Plan du cours :
I. Ensembles de nombres.
II. Quelques notations à connaitre.
III. Décomposition d’un entier naturel en base 10.
1) Cas d’un nombre à 3 chiffres.
2) Cas général.
IV. Décomposition d’un entier naturel en base b.
Chapitre 1 : INTRODUCTION A L’ARITHMETIQUE
Enigme 1 :
Coraline qui adore jouer avec les nombres, choisit un nombre à 2 chiffres.
Elle calcule successivement la somme de ces deux chiffres, leur produit, et leur différence (le plus grand moins le plus petit), puis elle additionne les 3 résultats et trouve 35.
Quel pouvait être le nombre choisi par Coraline ?
Qu’est-ce que l’arithmétique ?
L'étymologie du mot arithmétique est basée sur le grec ancien ἀριθμός (arithmos), qui signifie nombre.
L'arithmétique est une branche des mathématiques qui étudie la science des nombres.
L'arithmétique s'est au départ limitée à l'étude des propriétés des entiers naturels, des entiers relatifs et des nombres rationnels (sous forme de fractions), et aux propriétés des opérations sur ces nombres. Les opérations arithmétiques traditionnelles sont l'addition, la division, la multiplication, et la soustraction.
Cette discipline fut ensuite élargie par l'inclusion de l'étude d'autres nombres comme les réels (sous forme de développement décimal illimité), ou même de concepts plus avancés, comme l'exponentiation ou la racine carrée.
Une arithmétique est une manière de représenter les nombres (sous la forme d'une liste de chiffres, par exemple) ; et de définir les opérations de base : addition, multiplication, etc.
I. Ensembles de nombres
Numération de position : c’est le principe selon lequel la signification d'un chiffre dépend de sa position dans le nombre.
Par exemple, dans 3033, le 3 le plus à droite signifie 3, le second le plus à droite 30, et le plus à gauche 3000.
Les nombres sont écrits à partir de 10 chiffres ou encore en base 10 Exemple : 3875 3 103 8 102 7 101 5
a) Les entiers naturels
L’ensemble des entiers naturels noté est 0;1; 2;....; ;n n 1;...
L'ensemble des entiers naturels non nuls est noté ℕ*
Opérations dans : Dans on peut effectuer les sommes et les produits mais ni soustraction, ni division.
b) Les entiers relatifs de l’allemand « der Zalh » qui signifie « le nombre » L’ensemble des entiers relatifs, ou entiers, noté ℤ est celui des entiers naturels et de leurs opposés. ...; 2; 1;0;1; 2;...
Opérations dans ℤ : Dans toutes les additions et toutes les soustractions sont possibles, on parle de somme algébrique ou somme. (soustraire un nombre c’est ajouter son opposé) Toutes les divisions ne sont pas encore possibles dans ℤ ex 2/3 ∉ℤ
Tout entier naturel est un entier relatif on dit que ℕ, est inclus dans ℤ et on note ℕ ⊂ ℤ ce qui signifie que si a ∈ ℕ, alors a ∈ ℤ mais la réciproque est fausse.
Ne pas confondre
« nombre » et « chiffre ».
Les nombres servent à dénombrer, calculer….
Les chiffres servent à écrire les nombres.
c) Nombres décimaux 𝔻
L’ensemble des nombres décimaux, noté 𝔻, est celui des nombres qui peuvent s’écrire sous la forme
10n
a avec a∈ ℤ et n∈ ℕ, (ou sous la forme a 10n avec a ∈ ℤ et n ∈ ℤ) Exemple : 1, 258 12583
10 ou 1, 258 1258 10 3
Toutes les divisions ne sont pas encore possibles dans 𝔻 (5 divisé par 3 n’est pas un nombre décimal) ℕ ⊂ ℤ ⊂ 𝔻
d) Nombres rationnels ℚ
L’ensemble des nombres rationnels, noté ℚ est celui des nombres qui peuvent s’écrire sous la forme a
b avec a ∈ ℤ et b ∈ ℤ *, quotient de deux entiers relatifs.
Tout nombre rationnel admet une écriture unique sous forme d’une fraction irréductible.
Remarque : toutes les divisions (sauf par 0) sont possibles dans ℚ mais on ne peut quantifier la mesure de la longueur de la diagonale d’un carré de côté un par un rationnel.
