Remise à Niveau Mathématiques Troisième partie :

Remise à Niveau Mathématiques

Troisième partie : Trigonométrie

Corrigés des exercices

1 TRIGONOMETRIE 3

1.1 DEFINITIONS PREMIERES 3

1.2 QUELQUES FORMULES DE TRIGONOMETRIE 6

1.3 EQUATIONS TRIGONOMETRIQUES 11

2 APPLICATIONS A LA GEOMETRIE DU TRIANGLE 16

2.1 TRIANGLE ET CERCLE 16

2.2 RELATIONS METRIQUES ET TRIGONOMETRIQUES DANS LE TRIANGLE RECTANGLE 17

2.3 COMPLEMENTS DE GEOMETRIE 18

2.4 RELATIONS METRIQUES ET TRIGONOMETRIQUES DANS LE TRIANGLE QUELCONQUE 21

3 FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES 25

3.1 GENERALITES SUR LES FONCTIONS SIN, COS, TAN 25

3.2 FONCTIONS RECIPROQUES 27

1 Trigonométrie

1.1 Définitions premières

1.1.1 Placer sur le cercle trigonométrique les points correspondant aux angles suivants :

; ; ; ;

π π π π − π

2 5 7 29 27

3 8 6 3 4

Le but, dans le cas de grandes valeurs, est d’ajouter ou d’enlever un multiple de 2π pour trouver la mesure principale de l’angle (dans l’intervalle [0 ; 2π[) ou sa mesure dans l’intervalle [–π ; π[ (parfois plus pratique). S’il n’y a pas lieu de faire ce qui a été indiqué, on se contentera d’utiliser nos connaissances sur les lignes trigonométriques d’angles remarquables (0, π/6, π/4, π/3, π/2).

Pour ²π

3 , on peut dire qu’il s’agit de π −π 3 :

π π π= + 5

8 2 8, donc le point M correspondant est à mi-chemin entre B(π/2) et N(π/2 + π/4) :

π= π +π 7

6 6 :

A 29π

3 , nous pouvons enlever 5×2π, soit 10π, soit 30π/3 et nous obtenons la mesure –π/3 :

A − π²⁷

4 , nous pouvons ajouter 3×2π, soit 6π, soit 24π/4 et nous obtenons la mesure –3π/4 :

1.1.2 Donner les mesures principales de : 29π

3 ; − π27 4 A ²⁹π

3 , nous enlevons 4×2π^{, soit 8}π^{, soit 24}π/3 et nous obtenons la mesure principale 5π^/3.

A − π²⁷

4 , nous ajoutons 4×2π^{, soit 8}π^{, soit 32}π/4 et nous obtenons la mesure 5π^/4.

1.1.3

Soit n un entier relatif. Donner la valeur exacte du cosinus et du sinus de : 2nπ ^{; (2}n+1)π ^; π

4+ nπ^, n∈ℤ

Déterminons les mesures principales des angles proposés : 2nπ = 0 + k.2π, où k = n. cos(2nπ) = 1 et sin(2nπ) = 0.

(2n+1)π = π + k.2π, où k = n. cos((2n+1)π) = – 1 et sin((2n+1)π) = 0.

si n = 2k (ie. n est pair) : π

4+ nπ = π

4+ 2kπ alors cos(π

4+ 2kπ) = 2

2 et sin(π

4+ 2kπ) = 2 2 si n = 2k+1 (ie. n est impair) : π

4+ n_π = π

4+ (2k+1)_π =π

4+ π + 2k_{π = π}⁵

4 + 2k_π alors cos(π

4+ (2k+1)π) = – 2

2 et sin(π

4+ (2k+1)π) = – 2 2

1.1.4

Déterminer les cosinus et sinus des arcs ci-dessous en les ramenant à des valeurs plus faibles : π

11

6 ; 19π

3 ; −21π 4 ; 31π

6 (mesure principale ou dans ] –π ; π], puis transformation, si besoin).

cos ^π cos ^π cos ^π cos ^π ; sin ^π sin ^π sin ^π

= π − = − = = = − = − = −

             

             

11 3 11 1

6 2 6 6 6 2 6 6 6 2

cos ^π cos ^π cos ^π ; sin ^π sin ^π

= × π + = = = =

         

         

19 1 19 3

3 3 2 3 3 2 3 3 2

cos ^π cos ^π  cos ^π ; sin ^π sin ^π

− = − × π = = − − = =

         

         

21 3 3 2 21 3 2

4 4 3 2 4 2 4 4 2

cos ^π cos ^π cos ^π ; sin ^π sin ^π

= × π − = − = − = − = −

         

         

31 5 5 3 31 5 1

6 3 2 6 6 2 6 6 2

1.1.5

On donne tan(x) = 3, calculer :

( ) ( )

( ) ( )

sin cos

sin cos

− +

2 5

3

x x

x x .

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ( ) )

( ) ( ( ) ) ( ) ^{( )}

cos tan

sin cos tan

sin cos cos tan tan

x x

x x x

x x x x x

− = − = − =

+ + +

2 5

2 5 2 5 1

3 3 3 6

1.1.6

Exprimer la relation suivante en fonction de tan(x) :

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

sin sin cos cos

sin sin cos cos

x x x x

x x x x

+ −

− +

2 2

2 2

2 3

2 ^.

