.
Dénition 8 (Divergence vers l'inni).
Exemple 10.un =n+ 1.
3.2 Opérations sur les limites
3.3 Théorème de la limite monotone
4 Suites particulières
4.1 Suites arithmétiques et suites géométriques
On dit qu'une suite u∈RN est arithmétique siu0 ∈R et s'il existe un réel b 6= 0, appelé raison de u, tel que :
pour toutn∈N, un+1=un+b.
Dénition 9 (Suite arithmétique).
Exemple 11.u0= 1etun+1=un+ 1.
On dit qu'une suite u∈ RN est géométrique si u0 ∈R et s'il existe un réel q 6= 0, appelé raison de u, tel que :
pour toutn∈N, un+1=qun. Dénition 10 (Suite géométrique).
Exemple 12.u0= 1etun+1= 2un.
4.2 Suites arithmético-géométriques
On appelle suite arithmético-géométrique toute suiteudénie paru0∈Ret telle qu'il existea∈R\{0,1}et b∈R\{0}tels que :
pour toutn∈N, un+1=aun+b.
Dénition 11 (Suite arithmético-géométrique).
Exemple 13.u0= 0etun+1= 2un−1.
4.3 Suites adjacentes
Soitu, v∈RN. On dit queuet v sont adjacentes si : 1. l'une des suites est croissante ;
2. l'autre est décroissante ; 3. lim(vn−un) = 0.
Dénition 12 (Suites adjacentes).
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Exemple 14.un =n1 et vn=−1n sont adjacentes.
4.4 Suites extraites
Soit u∈ RN. Une suite extraite de u est une suite v telle qu'il existeϕ : N−→ N strictement croissante vériant :∀n∈N, vn=uϕ(n).
Dénition 13 (Suite extraite).
Exemple 15.vn =u2n et wn =u2n+1 sont les suites extraites respectivement des indices paires et des indices impairs.
4.5 Suites récurrentes linéaires d'ordre 2
Soit a, b∈Rxés. Une suite récurrente linéaire d'ordre 2 est une suite udénie paru0, u1∈Ret pour toutn∈N, un+2 =aun+1+bun.
Dénition 14 (Suite récurrente linéaire d'ordre2).
4.6 Suites à valeurs complexes
5 Analyse asymptotique des suites
5.1 Relations de comparaison
Soitu, v∈RNne s'annulant pas à partir d'un certain rang. On dit que
• uest dominée parv et on note un=O(vn)si la suite uv est bornée ;
• uest négligeable devantv et on noteun=o(vn)si la suite uv converge vers0;
• uest équivalente àv et on noteun∼vn si la suite uv converge vers1. Dénition 15.
Exemple 16.un =net vn=n2. On a :un . . .. . .(vn). Exemple 17.un =n3 et vn=n2. On a :un . . .. . .(vn).
Exemple 18.un = 2n−1 etvn = 2n+ 1. On a :un . . .. . .(vn).
5.2 Résultats usuels
5.3 Propriétés des relations de comparaison
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