(Problème des Pythagoriciens) D e) Nombres réels ℝ
L’ensemble de ces nombres est appelé ensemble des réels et est noté ℝ
D
Tout ce qui a une existence
« réelle » peut être quantifié avec les réels, mais
l’équation x²=-1 par exemple n’a pas de solution dans l’ensemble des réels.
II. Quelques notations à connaitre
L’intervalle d’entiers p n; (attention à la notation avec des crochets spéciaux) désigne l’ensemble de tous les entiers relatifs x tels que p x n
Cardinal d’un ensemble
Soit E un ensemble. On appelle et on note Card (E), le nombre d'éléments de E Le cardinal de l’intervalle d’entiers p n; est égal à n p 1
Et on écrira card p n; n p 1 Exemple : card 5;3 9
On dit qu’un entier est un carré parfait lorsque c’est le carré d’un entier naturel.
On dit qu’un entier est un cube parfait lorsque c’est le cube d’un entier naturel.
Definition : La partie entière d’un réel x est l’unique entier relatif p tel que p x p 1 Notation : La partie entière d’un réel x est notée E x
On a donc l’inégalité suivante : E x x E x 1
On dit aussi :
Definition : La partie entière d’un réel x est le plus grand entier relatif inférieur ou égal à x.
La partie entière d’un nombre réel est sa valeur décimale approchée par défaut à l’unité.
Exemple : E 3, 4 3 E 5 5 E 5 5 E 2,8 3
Definition : On appelle partie décimale (ou fractionnaire) d’un réel x le nombre x E x . Exemple : La partie décimale de 5,83 est égale à 0,83.
La partie décimale de – 5,4 est égale à 0,6 Exercices :
1) Déterminer cinq valeurs de l’entier naturel n telles que 3n 4 soit un carré parfait.
2) Déterminer cinq valeurs de l’entier naturel n telles que 3n 4soit un cube parfait.
3) Déterminer trois couples x y; d’entiers relatifs tels que 115x 7y 2.
4) Un groupe composé d’hommes et de femmes a dépensé 100 pièces de monnaie dans un bar. Les hommes ont dépensé 8 pièces chacun et les femmes 5 pièces chacune.
Combien pouvait-il y avoir d’hommes et de femmes dans le groupe ? (0 ; 20) ; (5 ;12) (10 ; 4)
III. Décomposition d’un entier naturel en base 10
1) Cas d’un nombre à trois chiffres
Exemple : 329 3 102 2 10 9.
Cette égalité donne la décomposition du nombre 329 en base 10.
Définition :
Si l’on considère le nombre noté abc dans le « système décimal » ou « système de base 10 » où a, b, c sont des entiers naturels compris entre 0 et 9, on peut écrire
2 1 0
10 10 10
abc a b c
a désigne le chiffre des centaines, b désigne le chiffre des dizaines et c représente le chiffre des unités.
2) Cas général
Définition :
Chaque entier naturel peut s’écrire comme une somme finie de puissances de 10.
Par sa position, chacun des chiffres indique la puissance dont il est le coefficient.
On dit que la numération décimale est une numération de position.
On écrit : a an n 1...a a1 0 an 10n an 1 10n 1 ... a1 101 a0 100 Exemple :
1. Déterminer l’écriture en base 10 de 10n 1 où n est un entier naturel supérieur ou égal à 1
2. Montrons que 10n 1 est un multiple de 9.
1 2 1 0
1 2 1 0
1 2 1 0
10 1 10 1 10 10 ... 10 10 10 1 9 10 10 ... 10 10
10 1 9 10 9 10 ... 9 10 9 10
n n n
n n n
n n n
Exposé 1 : La multiplication parabolique Exposé 2 : L’origine de la base 10 Exposé 3 : Les octets
Exposé 4 : Le système sexagésimal, pourquoi, comment ?
2 1 1
1 ...
1
n
n q
q q q
q
ou
2 1
1 1 1 ...
n n
q q q q q
IV. Décomposition d’un entier naturel en base b En utilisant le même principe que pour la base 10, on peut définir des systèmes de numération de base b où b est un entier naturel
quelconque supérieur ou égal à 2.
Définition :
Dire que l’entier naturel N a pour écriture
1... 1 0 n n
a a a a en base b signifie que
1 1
1 ... 1 0
n n
n n
N a b a b a b a avec
0 ai b 1
Remarques sur la notation :
1... 1 0 b n n
a a a a pour signifier la base dans laquelle on écrit (sauf base 10, base usuelle).