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) )

( ) ( ( ) ( ) ) ^{( ) ( ) ( ) ( )}

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

cos tan tan

sin sin cos cos tan tan

sin sin cos cos cos tan tan tan tan

tan tan tan tan

tan tan tan tan

x x x

x x x x x x

x x x x x x x x x

x x x x

x x x x

+ −

+ − + −

= =

− + − + − +

− + + − −

= = +

− + − +

2 2

2 2 2

2 2 2 2 2

2

2 2

2 3 1

2 3 2 3 1

2 2 2

2 2 4 5 5 1

et encore 2 5

2 2

1.1.7

Montrer que l'expression sin⁶(x) + cos⁶(x) + 3sin²(x)cos²(x) a une valeur indépendante de x en calculant cette valeur.

On peut penser au développement du produit remarquable suivant : (sin²(x) + cos²(x))³, qui est : sin⁶(x) + 3sin⁴(x)cos²(x) + 3sin²(x)cos⁴(x) + cos⁶(x) = sin⁶(x) + cos⁶(x) + 3sin²(x)cos²(x)(sin²(x) + cos²(x))

= sin⁶(x) + cos⁶(x) + 3sin²(x)cos²(x) (= expression de depart) Or (sin²(x) + cos²(x))³ = 1³ = 1

1.2 Quelques formules de trigonométrie

1.2.1

Vérifier que les points A(0,6 ; –0,8) et B(5/13 ; 12/13) appartiennent au cercle trigonométrique.

Il suffit de montrer que leurs coordonnées peuvent être respectivement le cosinus et le sinus d’un même angle ; autrement dit : x² + y² = 1, cela se vérifiant facilement sur les coordonnées de A et sur celles de B.

1.2.2

Sachant que 0

t 2π

< < et sin 1

t=4 ; calculer cost. Puisque 0

t 2π

< < , cos t est positif et vaut donc sin² 1 15

1 1

16 4

− t = − = ^.

1.2.3

Sachant que π < < πt

2 et cost = −1

5 ; calculer sint. Puisque π < < πt

2 , sin t est positif et vaut donc −cos²t = − 1 =2 6

1 1

25 5 ^. 1.2.4

On donne sin π = 6− 2

12 4 ; calculer cos π 12 Cet angle a un cosinus positif. cos

 

π − − + +

 

= −  = − = =

   

   

2

2 6 2 8 4 3 8 4 3 2 3

1 1

12 4 16 16 4 .

Donc cos π  +

 =

 

2 3

12 2

Remarque : on a pu constater que  ₋  ₋

=

 

 

 

6 2 2 8 4 3

4 16 . Donc il « saute aux yeux » que cos

 ₊  _{+ +}  _π 

= = =

   

   

 

2

6 2 8 4 3 2 3 2

4 16 4 12 . Et ainsi cos π  +

 =

 

6 2

12 4 .

1.2.5

Montrer que quel que soit le réel a, cos⁴(a) – sin⁴(a) = cos²(a) – sin²(a).

cos⁴(a) – sin⁴(a) = (cos²(a) – sin²(a))(cos²(a) + sin²(a)) = cos²(a) – sin²(a).

1.2.6

Donner la valeur exacte de cos π

 

  3

4 et sin π

 

  5

6 . cos π cos π cos π

= π − = − = −

     

     

3 2

4 4 4 2 .

sin π sin π sin π

= π − = =

     

     

5 1

6 6 6 2.

1.2.7

Exprimer en fonction de sin(t) et cos(t) : cos(–π– t) ; sin(–π– t) ; sin(3π+ t) ; cos(4π+ t) ; sin(4π– t) ; cos(5π+ t) ; sin(5π + t) ; cosπ 

 + 

2 t ; sin π t

 − 

 

3

2 .

cos(–π– t) = cos(– (π+ t)) = cos(π+ t) = – cos(t) ; sin(–π – t) = sin(–π – t + 2π) = sin(π – t) = sin(t) sin(3π+ t) = sin(π+ t) = – sin(t) ; cos(4π+ t) = cos(t)

sin(4π– t) = sin(−t) = – sin(t) ; cos(5π+ t) = cos(π+ t) = – cos(t)

sin(5π+ t) = sin(π+ t) = – sin(t) ; cos(π/2 + t) = – sin(t) sin(3π/2– t) = sin(π+ π/2 - t) = – sin(π/2 - t) = – cos(t)

1.2.8

Calculer cosπ π

 + 

4 6 et sinπ π

 + 

4 6.

cosπ π cos π cos π sin π sin π −

+ = − = − =

         

         

2 3 2 1 6 2

4 6 4 6 4 6 2 2 2 2 4

Remarque :

cosπ π cos π + π cos π cosπ π  sin π  −

+ = = = − = =

         

         

6 4 5 6 2

4 6 24 12 2 12 12 4 (vu au point n°4)

sinπ π sin π cos π cos π sin π +

+ = + = + =

         

         

2 3 2 1 6 2

4 6 4 6 4 6 2 2 2 2 4

1.2.9

Calculer tan π 

− 

 12 en utilisant l’égalité π π− = − π

6 4 12.

( ) ( ) ( )

( ) ( )

tan tan

tan tan tan

− = − + 1

α β

α β α β . tan

− −

π π −

 

− = = =

 

+

  +

+ 1 2

2 2 1

3 2 1

1 3

2 3 2

6 4 1 12 22 1 13 1 3

3 2

2 2

.

1.2.10

En remarquant que 2π π− = 5π

3 4 12, calculer cos π

 

  5

12 et sin π

 

  5 12

cos π π cos πcos π sin πsin π −

− = + = − + =

         

         

2 2 2 1 2 3 2 6 2

3 4 3 4 3 4 2 2 2 2 4

sin π π sin πcos π cos πsin π   +

− = − = − − =

           

           

2 2 2 3 2 1 2 6 2

3 4 3 4 3 4 2 2 2 2 4

1.2.11

Démontrer que cos(3a) = 4 cos³(a) – 3 cos(a).

cos(3a) = cos(2a + a) = cos(2a)cos(a) – sin(2a)sin(a)

= (2cos²(a) – 1)cos(a) – 2sin(a)cos(a)sin(a)

= 2cos³(a) – cos(a) – 2cos(a)sin²(a)

= 2cos³(a) – cos(a) – 2cos(a)(1 - cos²(a))

= 4cos³(a) – 3cos(a)

1.2.12

Montrer que cos4a 8= sin⁴a 8− sin²a 1 +

cos(4a) = cos(2a + 2a) = cos(2a)cos(2a) – sin(2a)sin(2a)

= (1 – 2sin²(a))² – (2sin(a)cos(a))²

= 1 – 4sin²(a) + 4sin⁴(a) – 4sin²(a)cos²(a)

= 1 – 4sin²(a) + 4sin⁴(a) – 4sin²(a)(1 – sin²(a))

= 8sin⁴(a) – 8sin²(a) + 1 1.2.13

Soit E=cosa+sina, avec a∈ℝ. Ecrire E sous la forme d'une ligne trigonométrique.

On peut écrire : E ( cosa sin )a cos π cosa sin π sina cosπ a

= + =    +   =  − 

     

 

2 2

2 2 2

2 2 4 4 4

Autre méthode : E ( cosa sin )a sin π cosa cos π sina sinπ a

= + =    +   =  + 

     

 

2 2

2 2 2

2 2 4 4 4

Or : sinπ a cosπ π a cosπ a

+ = − + = −

      

      

2 2 2

4 2 4 4

1.2.14

a. Mettre sous forme de produit y= −1 cos2x+sin3x−sinx Avec les formules de transformations :

1 – cos(2x) = cos(0) – cos(2x) = -2sin + x

 

 

0 2

2 sin − x

 

 

0 2

2 =2sin²(x) ; sin(3x) – sin(x) = sin x−xcos x+x

   

   

3 3

2 2 2 = 2sin(x)cos(2x)

Puis :

y = 2 sin²(x) + 2 sin(x)cos(2x) = 2 sin(x) (sin(x) + cos(2x)) = ^sin

( )

( )

 

 

2 2

2

( )

sin cos x cos x

y x π  π 

=  +   − 

   

4 3

4 2 4 2

b. Simplifier sin sin sin

cos cos cos

x x x

y x x x

+ +

= + +

3 5

3 5 .

sin(x) + sin(5x) = 2 sin(3x) cos(2x) ; N = sin(3x) + 2sin(3x)cos(2x) = sin(3x)(1 + 2cos(2x)) ; cos(x) + cos(5x) = 2 cos(3x) cos(2x) ; D = cos(3x) + 2cos(3x)cos(2x) = cos(3x)(1 + 2cos(2x)) Puis :

( ) ( ( ) )

( ) ( ( ) ) ^{( )}

sin cos

tan

cos cos

x x

y N x

D x x

= = + =

+

3 1 2 2

3 1 2 2 3

1.2.15

Simplifier en utilisant les formules de trigonométrie : ^sin _; ^cos

( )

cos tan

a a

A B

a a

= =

− −

2

2

2

1 1

(

)(

)

sin cos

cos cos cos cos

a a

a a

A a

a a a

− +

= = − = = +

− − −

2 1 2 1 1

1 1 1 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

cos sin

cos cos sin cos

sin sin cos

tan

cos cos

a a

a a a a

B a

a a

a

a a

 

−

 

−  

= = = =

− − −

2 2

2 2 2

2

2 2

2

2 2

2 1

1 1 1

1.2.16

En utilisant la valeur de cos(π/3), déterminer cos(π/6).

cos(2a) = 2cos²(a) – 1, donc cos²(a) = ^cos

( )

2 ^. cos

cos

π

 + π  

   

= =

  

2

1 3 3

6 2 4, ce qui donne cos π

 =

  3

6 2 .

1.2.17

En utilisant la valeur de tan(π/3), déterminer sin(2π/3) et cos(2π/3).

Si on pose tan  t

 =

2

α _{, on a} ^sin

( )

α = t + ² 2

1 et ^cos

( )

α = ⁻t

+

2 2

1 1 ^. tan(π/3) = √3 donne : sin π

= =

 

  + ²

2 2 3 3

3 1 3 2

et cos π −

= = −

 

  +

2 2

2 1 3 1

3 1 3 2

.