Le trait de surlignement permet de distinguer le nombre écrit en base b du produit a an n 1...a a1 0
Exemples : 256 désigne le nombre 256 2 61 5 17 en numération décimale.
258 désigne le nombre 258 2 81 5 21 en numération décimale.
9 2
328 3 9 2 9 8 269 en numération décimale.
2 4 3 2
10011 1 2 0 2 0 2 1 2 1 16 2 1 19en numération décimale.
5 3 2
1302 1 5 3 5 0 5 2 202 (en base 10).
Il est facile de passer de l’écriture en base b d’un entier naturel à son écriture en base 10.
Par contre, il est plus difficile de passer de l’écriture en base 10 d’un entier naturel à son écriture en base b.
Passage de la base 10 à la base 2 :
a) on peut écrire le nombre sous la forme d'une somme de puissances de 2
• 25 (base 10) : 4 3
2
25 16 8 1 25 1 2 1 2 1 25 11001
21 (base 10) : 4 2
2
21 16 4 1 21 1 2 1 2 1 21 10101
• 37 (base 10) : 5 4 3 2
2
37 32 4 1
37 1 2 0 2 0 2 1 2 0 2 1 37 100101
• 2021 (base 10) :
2
10 9 8 7 6 5 2 1 0
2
2021 1024 512 256 128 64 32 2 2
2021 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 0 2 2021 11111100110
• 18 (base 10)
4 1
2
18 16 2 2 2 18 10010
•
6 5 2 0
2
101 64 32 4 1 2 2 2 2 101 1100101
• 1012 1 22 0 21 1 20 4 1 5
Passage de la base 10 à une autre base :
• Ecrire 269 en base 9 :
2 1 0
9
269 3 9 2 9 8 9 269 328
b) Ecrire 23 en base 2 :
1ère méthode : 4 2 1
2
23 16 4 2 1
23 1 2 1 2 2 1
23 10111
2ème méthode :
on peut diviser 23 par 2, quotient 11 et reste 1 on divise ensuite 11 par 2, quotient 5 et reste 1
Exercices du chapitre 1 « Introduction à l’arithmétique » 1) Déterminer cinq valeurs de l’entier naturel n telles que
3n 4 soit un carré parfait.
2) Déterminer trois valeurs de l’entier naturel n telles que
3n 4soit un cube parfait.
3) Déterminer trois couples x y; d’entiers relatifs tels que 115x 7y 2.
4) Un groupe composé d’hommes et de femmes a dépensé 100 pièces de monnaie dans un bar. Les hommes ont dépensé 8 pièces chacun et les femmes 5 pièces chacune.
Combien pouvait-il y avoir d’hommes et de femmes dans le groupe ?
5) Un entier naturel A s’écrit en base 10 avec les deux chiffres a et b dans cet ordre.
Autrement dit, A ab . Si l’on inverse l’ordre des chiffres a et b, A augmente de 36.
Déterminer les chiffres a et b et le nombre A.
6) Déterminer tous les couples x y; d’entiers naturels tels quex² xy 14.
7) On pose A 12 ² 12n n 1 où n désigne un entier naturel. Déterminer trois valeurs non nulles de n telles que A soit un carré parfait.
8) On choisit un entier s’écrivant avec 4 chiffres. Par ex : 7892, puis on l’écrit à l’envers 2987. On ajoute les deux nombres obtenus. Obtient-on un multiple de 11 ?
Recommencer avec deux autres nombres. Démontrer le phénomène obtenu.
9) Exprimer 118 en base 2 puis en base 16
10) Ecrire en base 10 les nombres A et B suivants : A 112 10102 et B 112 10102
11) Quel est le chiffre des unités du nombre 535−621 ?
12) Juliette aime faire des expériences mathématiques. Aussi, a-t-elle été fort intriguée quand elle a observé que si on fabrique un nombre en juxtaposant un certain nombre de fois le chiffre 1 puis autant de fois le chiffre 8, alors le quotient obtenu en divisant ce nombre par 18 semble toujours être un entier ! Elle a de plus remarqué qu’à partir de 111 888, le quotient obtenu en divisant par 18 semble toujours être lui-même divisible par 4. Elle a illustré ses observations dans le tableau ci-contre pour les premières valeurs de n :
Démontrer que ces observations sont toujours vraies.
Trouver tous les nombres à deux chiffres AB (avec A distinct de B) tels que pour tout entier naturel n non nul, le nombre
chiffres chiffr
... ...
n n es
A A B B soit divisible par AB .
D’une base à l’autre !