1.2.18

a. Transformer cos π cos π

 +  

 3  4 puis sin π sin π

 +  

 3  4 .

cos cos cos cos cos cos

π π π π

   

+ −

   

π π π π

       

+ =    =

       

           

   

3 4 3 4 7

2 2

3 4 2 2 24 24

sin π sin π sin πcos π 

+ =

       

       

2 7

3 4 24 24

b. En déduire une écriture exacte de cos π 

 

24.

cos cos sin sin cos sin cos

cos sin cos sin cos cos sin

  π  π    π  π   π   π  π

+ + + = +

             

     

             

     

π π π π π π π

             

⇔  +  +  +  +    +  

             

2 2

2 2 2

2 2 2 2

7 7

3 4 3 4 4 24 24 24

2 2

3 3 4 4 3 4 3 sin cos

cos

cos

cos

π π

   

 =  

   

π

 

⇔ + + + =  

 

+ +  π 

⇔ =  

 

π + +

 

⇔  =

 

2

2

2

4 4 24

1 2 3 2

1 1 2 2 4

2 2 2 2 24

4 2 6

8 24

4 2 6

24 8

1.3 Equations trigonométriques

1.3.1

Résoudre cos π + = −

 

 

2 2

4 2

x

cos x cos x cos cos

x k x k

x k x k

x k x k

π π π π

       

+ = − ⇔ + =

       

       

π π π π

⇔ + = + π + = + π

⇔ = + ππ = π + π

π π

⇔ = + π = + π

2 3 5

2 2 ou

4 2 4 4 4

3 5

2 2 ou 2 2

4 4 4 4

2 2 ou 2 2

2

4 ou 2

1.3.2

Résoudre 2sin 2 3

x π3

 

− + =

 

 

sin x sin x sin sin

x k x k

x k x k

x k x k

π π π π

       

− + = ⇔ − + =

       

       

π π π π

⇔ − + = + π − + = + π

⇔ − = π − = + ππ

⇔ = π = − + ππ

3 2

2 2 ou

3 2 3 3 3

2 2 ou 2 2 2

3 3 3 3

2 2 ou 2 2

3

ou 6

1.3.3

Résoudre : sin(2x)=sinx Première méthode :

sin(2x)=sinx 2x= + πx 2k ou 2x= π − + πx 2k

x= π2k ou x= +π 2^kπ

3 3 , représenté par x=π

3 ; x= π ;

x=5π≡ −π

3 3

Deuxième méthode :

sin(2x)=sinx sin(2x)=2sin cosx x=sinx

1^er cas : si sinx=0 x= πk alors l'équation est toujours vérifiée 2^ème cas : si sinx≠0, alors l'équation devient : cosx=1

2 x= + ππ 2k

3 ou x= − + ππ 2k 3

Les résultats des 2 méthodes sont identiques, comme représenté sur le cercle trigonométrique :

1.3.4

Résoudre sin 5 sin

6 6

x π x π

   

− = +

   

   

sin x sin x x x k x x k

x k x k

x k x k

π π π π π π

     

− = + ⇔ − = + + π − = π − + + π

     

     

⇔ = + ππ = π + π

π π π π

⇔ = + = +

5 5 2 ou 5 2

6 6 6 6 6 6

4 2 ou 6 2

3

12 2 ou 6 3

1.3.5

Résoudre cos 3 sin 0

x 4π x

 

− + =

 

 

( )

cos 3 sin cos 3 cos ou cos 3 cos

4 4 2 4 2

3 2 ou 3 2

4 2 4 2

2 3 2 ou 4 2

4 4

3 ou

8 16 2

x x x x x x

x x k x x k

x k x k

x k x k

π π π π π

         

− = − ⇔ − = + − = − −

         

         

π π π π

⇔ − = + + π − = − − + π

π π

⇔ = + π = − + π

π π π

⇔ = + π = − +

1.3.6

Résoudre : 7cos²x+6 3sin cosx x+sin²x+ =2 0

On est dans la situation du paragraphe 1.4.3 du cours. Posons u = tan(x) et profitons-en pour factoriser le premier membre de l’équation par cos²(x) :

cos²(x)(7 + 6√3 u + u² + 2/cos²(x)) = 0 ⇔ cos²(x)(7 + 6√3 u + u² + 2(1 + u²)) = 0 ⇔ cos²(x)(3u² + 6√3 u + 9) = 0

⇔ 3cos²(x)(u² + 2√3 u + 3) = 0

Rappelons que l’existence de u repose sur un cosinus non nul.

Si le cosinus était nul, l’équation donnerait 0 + 0 + 1 + 2 = 0, ce qui est faux. On peut donc rejeter ce cas, et vérifier l’équation revient à vérifier : u² + 2√3 u + 3 = 0.

Discriminant : 12 – 12 = 0. Une racine double u = –√3, ce qui est la tangente de 2π/3 et de –π/3.

Remarque : si l'on ne pose pas, au départ : u = tan(x), on peut transformer l'équation ainsi : cos² + sin cos + −cos² + =

7 x 6 3 x x 1 x 2 0 puis, en factorisant par cos²x :

cos ( sin )

cos cos

+ − + =

2

2

7 6 3 x 1 3 0

x x x

En utilisant la propriété : cos sin cos cos tan

= ² + ² = + ²

2 2

1 x x 1

x x x, et en posant maintenant :

u = tan(x), on obtient l'équation : cos²x(7 6 3+ u− +1 3 1( +u²))=0 cos²x u(3 ²+6 3u+ =9) 0 et l'on reprend la suite du raisonnement précédent.

1.3.7

cos2x+11sinx+ =5 0

On ne fait ici que reprendre l’exemple du cours :

On posera u = sin(x) ; u deviendra notre nouvelle inconnue, avec u ≤1.

L’application de formules donne : 1 – 2sin²(x) + 11sin(x) + 5 = 0, soit –2u² + 11u + 6 = 0.

Cette équation du second degré a pour discriminant : ∆ = 11² – 4.(–2).6 = 169 = 13², positif.

L’équation admet deux solutions réelles : u1 = (–11–13)/(–4) = 6 et u2 = (–11+13)/(–4) = –1/2.

Seule la seconde peut nous convenir, puisque u est un sinus (u ≤1).

Attention à ne pas oublier de solutions : on visualise les angles de sinus –1/2 sur le cercle trigonométrique et on cite tous les réels égaux à ces valeurs modulo 2π.

Les solutions sont : x = -π/6 + 2kπ ou x = 7π/6 + 2kπ, k entier relatif quelconque.

2 Applications à la géométrie du triangle

2.1 Triangle et cercle

2.1.1

Démontrer la propriété de l’angle au centre.

Dans la figure ci-contre, les triangles OAB, OAM et OBM sont isocèles en O. D’où les égalités d’angles :

OAB = OBA, OAM = OMA et OBM = OMB.

De plus, la somme des angles d’un triangle vaut π. On a, en angles géométriques :

AOB = π – OAB – OBA

= π – (MAB - MAO) – (MBA – MBO)

= π – (MAB + MBA) + (MAO + MBO)

= π – (π – AMB) + (AMO + BMO)

= π – (π – AMB) + AMB

= 2 AMB CQFD

Avec un point M’ situé sous le segment [AB] : AOB = π – OAB – OBA

= π – (M’AO – M’AB) – (M’BO – M’BA)

= π – (M’AO + M’BO) + (M’AB + M’BA)

= π – (AM’O + BM’O) + (π - AM’B)

= π – AM’B + (π - AM’B)

et donc AM’B = π – AOB/2, angle supplémentaire de AMB (M tel que représenté sur la figure).

2.2 Relations métriques et trigonométriques dans le triangle rectangle

2.2.1 Queue d’aronde symétrique

Une pièce a été fabriquée, dans laquelle on veut vérifier l’ouverture d’angle de 55°. On place pour cela deux piges (billes) et on mesure la longueur « x ». Quelle longueur doit-on trouver si l’angle mesure exactement 55° ?

EAO = 27,5° donc EA = EO / tan(27,5°) = 7,5 / tan(27,5°).

Donc x = 2(7,5 + 7,5/tan(27,5°) + 40) = 95 + 15/tan(27,5°) ≈ 123,815 mm.

2.2.2

Deux troncs d’arbres de même rayon, R, sont posés sur une plate-forme. On veut placer un troisième tronc, de plus grand rayon possible, r, entre les deux (voir figure).

Montrer que r est forcément égal au quart de R.

On peut tracer un triangle rectangle reliant deux centres (voir figure) dont les dimensions sont horizontalement : R, verticalement : R-r, hypoténuse : R+r.

(R-r)² + R² = (R+r)² ⇔ R² - 2Rr + r² + R² = R² + 2Rr + r² ⇔ 4Rr = R² ⇔ r = R/4.

2.2.3

Lorsqu’on déverse sur le sol un sable sec, le tas prend la forme d’un cône de base circulaire, de demi-angle au sommet 41°. Si on déverse 5 m³ de ce sable, quels seront le diamètre et la hauteur du tas formé ?

L’indication sur l’angle donne : R = H.tan(41°) ; Le volume permet d’écrire : 1/3 . πR²H = 5.

D’où πH²tan²(41°)H = 15, c’est à dire H =

( )

tan ≈

π °

3 2

15 1 8487

41 ^m

et R = H.tan(41°) = ^tan

( )

3 15 π41

1 6071 m, d’où un diamètre de 3,2142 m.

piges : diamètre 15 mm

80 mm α ^{= 55°}

x

E A B F

O

2.2.4

Une plaque P doit être découpée suivant un cercle C pour permettre à une bille de diamètre 34 mm, une fois posée, de dépasser d’exactement 8 mm.

a. Quel doit être le diamètre du cercle C _?

b. On choisit un point A sur la surface de la bille et on conçoit le plan vertical (orthogonal à P) contenant ce point et le centre du cercle C. Dans ce plan, sous quel angle le point A « voit-il » le diamètre [BC] du cercle C _?

a. Soit O le centre de la sphère, H celui du cercle et M un point du cercle. Le triangle OMH est rectangle en H. OH = 17 – 8 = 9, OM = 17.

HM² = 17² - 9² = 208 cm², donc HM ≈ 14,4222 mm. Diamètre du cercle : 28,84 mm.

b. On a représenté en vert le cercle de section de la sphère par ce plan vertical. Dans ce cercle, la propriété de l’angle au centre est valable. Donc l’angle BAC est la moitié de l’angle BOC.

Or BOC est lui-même le double de HOC.

BAC = HOC (= HOM) = ,

arctan  arctan  ,

= ≈ °

   

   

14 4222

58 03 9

HC

HO .

2.3 Compléments de géométrie

2.3.1 Le carré ci-contre a une aire de 900 cm². Quelle est la longueur du trait rouge (épais) ?

Soit c le côté du carré, R le rayon du cercle. Soit x la longueur du trait rouge.

D'après Pythagore, la diagonale du carré est égale à L= 2c² =c 2. Le rayon = 2 R c

( )

= − = 2 − = −

2 2 2 2 2 1

L c c c

x R

Application numérique : c= 900 =30, d'où =30( − =) ( − ) ,

2 1 15 2 1 6 21

2 ≃

x cm

2.3.2 Surface du Pentagone

Le Pentagone est le plus grand bâtiment administratif au monde, si l’on considère la surface occupée. La base du bâtiment a la forme d’un pentagone régulier, dont chaque côté mesure 276 m. Déterminer l’aire de la base du bâtiment.

b = 276 ; h : hauteur d'un des 5 triangles.

tan tan

b b

h h

°

 

= ° = =

 

 

72 36 2

2 2

D'où ,

h= tan

°

276 189 94

2 36 ≃ ,

Donc aire totale : h b ,

A= × × = ×189 94 276×

5 5 131059

2 2 ≃ m²

2.3.3 Calcul de volumes :

A. Calculer le volume de ce solide troué : Diamètre du cylindre : D = 32 mm

Volume du cylindre complet (non troué) : V_cyl =πR H² , avec D

R= =32=

2 2 16 et H = 25 (toutes les dimensions exprimées en mm)

D'où V_cyl = ×π 16²×25 20106 19 mm= , ³

Volume du prisme droit : V_pr = ×A H . Déterminons l'aire A du triangle équilatéral de côté c = 9.

Ce triangle a une hauteur h=csin ° =c 3

60 2 , donc son aire s'exprime comme A=h c× =1 3c² =9² 3 =81 3

2 2 2 4 4

et le volume du prisme est V_pr = × =A H 81 3× , 25 876 85

4 ≃ ^mm3

D'où le volume du solide troué V = 20 106,19 – 876,85 = 19 229,34 mm³.

b h

72°

B. Calculer le volume de ce bloc de béton troué.

La face avant est un carré de côté 12 m.

Volume du parallélépipède (bloc de béton complet) : V_par =C²×L, avec C = 12 m (côté du carré) et L = 23 m (longueur du bloc), donc V_par =12²×23 3312 m= ³ Volume du trou cylindrique : V_cyl =πR²×L, avec ,

D ,

R= =6 5= 2 2 3 25 D'où V_cyl = ×π 3 25, ²×23 763 21≃ , m³

Donc le volume du bloc troué est : V = 3 312 – 763,21 = 2 548,79 m³. Remarque : on pouvait aussi écrire directement :

V = V_par−V_cyl =C L² −πR²× =L (C²−πR L²) =(12²− ×π 3 25. ²)×23≃2 548,79 m³. C. Déterminer le volume de cette tente :

On détermine aisément la hauteur H de la tente, grâce à Pythagore :

, , . ,

H  

= −  =

 

2

2 3 2

2 2 2 28 1 51

2 ≃

Le volume est donc égal à , ,

, ,

V =1 51 3 2× ×

2 6 6 28

2 ≃ m³.

D. Calculer le volume de ce tunnel, avec : a = 4 m ; b = 5 m ; c = 12 km

La face avant est constituée d'un rectangle et d'un demi-disque, donc son aire s'exprime comme : a ,

A= × +a b 1π ² = × +1π 4² = + π

4 5 20 2 26 28

2 4 2 4 ≃ ^m2.

Le volume du tunnel est donc V = × =A L 26 28 12000, × ≃^{315 360 m3} (= 315,36 x 10⁶ litres)

E. Calculer le volume de ce solide, avec : a = 6 dm ; b = 5 dm ; c = 5 dm

La face avant est constituée d'un carré dont on a enlevé un quart de disque :

Aire du carré : a². Aire du quart de disque : ¹πc² 4

Donc l'aire de la face avant est A=a²−1πc² = −² 1π× ² ,

6 5 16 365

4 4 ≃ dm².

Le volume du solide est donc : V = ×A b≃16 36 5 81 825, × = , ^dm3.

2.4 Relations métriques et trigonométriques dans le triangle quelconque

2.4.1

Un bassin de rétention d’eau est circulaire, de rayon 10 mètres. On doit y poser trois poutrelles métalliques de même longueur, en triangle équilatéral, les extrémités des poutrelles se joignant sur le bord du bassin.

Quelle doit être la longueur des poutrelles ? (répondre sans utiliser de triangle rectangle).

Soit a la longueur d’une poutrelle. La relation des sinus donne :

( )

sin

a = R=

° 2 20

60 ^,

donc a ≈ 17,32 m.

2.4.2

On veut calculer la largeur CH d'un fleuve en restant sur la rive.

On considère les 3 points A, B, C.

On donne AB = 120m, α = 55°, β =45°. (croquis ci-contre)

On peut utiliser les triangles rectangles AHC et BHC, avec trois inconnues : HC, HA et HB ou encore HC, CA et CB, ce qui n’est pas commode. La relation des sinus permet d’aller plus vite :

α

B A

C

H β

( ) ( )

sin sin

AC

= ACB

°

120

45 , ce dernier angle étant connu : 180° - 55° - 45° = 80°.

Donc

( )

sin

AC = ≈

°

120 86 1618

2 80 m.

Enfin, dans le triangle rectangle AHC : ^HC=AC.sin

( )

2.4.3

On souhaite établir la relation d’Al-Kashi sur un triangle quelconque ABC en s’aidant de la figure ci-contre.

a. Exprimer CC’ en fonction de AC et de Â.

b. Exprimer BC’ en fonction de AB, de AC et de Â.

c. En déduire, à l’aide de la relation de Pythagore sur le

triangle BCC’, une expression de BC² en fonction d’éléments du triangle ABC uniquement.

a. Dans le triangle rectangle ACC’ : CC’ = AC.sin(π-Â) = AC.sin(Â).

b. Dans le triangle rectangle ACC’ : AC’ = AC.cos(π-Â) = -AC.cos(Â). Donc BC’ = AB -AC.cos(Â).

c. BC² = CC’² + BC’² = AC².sin²(Â) + (AB -AC.cos(Â))²

= AC².sin²(Â) + AC².cos²(Â) + AB² - 2AB.AC. cos(Â)

= AC² + AB² - 2AB.AC. cos(Â) CQFD

2.4.4

Un géomètre mesure la distance de sa station à deux points A et B situés à la même altitude que lui et obtient 82 m et 125 m. De plus, l’angle horizontal entre ces deux visées vaut 37°.

Quelle est la distance entre les points A et B ?

Al-Kashi : AB² = 82² + 125² - 2.82.125.cos(37°) ≈ 5976,972, donc AB ≈ 77,311 m.

A B

C

C’

Â

2.4.5

On souhaite établir la relation des sinus dans un triangle quelconque ABC en s’aidant de la figure ci-contre, qui montre le cercle circonscrit au triangle ABC (l’unique cercle contenant A, B et C) et D, un quatrième point du cercle, diamétralement opposé à C.

a. Grâce à la propriété de l’angle inscrit et à une relation trigonométrique dans le triangle BCD, établir que a/sin(α^{) = 2R.}

b. Montrer que cette égalité peut se généraliser aux rapports côté/sinus(angle opposé) pour B et C.

a. Dans le triangle rectangle BCD : a/2R = sin(BDC). Or BDC = BAC = α. Donc a/sin(α^{) = 2R.}

b. Ce qui a été fait avec la corde [BC] et l’angle inscrit α (construction du triangle rectangle BCD et établissement de la formule ci-dessus) peut aussi bien être fait avec les cordes [AC] et [AB].

On obtient alors la relation des sinus dans le triangle ABC.

2.4.6

Soit un triangle de côtés 10m, 20m, 24m. Calculer son aire par la formule de Héron, puis par la formule « classique ».

Avec la formule de Héron :

p = (10+20+24)/2 = 27. Donc Aire = 27 17 7 3× × × = 9639≈98 18 m². , Avec la formule classique : il faut connaître un angle formé par deux côtés.

Choisissons par exemple les côtés de longueurs 10 et 20 m et appelons α l’angle qu’ils forment. La relation d’Al-Kashi nous dit :

24² = 10² + 20² - 2.10.20.cos(α⁾ ⇔ 576 = 500 – 400.cos(α⁾ ⇔ cos(α) = -76/400 ⇔α≈ 100,95°.

Alors : Aire = ½ .10.20.sin(α⁾ ≈ 98,18 m².

2.4.7

Pour mesurer la hauteur d’une montagne, le géomètre se place en deux points A et B situés à la même altitude (ici, 464 m) et mesure à chaque fois l’angle entre l’horizontale et la visée du sommet (ici, 23° et 38°). Quelle est l’altitude du sommet de cette montagne ?

BAS = 180° - 38° = 142° et ASB = 180° - 142° - 23° = 15°.

Donc, avec le triangle BAS : BS/sin(142°) = AB/sin(15°), d’où BS ≈ 1558,07 m.

Puis, avec le triangle rectangle HBS : HS = BS.sin(23°) ≈ 608,79 m.

L’altitude de S est 464 + 608,79 = 1072,79 m.

2.4.8

Vous devez mesurer la distance AB, mais un précipice infranchissable ne vous autorise pas à le faire directement. Vous décidez alors de prendre un troisième point de station, C, situé à exactement 50 m de A et vous mesurez les angles entre les visées AB et AC puis entre les visées CB et CA.

Quelle est la distance AB ?

Là encore, la relation des sinus donne la solution :

ABC = 180° - 68° - 85° = 27°. AB/sin(85°) = 50/sin(27°). Donc AB ≈ 109,72 m

2.4.9

S est l’un des sommets d’un cube. On a découpé un coin de cube tel que SA = 3 cm, SB = 2 cm et SC = 1 cm. ([SA], [SB] et [SC] sont des parties des trois arêtes du cube issues de S).

a. Quelle est l’aire du triangle ABC ?

b. Quelle est la distance entre S et le plan (ABC) ? a. SAB, SAC et SBC sont trois triangles rectangles en S.

De la relation de Pythagore dans chacun, on déduit : AB ≈ 3,60555, BC ≈ 2,23607 et CA ≈ 3,16228.

On appliquera la formule de Héron, avec p ≈ 4,50195 et on trouvera Aire(ABC) = 3,5 cm².

655 m

A B

S

H

38° 23°

B

C

A 68°

85°

C

B A

S

b. Le volume de SABC peut se calculer de deux façons au moins :

* en prenant SAB pour base, SC est sa hauteur, donc V = 1/3 .(1/2.SA.SB).SC = 1 cm³.

* en prenant ABC pour base, la hauteur est la distance cherchée, notons-la d.

V = 1/3 .3,5.d.

Donc 1 = 1/3 .3,5.d et d = 3/3,5 ≈ 0,8571 cm.

3 Fonctions trigonométriques

3.1 Généralités sur les fonctions sin , cos , tan

3.1.1

L'intensité I (en Ampère) d'un courant domestique s'exprime en fonction du temps t (en secondes) par : ^{I t}

( )

(

)

a. Entre quelles valeurs varie I ?

b. Montrer que la fonction I est périodique et déterminez sa période a. Un cosinus varie entre –1 et 1, donc I varie entre –5 et 5.

b. ^cos

(

)

(

(

) )

(

)

L’intensité est périodique, de période 0,02 seconde.

3.1.2

La température T (en °C) à Vancouver varie approximativement selon la formule :

( )

, sin

T π t 

=14 8  −3 +10

6 , où t est exprimé en mois. Le 1er janvier correspond à t = 0.

a. Quelle est, environ, la température le 1er février ? Le 1er novembre ?

b. Quelles sont les températures extrêmes ? A quelles dates correspondent-elles ? c. Avec quelle périodicité retrouve-t-on des températures analogues ?

a. Le 1^er février : ^{T =14 8, sin}_^π₆

(

)

Le 1^er novembre : ^{T =14 8, sin}_^π₆

(

)

b. Les températures extrêmes correspondent aux valeurs extrêmes du sinus, soit lorsque :

* ^π

(

)

6 2 , le premier juillet, T = 10 + 14,8 = 24,8 °C.

* ^π

(

)

6 2 , le premier janvier, T = 10 - 14,8 = -4,8 °C.

c. Appelons ici P la période. Alors : ^π₆

(

)

(

)

La période est 12 mois.

3.1.3

Le Japon connaît des raz de marée provoqués par des tremblements de terre sous-marins (tsunamis). On modélise alors parfois la hauteur h de l'eau en un point donné en fonction du temps t par une équation de la forme h(t) = a cos(b t), avec h(t) en mètres, t en secondes.

Calculer les nombres a et b dans le cas d'un tsunami où les vagues mesurent 10 m de haut et présentent une périodicité de 20 minutes.

Mettons que 10 m représente la différence de hauteur entre creux et bosses. La hauteur de l’eau varie donc entre –5 m et +5 m. a = 5.

Ensuite, b(t + 1200 secondes) = bt + 2π, donc b = π/600.

3.1.4

La courbe ci-contre met en évidence le caractère semi-diurne des marées en un point donné de la côte atlantique, au cours d'une période donnée de l'année. h est la hauteur de l'eau au-dessus du point choisi et t l'heure de la journée. On suppose que h s'exprime en fonction de t par :

h(t) = A sin (B t + C) + D.

Calculer les réels A, B, C et D à l'aide du graphique.

Le sinus est minimal à 2h, nul à 5h, maximal à 8h. h(2) = -4, h(5) = 3, h(8) = 10.

* Amplitude des oscillations : 14m, donc A = 7.

* h(5) = 3 avec un sinus nul, donc D = 3.

* Période : 12h, donc B(t+12)+C = Bt+C+2π, donc B = π/6.

* sinus = 1 à 8h, donc B×8+C = π/2 + 2kπ, donc C = –4π/3+π/2 + 2kπ = –5π/6 + 2kπ. h(t) = 7 sin (_π/6.(t -5)) + 3

3.1.5

Donner les domaines de définition des expressions suivantes :

h(t), mètres

t, heures

a. y= tan²x−1 ; b. y= sin³x

a. Il faut tan²(x) ≥ 1 : tan(x) ≥ 1 ou tan(x) ≤ –1, donc x ∈ [π/4 + kπ ; 3π/4 + kπ], en excluant π/2+kπ, angles pour lesquels la tangente n’est pas définie, autrement dit, il faut :

x ∈ [π/4 + kπ ; π/2 + kπ[ ∪ ]π/2 + kπ ; 3π/4 + kπ]

b. Il faut sin³(x) ≥ 0, donc sin(x) ≥ 0, donc x ∈ [2kπ ; π + 2kπ].

3.2 Fonctions réciproques

3.2.1

Montrer que : a. tan(arcsin ) x x

= x

− ²

1 ^{; b.} sin(arccos )x = 1−x² a. Soit y = arcsin(x), angle dont le cosinus est positif.

( ) ( )

( ) ( )

( )

sin sin

tan cos sin ²

y y x

y = y = y = x

− − ²

1 1 .

b. Soit y = arccos(x), angle dont le sinus est positif. ^sin

( )

( )

3.2.2

Donner le domaine de définition des expressions suivantes : a. y = arccos(x²) ; b. ^1−arctan

( )

a. x² doit être dans [–1 ; 1], donc x aussi.

b. arctan(x) ≤ 1, donc cet arc peut parcourir [–π/2 ; 1] et sa tangente, c’est à dire x, peut parcourir ]–∞ ; tan(1)], soit environ ]–∞ ; 1,5574].